Estimation des param`etres ToA et TDoA

Apr`es quelques exemples de m´ethodes d’estimation des param`etres de directions d’arriv´ee, nous allons `a pr´esent nous int´eresser `a l’estimation du Temps Diff´erentiel d’Arriv´ee (TDoA) ou du Temps d’Arriv´ee (ToA). Ces param`etres expriment le temps de propagation d’une source ou le temps diff´erentiel entre deux bases [GG05], [PNMG08]. L’expression du ToA entre lal-i`eme station d’antennes et laq-i`eme source est :

τl(pq) = ^||bl−pq||

c ^{. (2.35)}

L’expression du TDoA qui est le temps de propagation diff´erentiel d’une source entre deux bases s’´ecrit :

∆τ_l,v(p_q) =τ_l(p_q)−τ_v(p_q). (2.36) On peut montrer que le temps diff´erentiel de propagation entre deux bases de positionbl etbv est born´e de la mani`ere suivante grˆace `a l’in´egalit´e triangulaire :

|∆τ_l,v(p_q)| ≤ ^||bl−bv||

c ^{= ∆τmax, (2.37)}

o`u l’´egalit´e est donn´ee pour une source sur l’ext´erieur de l’axe form´e par la droite passant par les deux bases. En fonction des algorithmes et du savoir sur les sources l’un sera plus pratique que l’autre, mais ces deux crit`eres t´emoignent du temps de propagation des sources vers les stations d’antennes.

2.1.3.1 M´ethode conventionnelle

La m´ethode classique pour mesurer le TDoA consiste `a intercorr´eler les signaux rec¸us sur deux stations ´eloign´ees [Gez07], [LDBl07]. L’estimateur du TDoA entre les stationsletv6=lest le suivant :

{∆ˆτ_l,v(pq)|q ∈_J1;Q_K}= arg min |τ|≤∆τmax 1− ^|rl,v(τ)| 2 r_l,l(0)r_v,v(0) , (2.38)

o`u en s’appuyant sur la d´efinition (1.4),rl,l,rv,vetrl,vsont les auto et inter-corr´elation d´efinies par :

r_l,v(τ) =_E^hx^m_l (t)x^m_v^∗(t−τ)ⁱ. (2.39) Cet estimateur intuitif poss`ede deux inconv´enients [Gez07] :

• Le premier, est d’avoir des minimum d’interf´erence si les signaux ne sont pas totalement d´ecorr´el´es. Ces minimum sont dues `a l’intercorr´elation non nul entre les signaux. Ce probl`eme est n´egligeable, car en consid´erant l’hypoth`ese H1 page 15 les sources sont d´ecorr´el´ees entre elles, mais il peut l’ˆetre beaucoup moins dans un contexte de multi-trajet.

• Le deuxi`eme inconv´enient, plus gˆenant dans notre contexte d’utilisation. L’estimateur est dans le cas multi-source biais´e. C.-`a-d. que les minimums globaux du crit`eres sont influenc´es par les lobes secondaires entrainant un biais sur l’estimation du TDoA. De mˆeme, il peut ˆetre non r´esolu. En effet, si deux sources sont relativement proches il n’y aura alors qu’un seul minima pour les deux sources, elles seront confondues. L’op´erateur devra donc choisir Qminima pour l’estimation des TDoA desQsources, alors qu’en r´ealit´e aura un nombre de minimum correspondant aux TDoA des sources inf´erieur au nombre de sources forc¸ant l’op´erateur `a choisir d’autres lobes secondaires entrainant une erreur totale sur l’estimation du TDoA sur certaines sources.

2.1.3.2 M´ethodes de type haute-r´esolution

Il existe un certain nombre de m´ethodes `a haute r´esolution pour estimer les temps de propagation. Nous allons en aborder deux, mais en ´etant non exhaustif sur toutes les m´ethodes de type HR possibles dans la litt´erature.

Approche par m´elange lin´eaire instantan´e

Cette m´ethode par approche des MLI se fait en deux ´etapes [FBL10]. La premi`ere vise `a estimer la matrice de m´elange instantan´e grˆace `a une goniom´etrie, puis la deuxi`eme `a d´em´elanger les observations. En effet, en se basant sur le mod`ele du signal (1.35), la matrice de m´elangeAl( ˆΘl)est calcul´ee `a partir des directions d’arriv´ee

ˆ

Θ_ldesQsources estim´ees sur lal-i`eme station d’antennes. Nous avons alors : ˆ

Θl = arg min

θ∈[0;360[L(θ) (2.40)

o`uL(θ)peut ˆetre l’une des m´ethodes d’estimation d’angle d’arriv´ee vu pr´ec´edemment. Les signaux des sources sont estim´es par :

ˆ s_l(t) =    ˆ s_l,1(t) .. . ˆ s_l,Q(t)   =A⁺_l ( ˆΘ_l)x_l(t), (2.41)

qui peut ˆetre consid´er´e comme une estimation des signaux des sources au sens du maximum de vraisemblance (2.21). La deuxi`eme ´etape consiste alors `a estimer les TDoA par intercorr´elation desQsignaux d´em´elang´esˆs_l,q(t) sur lal-i`eme base et les observations de la basev.

