calculer le débit de manière directe, en utilisant les différents modèles développés dans le cadre de la thèse. Il devient possible, en comparant les débits calculés avec la méthode inverse et les débits calculés directement à partir des modèles, d’une part de tester la validité de ces derniers modèles, d’autre part d’arriver à estimer la valeur des paramètres rhéologiques du modèle physique.
Figure 7.10 –Evolution du débit déterminé en résolvant le problème inverse dans la longueur x du film de laque. La longueur et la largeur de la surface sont graduées en mm. Le débit est donné en µm2/s
Figure 7.11 – Evolution du débit déterminé en résolvant le problème inverse dans la largeur y du film de laque. La longueur et la largeur de la surface sont graduées en mm. Le débit est donné en µm2/s
performantes des dérivées spatiales qui entrent en jeu.
Le calcul de la dérivée spatiale d’une surface expérimentale est loin de constituer un problème trivial. De fait, l’opération de dérivation est très sensible au bruit, et calculer sans traitement préalable le gradient des topographies de la base de données expérimentales conduit à l’obtention d’une information bruitée non exploitable. Les surfaces obtenues par le biais de l’analyseur de front d’onde sont de fait très légèrement bruitées du fait de l’erreur commise lors de la mesure. Le problème du calcul de la dérivée d’une surface peut être considéré comme un problème mal posé, dans le sens où la solution ne dépend pas continument des données du problème. Considérons ainsi une fonction x → f (x) perturbée par un bruit de haute fréquence x → (x) = λ cos (ωx) de très faible amplitude. f et f + peuvent être rendue arbitrairement proches pour λ très petit, mais les dérivées de ces deux fonctions peuvent être très différentes dès lors que la fréquence ω est suffisamment élevée.
Différentiation gaussienne Afin de régulariser les données, nous calculons les dérivées spatiales avec une différentiation gaussienne. Dans ce cadre, la différentiation s’effectue en convoluant la surface initiale avec le noyau de la dérivée d’une fonction gaussienne centrée de variance σ spécifiée : G(x, y) = 1 2πσ exp −x 2+ y2 2σ2 (7.25)
La convolution avec la dérivée partielle selon x de la gaussienne est donnée par la relation
S ∗∂G ∂x(x, y) = Z L 0 S(u, v) 1 2πσ exp −(u − v) 2+ (v − y)2 2σ2 dudv (7.26)
On vérifie aisément par une intégration par parties que
S ∗∂G
∂x(x, y) = G ∗ ∂S
∂x(x, y) (7.27)
Le résultat obtenu correspond donc au produit de convolution de la dérivée de notre surface avec une gaussienne de variance σ. On comprend bien que le choix de la variance
σ du noyau gaussien est fondamental, puisque si la convolution permet d’atténuer le bruit
gaussien aux hautes fréquences, il reste important d’éviter de perdre de l’information physique.
qy = γe 3η Ψ e(x, y) ∂ h ∂y3(x, y, t) + ∂ h ∂y∂x2(x, y, t) = γe 3η Ψ (v(x, y))
où e0 désigne l’épaisseur moyenne du film, γ la tension de surface et η la viscosité dy-
namique de la peinture. La fonction Ψ dépend de la rhéologie du film de peinture. Ainsi, si on suppose que le fluide constitutif de la peinture est newtonien, il existe une relation linéaire entre les grandeurs qx et qy de peinture au sein du film d’une part, et les termes
u(x, y) et v(x, y) d’autre part, le coefficient de proportionnalité étant donné à chaque in-
stant par la quantité 3ηγ.
Les figures 7.12 et 7.13 présentent l’évolution des grandeurs u(x, y) et v(x, y) pour l’expérience LAQ04. La variance du noyau gaussien utilisé pour la différentiation est de 92µm. En comparant point par point les valeurs de u(x, y) et les valeurs du débit lo- cal déterminées par méthode inverse, on obtient les nuages de point représentés dans la figure 7.14 qui suivent. Une régression linéaire a été effectuée sur les données (la droite de régression est représentée sur les figures). On peut constater que les nuages de point sont relativement bien interpolés par une droite au cours du temps de flash. De fait, les coefficients de corrélation linéaires ont des valeurs comprises entre 0.65 et 0.85, ce qui, compte-tenu du bruit, paraît représentatif d’une relation linéaire.
