a partir de D. Il est compact, parfait et totalement discontinu, donc hom´eomorphe `a l’ensemble de Cantor, voir Figure 3.1.
Lorsque l’ensemble limite est de dimension 1, il est d´ej`a plus compliqu´e d’´etablir une classification des espaces qui apparaissent. On doit alors se restreindre `a une classe plus petite de groupes, qui correspond `a une g´en´eralisation des r´eseaux cocompacts : les groupes convexes cocompacts. Ces groupes sont li´es aux espaces Gromov-hyperboliques, dont on rappelle la d´efinition et quelques propri´et´es.
3.1.2 Espaces Gromov-hyperboliques
Pour un aper¸cu des r´esultats de la th´eorie des groupes hyperboliques et de leur bord, on peut se r´ef´erer `a l’article de I. Kapovich et N. Benakli [KB02] et `a son
impression-3.1. PR ´ELIMINAIRES 145 p ∈ ΛΓ γ1 D γ2 H2 R b b b
Figure 3.1 – D´ebut du pavage de H2R par un groupe de Schottky : l’ensemble limite est un ensemble de Cantor.
nante bibliographie. Sauf mention contraire, les r´esultats pr´esent´es ici sont tir´es de [BH99] et [GdlH90].
D´efinition 3.1.4. Soit (X, d) un espace m´etrique g´eod´esique, et soit δ ⩾ 0. (X, d) est dit δ-hyperbolique si pour tout triangle g´eod´esique ∆ ⊂ X, chaque cˆot´e est inclus dans le δ-voisinage de l’union des deux autres cˆot´es. (X, d) est dit hyperbolique (ou Gromov-hyperbolique, pour distinguer de Hn) s’il est δ-hyperbolique pour un certain δ ⩾ 0.
Le plan hyperbolique r´eel H2R est Gromov-hyperbolique, avec δ = ln(√2 + 1) (voir par exemple [And99]). Plus g´en´eralement, les espaces CAT (−κ), κ > 0, forment aussi une classe d’exemples d’espaces Gromov-hyperboliques. En particulier, on en d´eduit que les espaces hyperboliques standards HnK, o`u K peut ˆetre R, C, le corps des quaternions ou (si n = 2) des octonions sont bien des espaces hyperboliques au sens de Gromov ([Hel78]). Les arbres sont des espaces 0-hyperboliques.
Les espaces Gromov-hyperboliques admettent un bord `a l’infini, qui permet de com-pactifier l’espace (X, d). Ce bord `a l’infini correspond en quelque sorte aux directions des g´eod´esiques dans X. Soient γ1, γ2∶ [0, ∞[→ X deux rayons g´eod´esiques. γ1 et γ2 sont dits ´equivalents s’il existe une constante K > 0 telle que pour tout t ⩾ 0, d(γ1(t), γ2(t)) < K : les deux rayons restent `a distance born´ee l’un de l’autre. On note [γ] la classe d’´equivalence du rayon γ pour cette relation.
D´efinition 3.1.5. Soit (X, d) un espace hyperbolique, et soit x ∈ X un point base de X. Le bord `a l’infini de (X, d) par rapport `a x, not´e ∂xX, est l’ensemble des classes d’´equivalence de rayons g´eod´esiques partant de x :
∂xX = {[γ] ∣ γ ∶ [0, ∞[→ X rayon g´eod´esique tel que γ(0) = x} Le produit de Gromov sur X par rapport `a x est d´efini par
(y∣z)x= 1
pour tous points x, y, z ∈ X. Si X est δ-hyperbolique, alors deux segments g´eod´esiques [x, y] et [x, z] restent 2δ-proches sur une longueur de (y∣z)x ([GdlH90]). On peut d´efinir une topologie sur le bord ∂xX, engendr´ee par les ensembles
V (p, r) = {q ∈ ∂xX ∣ ∃ γ1, γ2∶ [0, ∞[→ X, [γ1] =p, [γ2] =q, et lim inf
t→∞ (γ1(t)∣γ2(t))x>r} pour tout p ∈ ∂xX et r > 0. Un tel voisinage correspond aux rayons g´eod´esiques partant de x qui restent 2δ-proches du rayon p sur une longueur au moins ´egale `a r `a partir de x. Proposition 3.1.6 ([BH99]). Soit (X, d) un espace m´etrique hyperbolique propre (i.e. tel que les boules ferm´ees sont compactes). Alors pour tous x, y ∈ X, les espaces topologiques ∂xX et ∂yX munis de la topologie d´efinie pr´ec´edemment sont hom´eomorphes. On note alors ∂X pour le bord `a l’infini de X : c’est un espace compact.
