Essais mécaniques

d’autant plus faible que la dynamique du système étudiée est rapide. Etant donné que le nombre de degrés de libertés du système est défini par le nombre de contacts candidats, augmenter déraisonnablement dver serait préjudiciable en terme de coût de calcul. Dans le cadre de cette thèse, nous avons typiquement ˙Γ = 1, d = 0.01 et dver = 0.1d, soit ∆t < 0.1. Dans le tableau 2.1 sont résumés nos paramètres de simu-lation au cours de cette thèse. Les paramètres nmin

iter/nmax

iter correspondent au nombre d’itérations minimal et maximal pour la vérification du critère de convergence des forces. Les paramètres nver/nsuperver correspondent au nombre de pas entre deux mises à jour successives des listes et superlistes de verlet.

2.2.5 Discussion générale sur la Dynamique des Contacts

La méthode de la Dynamique des Contacts s’appuie essentiellement sur le constat que l’ensemble des phénomènes physiques ayant lieu au niveau d’un contact, qu’il soit bref ou non, reste largement méconnue. Elle se focalise alors sur ses caractéristiques essentielles, l’unilatéralité et le frottement de glissement. Comme nous l’avons vu elle est très appropriée pour étudier le comportement plastique d’un empilement de particules, résultant du seul réarrangement de celles-ci. Cette méthode est certes sujette à l’indétermination, les solutions n’étant pas uniques à chaque pas de temps. Cependant, cette sensibilité peut être comparée à celle des méthodes régulières, comme la DM , gouvernée par les paramètres de régularisation. Cette méthode a néanmoins l’avantage de pouvoir fixer un pas de temps beaucoup plus grand que les méthodes régulières, ce qui est également adapté à notre étude où nous considérons des écoulements quasi-statiques sur de grandes déformations.

2.3 Essais mécaniques

2.3.1 Le cisaillement plan

Tout au long de cette thèse nous avons utilisé un unique essai mécanique. Nous avons simulé des écoulements denses en cisaillement plan périodique suivant la di-rection de l’écoulement. Nous avons effectué ces tests en l’absence de gravité et avec des parois de rugosité contrôlée. La rugosité R peut se définir comme le rapport du diamètre moyen des grains de la paroi au diamètre moyen d’une particule libre, soit R = dw/d. Elle donne une mesure de la taille des aspérités. À noter que la rugosité est également affectée par la distance entre grains composant la paroi ℓw = kdw, où k est supérieur à 1, mesurant la fréquence spatiale de ces aspérités. Nous y reviendrons dans la section 3. La géométrie du cisaillement plan est simple, et en l’absence de gravité nous pouvons simuler des écoulements homogènes en contrainte où #∇¯¯σ% = 0. La distance entre les parois h mesure l’épaisseur de l’écoulement. L’essai mécanique consiste en un cisaillement d’un empilement préalablement contraint par la mise en mouvement d’une ou des deux plaques. Soit x la direction de l’écoulement et y la

! "

Figure 2.6 – Schéma d’un essai de cisaillement simple avec les conditions aux limites imposées et l’état de surface des parois

direction perpendiculaire. Le système est contrôlé en déformation dans la direction x et en contrainte dans la direction y. La plaque supérieure se voit imposer une vitesse v_x = v dans la direction horizontale x et une contrainte Σ suivant la direction y. L’essai est en effet à volume libre c’est à dire que le milieu est libre de se dilater. Concernant la plaque inférieure une vitesse verticale vy = 0 lui est imposée. Nous avons utilisé deux conditions différentes pour sa vitesse dans la direction de l’écou-lement. Pour les écoulements minces, vx = 0, la plaque inférieure est parfaitement immobile par rapport à l’écoulement. Pour les écoulements de plus grandes épais-seurs nous avons imposé une vitesse vx = −v afin d’assurer une meilleure stabilité de la symétrie de l’écoulement dans le temps. Les conditions limites sont résumées sur la figure 2.6. Nous ferons référence au taux de déformation appliqué sous la dénomination de taux nominal, défini par ˙γe = 2v/h.

