Espaces de Hardy et BMO

1 + zs 2 ,

qui sont holomoprhes et bornées dans une région conique au voisinage de (0, +∞) dans C, et ainsi engendrent des opérateurs bornés sur Lp. D’après le résultat précédent, on a kf k_Ws,p ' kϕ(H)fkLp + +∞ X k=1 22ks|ψm,n(2−2k H)f|2 !1 2 Lp ' kϕ(H)fkLp + Z 1 0 u^−2s|ψm,n(u2H)f|2du u !1 2 Lp .

On renvoie le lecteur à [BBR12] pour plus de détails sur de tels espaces de Sobolev. On peut passer du cas discret au cas continu de ces partitions de type Littlewood-Paley en écrivant : +∞ X k=1 Z 2 1 ψm,n(2−2k u²λ)^du u =^+∞X k=1 Z 2−(k−1) 2−k ψm,n(λv2)^dv v =^{Z 1} 0 ψm,n(λv2)^dv v =^{Z λ} 0 ψm,n(u)^du 2u ⁼ Z 1 0 ψ(λu)^du 2u^.

Remarque 2.2.9. L’intégrale du terme de gauche porte sur u ∈ [1, 2], donc on peut passer des informations du cas discret aux mêmes informations pour le cas continu.

2.2.4 Espaces de Hardy et BMO

On définit maintenant les espaces de Hardy atomiques adaptés à notre situation (c’est-à-dire dictés par un semi-groupe sur un espace doublant) en utilisant la construction introduite dans [BZ08]. Soit Q la collection de toutes les boules de X :

On défini (BQ)_Q∈Q une famille d’opérateurs par :

∀Q ∈ Q , B_Q := (1 − e−r2H)M,

où r est le rayon de la boule Q et M est un entier assez grand (M ≥ min(3 4+3d

8 ,3) est suffisant). Ces opérateurs sont bornés sur L2 uniformément en r. En effet, en développant, BQ est une combinaison linéaire finie d’opérateurs e−kr2H avec k ∈ {0, . . . , M} et le Théorème 2.2.2donne

ke^−kr2Hk_L2→L2 ≤ kx 7→ e^−kr2xk_L∞(R+) ≤1, puisque H est positif.

Remarque 2.2.10. M ≥ ³₄ + 3d

8 assure que 4M 3 − d

2 ≥ 1 donc il existe un entier m ∈[d

2,^4M₃ ]. On aura besoin de cette propriété plus tard à la Section 2.3. Définition 2.2.11. Une fonction a ∈ L1

loc est un atome associé à la boule Q ∈ Q s’il existe une fonction fQ à support dans Q telle que a = BQ(fQ), et avec

kfQk_L2(Q) ≤(µ(Q))−1 2.

Cette dernière condition nous permet de normaliser fQ dans L1. En effet, par l’inégalité de Cauchy-Schwarz

kf_Qk_L1 ≤ kf_Qk_L2(Q)µ(Q)1 2 ≤1.

De plus, BQ est borné sur L1 donc chaque atome est dans L1 et ils sont aussi normalisés dans L1 :

sup

a kak_L1 . 1, (2.2.4)

où on prend la borne supérieure sur tous les atomes. En effet, si on considère un atome quelconque a = BQ(fQ) = (1 − e−r2H)Mf_Q avec une fonction ad hoc fQ supportée dans la boule Q, la formule du binôme de Newton nous indique que BQ se comporte comme e−kr2H. Ainsi, la Proposition 2.2.3 donne

kak_L1(X) = kBQ(fQ)kL1(X) ≤ M X k=1 M k ! ke^−kr2Hf_Qk_L1 . kfQk_L1 . 1.

On peut maintenant définir l’espace de Hardy par une décomposition atomique : Définition 2.2.12. Une fonction mesurable h appartient à l’espace de Hardy ato-mique Hato, que l’on notera H1 1, s’il existe une décomposition

h=X

i∈N

où les ai sont des atomes et les λi des nombres réels tels que

X

i∈N

|λ_i| <+∞. On équipe l’espace H1 de la norme :

khk_H1 := inf h=^P_iλiai

X

i∈N |λ_i|,

où la borne inférieure est prise sur toutes les décompositions atomiques possibles. Pour une définition plus générale et plus de propriétés sur ces espaces ato-miques, on renvoie à [Ber10, BZ08]. De (2.2.4), on déduit :

Corollaire 2.2.13. L’espace de Hardy s’injecte continument dans L1 : kf k_L1 . kf kH1.

D’après [BZ08, Corollaire 7.2], l’espace de Hardy H1 est aussi un espace de Ba-nach.

On renvoie le lecteur à [BZ08, Section 8], pour plus de détails sur le problème d’identifier l’espace dual (H1)∗ avec un espace BMO. Pour une fonction L∞, on définit la norme BMO par

kf k_BMO := sup Q  − Z Q |BQ(f)|2dµ 1/2 ,

où la borne supérieure est prise sur toutes les boules. Si f ∈ L∞ alors BQ(f) est aussi uniformément borné (par rapport à la boule Q), car le semi-groupe de la chaleur est uniformément borné sur L∞ (voir Proposition2.2.3), donc kfkBMOest finie.

