Estimation par noyau de la fonction de répartition

Rappelons d’abord que l’estimateur à noyau de la densité de probabilité f est donné (I.10), pour tout x ∈ Ω, par :

b fκn∆(x) = 1 n∆ n X i=1 κÄx− xi ∆ ä ,

où κ est un noyau sommatif (Définition I.8), et ∆ une largeur de bande.

L’estimateur à noyau de la fonction de répartition est alors défini, pour tout x ∈ Ω, par : “ F_κn_∆(x) = 1 n n X i=1 κÄx− xi ∆ ä , (I.48) oùκ(x) =R_−∞x κ(u)du.

La convergence uniforme de l’estimateur à noyau _F“n

κ∆ a été établie par Nadaraya [81]

et Yamato [126] à condition que la fonction de densité f soit continue. Singh et al. ont démontré dans [107] cette convergence sans condition sur f.

La normalité asymptotique de l’estimateur _F“n

κ∆ (I.48) a été prouvée par Watson et

Leadbetter [123]. Winter a prouvé dans [124] que_F“n

κ∆ vérifie, avec une probabilité égale à

1, la propriété de Chung-Smirnov c’est-à-dire : lim sup n→∞ ÅÄ _2n log log n ä1 2 _sup x∈Ω    “F_κn_∆(x)− F (x) ã ≤ 1. (I.49)

Azzalini a donné dans [3] l’expression asymptotique de l’erreur quadratique moyenne (MSE) ainsi que la largeur de bande optimale permettant d’avoir un MSE plus faible que celui de la fonction de répartition empirique En (I.39). Reiss a démontré dans [90] que

15. Soit s une fonction de L(Ω) et soit l une constante telle que 0_{≤ l ≤ 1. La fonction s est dite concave} si, pour tout u, v_{∈ Ω, s(v) ≥ (1 − l)s(u) + ls(v) ([75] page 160).}

32 Chapitre I : Estimation précise de probabilité

l’inefficacité relative asymptotique de Enpar rapport àF“κn∆ (I.48) tend vers l’infini quand

le nombre d’observations n augmente avec un choix approprié de noyau, par exemple κ(u) =    9 8 Ä 1₋5₃u2ä _{si |u| ≤ 1,} 0 sinon, (I.50)

avec certaines conditions vérifiées lorsque le support de κ est borné et

Z

Ωuκ(u)κ(u)du > 0. (I.51)

Falk a proposé dans [41] une mesure de la performance asymptotique du noyau κ sous la forme :

Q(κ) =

Z

Ω2κ(u)κ(u)udu. (I.52)

Il est important de noter qu’aucun noyau de carré intégrable ne minimise Q (I.52) ([101] page 96). En utilisant la mesure de R(κ) = R_Ω(κ(u))2_{du de la performance du noyau en} estimation de la densité, Falk a montré dans [41] que le noyau d’Epanechnikov défini par (I.32). Les noyaux gaussiens ou uniformes ont cependant des performance très proches. Jones a démontré dans [56], en considérant le critère IMSE, que le meilleur noyau est le noyau uniforme. Cependant, les performance d’autre noyaux tels que les noyaux d’Epa- nechnikov, normal et triangulaire ne sont que légèrement moins bonnes.

Swanepoel a montré dans [112], en se basant sur le même critère IMSE, que le meilleur noyau est le noyau uniforme défini, pour tout v > 0, par κ(u) = 1

2v1l[−v,v](u). Pour les densités de probabilités f discontinues en un nombre fini de points, le meilleur noyau est le noyau exponentiel défini par : κ(u) = l

2e

−l|u| _{pour l > 0 .}

Il résulte de ce qui précède que, contrairement à l’estimation par noyau de la densité, le choix optimal du noyau est discutable par rapport au critère d’optimisation utilisé. Loquin et Strauss ont proposé dans [71] une extension de la méthode d’estimation à noyau de la fonction de répartition (I.48) sous le nom d’estimation imprécise de la fonction de

répartition. Cette extension conduit à une estimation imprécise de la densité de probabilité

Chapitre II

Imprécision et mesure de probabilité

L’imprécision et l’incertitude sont deux aspects de l’imperfection d’une information. Si ces deux aspects peuvent être facilement dissociés dans le langage courant, cette dis- sociation s’avère plus difficile lorsqu’il s’agit de les représenter à l’aide de la théorie des probabilités. Ce fut une des motivations qui a promut l’émergence de nouvelles théories de représentation d’un défaut de connaissance sur une information.

On appelle incertitude un défaut équivalent à un doute sur la validité d’une connais- sance. L’incertitude peut provenir d’un manque de fiabilité de l’intermédiaire d’observa- tion, ce dernier pouvant commettre des erreurs intentionnellement ou non. L’incertitude caractérise aussi la difficulté, pour un utilisateur, à vérifier la pertinence ou la véracité d’une information.

Par opposition, on appelle imprécision un défaut équivalent à une difficulté d’énoncé de la connaissance disponible sur une information. L’imprécision peut venir d’un défaut d’observation (par exemple 15000 à 20000 manifestants), d’une erreur systématique due à l’étalonnage d’un appareil de mesure (±0, 1◦_{C) ou encore à l’énoncé d’une connaissance} approximative (prix du carburant dans une région). L’imprécision peut aussi venir d’une connaissance vague énoncée en langage familier (ça coûte cher, c’est loin,...)[36].