Ces résultats, qui tendent à indiquer que le fluide possède une rhéologie newtonienne aux longueurs d’onde considérées, sont tout de même à nuancer. Rappelons ainsi que le calcul direct du débit fait intervenir des gradients d’ordre élevé de la surface mesurée par l’analyseur de front d’onde. Nous avons montré qu’il était nécessaire de légèrement filtrer les données afin de pouvoir calculer le gradient des surfaces considérées. Ainsi, les résultats ne donnent pas réellement d’indications sur les phénomènes physiques qui ont cours aux petites échelles (< 120µm). Rien n’interdit donc que le fluide, pour des motifs de petites longueurs d’onde et donc de fortes valeurs du taux de cisaillement, adopte un comporte- ment non-newtonien, ce qui est prévu par le modèle de cross-over présenté dans le premier chapitre de cette partie, et appliqué notamment au cas de la cataphorèse.
Notons également que si l’indice de corrélation linéaire est bon au début du temps de flash, les données sont extrêmement bruitées dans la suite du procédé de mise en peinture, ce qui s’explique pour deux raisons :
– En premier lieu, les effets physiques de l’écoulement tendent à devenir très faibles passé le temps de flash. Il suffit de considérer l’évolution de la courbe de M q au cours de la cuisson pour se convaincre que l’évaporation est responsable de la très grande majorité du phénomène de nivellement.
Figure 7.12 –Evolution de la grandeur u(x, y) [µm]. La longueur et la largeur de la surface sont graduées en mm.
Figure 7.13 –Evolution de la grandeur v(x, y) [µm]. La longueur et la largeur de la surface sont graduées en mm.
Figure 7.14 – Nuage de point représentant les valeurs du débit calculé par méthode inverse (en ordonnée) en fonction de u(x, y) (en abscisse).
de la surface étudiée.
7.4.3 Détermination in situ des paramètres de rhéologie du modèle
Nous avons vu dans la section précédente que, si l’on fait l’hypothèse d’une rhéologie newtonienne, les valeurs des débits locaux déterminées, d’une part en utilisant directement le modèle newtonien, et d’autre part en résolvant le problème inverse sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité étant donné par la quantité γ/3η. La figure (7.15) présente l’évolution de cette quantité en fonction de la concentration en solvant au sein du film de peinture.
Afin de réaliser le calage de la courbe théorique, seules les valeurs de γ/3η auxquelles correspondent une valeur significative du coefficient de corrélation ont été prises en compte. Comme cela a été mentionné dans la section précédente, les mesures réalisées dans la fin du temps de flash sont fortement bruitées, et ne sont donc pas exploitables afin de déterminer les paramètres de rhéologie du film. C’est pourquoi les valeurs obtenues sont essentiellement situées autour de la valeur initiale de la concentration en solvant.
Figure 7.15 –Evolution de la quantité γ
3η en fonction de la concentration en solvant au sein du film
La loi suivante est généralement proposée dans la littérature afin de relier la valeur de la tension de surface aux concentrations respectives de solvant et de résine dans la peinture :
En utilisant ces lois afin de caler le paramètre γ/3η sur les données expérimentales, on trouve γ 3η(c) = γr+ c0∆γ 3η0 ea(c−c0)= γ0 3η0 ea(c−c0) (7.31) avec γ0 3η0 = 10000µm/s, c0 = 0.58 et a = 19.0.
Les paramètres déterminés par la méthode inverse dans le cas de la laque sont com- parés à ceux communément utilisés dans la littérature dans le cas des peintures dans le tableau 7.4.
Paramètre Symbole Valeur Valeur dans [46] Unité
Tension de surface de la résine γr 3, 0.10−2 3, 0.10−2 N/m
Tension de surface du solvant γs 2, 5.10−2 2, 5.10−2 N/m
Viscosité initiale de la peinture η0 0.9 0.9 Pa.s
Concentration initiale en solvant c0 0.58 0.5 -
Exposant de la loi de viscosité a 19 15 [57] -
Paramètre de la loi d’évaporation λ 4, 0.10−9 2, 0.10−9 m/s Table 7.4 – Paramètres de rhéologie de la peinture déterminés en utilisant la méthode inverse. Les paramètres sont comparés à ceux communément utilisés dans la littérature [57].
On constate que les paramètres déterminés en résolvant le problème inverse sont très proches de ceux qui ont été mesurés dans les articles de W.S. Overdiep [46] ou D.E. Weidner et al. [57]. Malgré un certain nombre de limitations, exposées dans le paragraphe précédent, la méthode inverse développée semble être à même de valider l’hypothèse d’un fluide newtonien, et de déterminer des paramètres de rhéologie réalistes au vu des travaux qui existent sur le sujet [57] [46].