On peut aussi d´efinir une topologie sur X ∪ ∂X, qui co¨ıncide avec la topologie de X sur X, et avec celle de ∂X sur ∂X, voir [BH99] p.429. X ∪∂X est compact pour cette topologie. Dans la suite, on s’int´eresse `a l’hyperbolicit´e de groupes de type fini. Soit Γ un groupe de type fini, et S une partie g´en´eratrice finie sym´etrique (i.e. S = S−1) et ne contenant pas le neutre. Le graphe de Cayley C(Γ, S) de Γ par rapport `a S est le graphe qui a pour sommets les ´el´ements g ∈ Γ, et tel que deux sommets g et g′ sont reli´es par une arˆete s’il existe un ´el´ement s ∈ S tel que g′
=gs. Muni de la m´etrique des mots dS, le graphe C(Γ, S) devient un espace m´etrique.
D´efinition 3.1.7. Un groupe de type fini Γ est dit hyperbolique s’il existe une partie g´en´eratrice finie S telle que le graphe de Cayley C(Γ, S) muni de sa m´etrique usuelle est hyperbolique. Son bord `a l’infini, not´e ∂Γ, est d´efini comme le bord ∂C(Γ, S) du graphe de Cayley.
Notons que si l’espace m´etrique (C(Γ, S), dS) est hyperbolique pour une partie g´ e-n´eratrice finie S, il l’est pour toute partie g´en´eratrice finie. La topologie du bord est ind´ependante du choix de S.
Le r´esultat suivant, dˆu (s´epar´ement) `a Schwarz et Milnor (voir par exemple [BH99], p.140), permet de faire le lien entre les actions de groupes et l’hyperbolicit´e :
Proposition 3.1.8. Soit (X, d) un espace m´etrique g´eod´esique propre, et Γ un groupe agissant sur X par isom´etries, cocompactement et proprement discontinument. (On dit alors que l’action est g´eom´etrique.) Alors Γ est de type fini, et pour tout point base x ∈ X et toute partie g´en´eratrice finie S, l’application (G, ds) → (X, d), g ↦ g ⋅ x, est une quasi-isom´etrie.
On rappelle qu’une application f entre deux espaces m´etriques (X1, d1)et (X2, d2)est une quasi-isom´etrie s’il existe des constantes a ⩾ 1, b, c ⩾ 0 telles que
1
ad1(x, y) − b ⩽ d2(f (x), f (y)) ⩽ ad1(x, y) + b, ∀ x, y ∈ X1
et tout point de X2 est `a distance au plus c de f (X1). Une quasi-isom´etrie entre deux espaces hyperboliques propres s’´etend naturellement en un hom´eomorphisme entre leur bord `a l’infini ([BH99], p.430). On en d´eduit alors le r´esultat suivant :
3.1. PR ´ELIMINAIRES 147 Th´eor`eme 3.1.9 (Gromov). Soit Γ un groupe. Γ est hyperbolique si et seulement si il existe un espace hyperbolique (X, d) sur lequel Γ agit g´eom´etriquement. Dans ce cas, ∂X et ∂Γ sont hom´eomorphes.
Ce r´esultat permet de construire une grande famille de groupes hyperboliques. Soit M une vari´et´e hyperbolique compacte sans bord de dimension n : alors π1(M ) est hyperbo-lique, et son bord est hom´eomorphe `a ∂HnR =Sn−1. Les groupes convexes cocompacts de Isom(Hn), d´ecrits dans la suite, donnent d’autres exemples de groupes hyperboliques.