{∆ˆτ_l,v(p_q)|q ∈_J1;Q_K}= arg min |τ|≤∆τmax 1−^|rq,v(τ)| 2 rqrv,v(0) , (2.42) avec h | |^{2i h m∗} − ⁱ

Cette m´ethode qui utilise l’estimation de la matrice de m´elange poss`ede l’avantage d’ˆetre non biais´e, `a contrario de la m´ethode conventionnelle exploitant seulement l’intercorr´elation entre deux antennes de deux bases diff´erentes. Cependant cette m´ethode poss`ede l’inconv´enient d’ˆetre `a deux ´etapes, c.-`a-d. que les performances de l’estimateur d´ependent de la qualit´e d’estimation de la matrice de m´elange, etin finede la qualit´e des estimations des AoA. Enfin, la m´ethode n´ecessite un nombre d’antennes strictement sup´erieur au nombre de sources sur la base o`u les AoA sont estim´es.

Afin d’avoir de meilleures performances, une approche multi-capteur est pr´ef´er´ee [FM] dans le but d’exploiter au mieux toutes les informations pr´esentes sur les bases. Ainsi le crit`ere d’estimation du TDoA est alors :

{∆ˆτ_l,v(p_q)|q ∈_J1;Q_K}= arg min |τ|≤∆τmax 1−^r H q,v(τ)R⁻_v¹rq,v(τ) rq ! , (2.44) avec rq,v(τ) =_Exv(t−τ)ˆs^∗_l,q(t). (2.45)

2.1.3.2.1 Approche de type MUSIC

Une autre approche consiste `a envoyer un signal connu dans le canal de transmission. Ceci repr´esente un a prioritr`es fort, et cela revient `a connaitre `a chaque instant le signals(t). Pour des signaux de t´el´ecommunication (GSM, LTE, Wi-Fi,etc.), le signal de r´ef´erence `a une transmission est utilis´e, sinon pour r´esoudre ce probl`eme une s´equence binaire pseudo-al´eatoire stationnaires (SBPA) permet d’avoir un signal d´eterministe connu `a tout moment.

D’apr`es le mod`ele (1.1) l’observation sur une antennemde lal-i`eme base s’´ecrit :

x^m_l (t) =

Q X

q=1

ρ_l,qs_q(t−τ_l^m(p_q)) +n^m_l (t). (2.46)

Une composante fr´equentielle de cette observation s’´ecrit alors :

X_l^m(f) =

Q X

q=1

ρ_l,qS_q(f)e^{−2iπf τ}l^m(pq)+N_l^m(f), (2.47)

les signaux ´etant stationnaires, l’observation fr´equentielle ne d´epend pas du temps. En supposant que le spectre du signal s’´etend surKcanaux fr´equentiels, le vecteur d’observation `a donc pour mod`ele :

x_l =C_lρ_l+n_l, (2.48) avec :

• x_l = [Xm

l (f₁), ..., Xm

l (f_K)]^T est le vecteur compos´e des composantes fr´equentielles du signal rec¸u, • n_l= [N_l^m(f₁), ..., N_l^m(f_K)]^T est le vecteur des composantes fr´equentielles du bruit,

• C_l= [c₁(τ_l^m(p₁)), ...,c_Q(τ_l^m(p_Q))]avecc_q(τ_l^m(p_q)) =

S_q(f₁)e^−2iπf1τm

l (pq), ..., S_q(f_K)e^−2iπfKτm l (pq)T

Ce mod`ele est alors tr`es proche de celui donn´e en (1.35) dont la solution par l’approche des sous-espaces propres a ´et´e donn´ee par l’algorithme MUSIC (2.30). L’estimation des temps de propagation consiste alors en la recherche desQminima d’une fonction coˆut [BK79], [BK83], [PJ91] :

{τˆ_l^m(p_q)|q∈_J1;Q_K}= arg min |τ|≤∆τmax 1 ksq(t)k2