2.3.2 Préparation de l’échantillon

L’échantillon se compose d’un nombre N de particules qui sera précisé dans chaque étude. Nous avons simulé des systèmes de 1000 à 6000 particules. Ces par-ticules sont des disques 2D de rayon r, de diamètre d, et de masse volumique ρs. L’échantillon est créé par transformation inverse : les tailles des particules, bornées par d_min et d_max sont tirées aléatoirement suivant une distribution en loi de puis-sance p(d)d2 = cste. Ainsi une polydispersité est assurée de manière à ce que la distribution soit uniforme par fraction surfacique. En d’autres termes, toutes les classes volumétriques apportent une contribution égale au volume total de l’échan-tillon, à condition que le nombre de particules soit suffisamment élevé [80]. Pour préparer un échantillon de N particules, on tire N nombres aléatoires u entre 0 et

2.3 Essais mécaniques 53

1. Le rayon de chaque particule est alors donné par

d(u) = ^dmaxdmin

dmax+ u(dmin− dmax) (2.33)

La polydispersité que nous avons choisi est assez faible (dmax = 2dmin) mais suffisante pour éviter des phénomènes de cristallisation, pathogènes dans le cas d’une étude de milieux désordonnés. Enfin, l’échantillon initial est généré en plaçant successivement les particules sur une grille aléatoire assurant leur non interpénétrabilité initiale. En-suite, avant de procéder au cisaillement, nous effectuons une compression uniaxiale suivant la direction y à l’aide de la plaque supérieure. Etant donné que nous nous intéressons aux grandes déformations, les caractéristiques initiales de l’échantillon — mécaniques ou géométriques — n’ont pas besoin d’être bien contrôlées. Après une déformation cumulée suffisante, l’écoulement devient stationnaire (dans l’état critique) et la configuration initiale ne joue plus aucun rôle dans le comportement mécanique observé.

2.3.3 Paramètres de simulations et analyse

Paramètres

Nous nous plaçons dans en régime dense, défini par un faible nombre inertiel (I < 0.02). Comme mentionné précédemment concernant l’adaptation du pas de temps et de la distance de détection des contacts dver au régime (typiquement ˙γe), il faut que ces paramètres de simulation le soient pour l’échelle de contrainte imposée dans l’empilement. La contrainte de confinement Σ utilisée pour les simulations est de l’ordre de Σ ≃ 104Pa (sauf pour la préparation des échantillons où nous avons pris une valeur plus faible). Typiquement, la force exercée sur une particule est de l’ordre de Σd en 2D. La distance libre parcourue par une particule sous le seul effet de la force de confinement sur un pas de temps ∆t est de l’ordre de (Σ∆t2)/(ρd). Cette distance doit être inférieure à d_ver. Dans notre cas, avec d_ver = 0.1d nous trouvons un pas de temps maximal de l’ordre de ∆tmax ≃ 10−3s.

La taille des particules moyenne est estimée comme #d% = #dmin+ dmax% et vaut 15mm (estimée seulement car la distribution est en loi de puissance). Le coefficient de frottement interparticule µ_s est fixé à 0.29 et la densité à 2900 kg_{· m}−3. Les simulations sont poursuivies sur une déformation cumulée totale γ = 1 2v∆t/h gé-néralement supérieure à 10. Toutes les analyses en grandes déformations (moyennes et fluctuations) sont faites dans le régime stationnaire (état critique) et le régime transitoire (durcissement) est systématiquement écarté. Concernant la Dynamique des Contacts, nous avons imposé un coefficient de restitution e nul, définissant des chocs parfaitement inélastiques, et le pas de temps a été fixé à ∆t = 10−4s. Toutes les valeurs des paramètres de la Dynamique des Contacts et des simulations sont résumées dans le tableau 2.1.

Table 2.1 – Paramètres de la dynamique des contacts (à gauche) et de simulation (à droite) ∆t 10−4s e 0 ǫ 10−3 dver/dsuper 0.1#d% /0.5#d% nmin iter/nmax iter 40/200 n_ver/n_superver 10/20 dmin/dmax 10/20mm µs 0.29 ρ_s 2900 kg · m−3 ˙ γe 0.1/5 s−1 Σ 3.5/9 · 104Pa I_e 2 10−4/2 10−3

Analyse : valeurs moyennes et profils

Sauf mention contraire, les valeurs moyennes sont prises à la fois spatialement et temporellement, dans l’état stationnaire uniquement. Pour s’assurer d’être dans l’état stationnaire nous pouvons tracer le frottement effectif µ, le taux de déformation au centre ou l’énergie cinétique totale du système Ec en fonction de la déformation cumulée. Lorsque l’une de ces grandeurs atteint une valeur moyenne bien définie alors nous pouvons considérer que le système est en écoulement stationnaire. Les profils ont été obtenus en divisant l’écoulement en domaines rectangulaires d’axes propres x et y, étendus dans la direction x. La valeur moyenne par domaine (prise sur la déformation cumulée) est calculée à partir de grandeurs définies sur les particules (masse, vitesse, connectivité, texture, contrainte...).