Fondamentalement, la théorie des probabilités est plutôt dédiée à la gestion des incerti- tudes tandis que les défauts d’imprécision sont traditionnellement représentés de façon en- sembliste (par exemple par l’utilisation d’intervalles de précision) donnant lieu à ce qu’on appelle traditionnellement le calcul d’erreur. Notons qu’il est possible de représenter, via la théorie de probabilités, un défaut d’imprécision par l’intermédiaire des intervalles de confiance [10]. Une dissymétrie fondamentale existe entre ces deux représentations qui est que l’une est nuancée (les probabilités) alors que l’autre est binaire car de nature ensem- bliste (le calcul d’erreur). L’apparition de la théorie des sous-ensembles flous, introduite par Zadeh à partir de 1965 [127], qui propose une généralisation pondérée de la théorie des ensembles, a permis d’introduire des nuances dans le calcul d’erreur par le biais du principe d’extension. La théorie des sous-ensembles flous est un outil mathématique qui définit le concept d’appartenance partielle à un ensemble.

Maintenant, la question qui se pose est : est-il possible de faire cohabiter dans un même formalisme imprécision et incertitude. Dans les premiers modèles proposés, on trouve la proposition de Shafer [102] qui remet en cause le modèle probabiliste en disant que, fon- damentalement, il n’y a pas de raison de croire que les jugements d’incertitude devraient être des probabilités. Le cadre probabiliste, d’après Dubois et Prade [35], décrit mal l’ignorance partielle. L’ignorance partielle est justement un défaut s’apparentant plutôt à

34 Chapitre II : Imprécision et mesure de probabilité

l’imprécision.

Au cours des trente dernières années, d’autres théories de l’incertain ont été proposés permettent de prendre en compte l’imprécision au sein de l’incertitude [109]. Parmi ces théories, nous citons les probabilités imprécises (ou ensembles de probabilités) [121], la

théorie de fonctions de croyance [21, 102] et la théorie de possibilité [129, 34]. Ces théories,

représentent l’incertitude au moyen de deux mesures conjuguées [35, 102]. Les bornes inférieures sont des mesures sous-additives, tandis que les bornes supérieures sont des mesures super-additives [89].

La théorie des probabilités imprécises proposée par Walley [121] est très certainement le cadre le plus général. Dans cette théorie on suppose qu’il existe une mesure de pro- babilité précise mais elle n’est pas parfaitement connue [86]. Les manipulations dans ce cadre théorique sont cependant assez complexes. C’est pourquoi des cadres théoriques plus restreints ont été proposés parmi lesquels on retrouve les p-boxes [47, 24], les distri-

butions des probabilités imprécises [18], . . . . La plupart des autres théories de gestion de

l’incertain (et de l’imprécis) peuvent être vues comme des cas particuliers de la théorie des probabilités imprécises. C’est le cas de la théorie des fonctions de croyance [23] introduite par Dempster [21], puis développée par Shafer [102]. La théorie des possibilités, introduite par Zadeh [129] et développée par Dubois et Prade [33] en est aussi un cas particulier, très certainement le plus simple à manipuler mais manquant parfois d’expressivité.

On peut s’interroger sur la nature d’une donnée à la fois imprécise et incertaine. Sou- vent ces deux notions sont liées car l’incertitude diminue quand l’imprécision augmente. Ainsi, dans un jeu de pile-ou-face, l’événement imprécis { pile, face, tranche} est un événement certain tandis que l’événement {pile, tranche} qui est plus précis est moins certain.

Une modélisation particulièrement pertinente d’une donnée à la fois imprécise et in- certaine a émergé à partir des années 1970 sous le nom de variable aléatoire floue [16]. Le principe de cette modélisation est d’associer, à chaque expérience aléatoire, un nombre flou en lieu et place d’un nombre précis [76]. Plusieurs visions s’affrontent autour de ce même concept suivant qu’on considère une variable floue comme une généralisation au flou d’une variable aléatoire classique [64, 63], ou comme une généralisation au flou de la théorie des ensembles aléatoires [87].

Reste à mettre en relation le concept de variables aléatoires floues et celui de mesure imprécise de probabilité. Une façon de réaliser cette mise en relation est d’utiliser le prin- cipe d’histogramme, permettant de relier la probabilité d’un événement à sa fréquence d’occurrence. Viertl et Trutschnig [120] ont proposé de bâtir une extension cohérente de la notion d’histogramme, aboutissant ainsi à un histogramme flou, c’est à dire un histo- gramme dont les accumulateurs sont des nombres flous. On aboutit alors à définir une

probabilité floue, qui peut être prise comme un modèle d’ordre deux par rapport aux

probabilités imprécises de Walley. Enfin quelques outils sont proposés pour réaliser l’esti- mation de ces probabilités floues en généralisant au flou des techniques non-paramétriques classiques d’estimation de densité [2].

Rompant plus ou moins avec cette approche, Loquin et Strauss [71] ont montré que l’imprécision des données n’était pas la seule source potentielle d’imprécision des proba- bilités. Cette imprécision peut aussi provenir du manque de connaissance que l’on a de l’outil le plus adéquat pour estimer la densité de probabilité sous-jascente à un ensemble fini d’observation. Dans ce cas, comme dans les précédents, on aboutit à des modèles de probabilités imprécises [71].