Définition 2.2.14. L’espace fonctionnel BMO est défini comme l’adhérence BMO := {f ∈ L∞+ L2, kf k_BMO < ∞}

pour la norme BMO.

Remarque 2.2.15. La caractérisation de la norme BMO suivante sera utile : si f ∈ L2, alors

kf k_BMO = sup a atom

et f appartient à BMO si et seulement si le membre de droite est fini. En effet, si f ∈ L², alors pour toute boule Q ∈ Q :

µ(Q)−1 2kBQ(f)kL2(Q)= µ(Q)−1 2 sup g∈L2(Q) kgk_L2(Q)≤1 | < BQ(f), g > | = sup g∈L2(Q) kgk_L2(Q)≤1 | < f, BQ(µ(Q)−1 2g) > |,

où on a utilisé que BQ est auto-adjoint. On peut vérifier que l’ensemble des atomes correspond exactement à l’ensemble des fonctions du type BQ(µ(Q)−1

2g) avec g ∈ L²(Q) et kgkL2 ≤1.

En suivant [BZ08, Section 8], on obtient que BMO s’injecte continument dans l’espace dual (H1)∗ et qu’il contient L∞ :

L^∞,→BMO ,→ (H1)∗ . D’où kT k_H1→(H1)∗ . kT kH1→BMO, (2.2.6) et ∀θ ∈(0, 1), (L2,BMO)θ ,→(L2,(H1)∗)θ. (2.2.7) Le théorème d’interpolation entre espace de Hardy et espace de Lebesgue sui-vant est un des points clé de notre étude :

Théorème 2.2.16. Pour tout θ ∈ (0, 1), on considère les exposants p ∈ (1, 2) et q = p0 ∈(2, ∞) donnés par

1

p = ^{1 − θ}₂ + θ et ¹

q = ^{1 − θ}₂ .

Alors (en utilisant les notations de la théorie de l’interpolation), (L2

, H¹)θ = Lp et (L2

,(H1)∗)θ ,→ L^q, si l’espace ambiant X n’est pas borné, et

L^p ,→ L²+ (L2, H¹)θ et L2∩(L2,(H1)∗)θ ,→ L^q, si X est borné.

Démonstration. Le résultat découle directement de [Ber10, Théorèmes 4 et 5] (et on garde ses notations dans cette preuve). Pour s’assurer qu’il s’applique dans notre contexte, on doit vérifier que H1 ,→ L1 (ce que l’on sait par le Corollaire 2.2.13), et que la fonction maximale M∞ est majorée par M. On rappelle que

M∞(f)(x) = sup Q3x

kA^∗Q(f)kL∞(Q), avec

A_Q = Id − (Id − e−r2H)M est auto-adjoint et r désigne le rayon de Q. La formule du binôme de Newton montre que AQest une combinaison linéaire finie des opérateurs e−kr2H pour k ∈ {1, . . . , M}. Ainsi le fait que M∞ est ponctuelle-ment majorée par M est une conséquence directe de la Proposition 2.2.3.

Dans le cas d’un espace borné (de mesure finie), l’interpolation est un peu plus délicate puisque le résultat précédent ne fourni pas de caractérisation complète de l’espace intermédiaire en tant qu’un espace de Lebesgue Lp. On a cependant le résultat suivant :

Théorème 2.2.17. Supposons que l’espace X est borné (ou de façon équivalente que µ(X) < +∞) et considérons l’opérateur auto-adjoint T vérifiant les continuités suivantes :        kT k_L2→L2 . 1 kT k_H1→(H1)∗ . A < +∞ kT k_Lp→L2 . B < +∞ pour p ∈ (1, 2) ,

alors T est borné de Lp dans Lp⁰ avec

kT k_Lp→Lp0 . B + A¹p−1

p0.

Le même résultat reste valable en remplaçant (H1)∗ par BMO grâce à (2.2.7). Démonstration. Soit p ∈ (1, 2). On veut appliquer le Théorème 2.2.16 à T . On choisit θ ∈ (0, 1) tel que 1−θ

2 = 1−1

p. Alors θ = 1

p−1

p0. Soit f ∈ Lp ,→ L2+(L2, H1)θ. On se donne une décomposition f = a + b avec a ∈ L2 et b ∈ (L2, H1)θ telle que

kak_L2 + kbk(L2,H1)θ . kf kLp.

Puisque T est auto-adjoint, T est borné de L2 dans Lp⁰ avec une norme d’au plus B. Ainsi

De façon similaire, par le Théorème 2.2.16 :

kT bk_Lp0 . kT bkL2 + kT bk(L2,(H1)∗)θ . BkbkLp+ A¹p−1

p0kbk_(L2,H1)θ. De plus H1 ,→ L1 donc (L2, H1)θ ,→(L2, L1)θ = Lp. Par conséquent

kT bk_Lp0 .  B + A¹p−1 p0  kbk_(L2,H1)θ. D’où kT f k_Lp0 . BkakL2 +^B + A¹p−¹ p0  kbk_(L2,H1)_θ .  B+ A¹p−¹ p0  kf k_Lp.