Espaces de travail des robots sériels et parallèles

L’espace de travail d’un robot est défini par l’ensemble des poses accessibles par le robot, selon ses limitations géométriques et articulaires. Lorsque le robot dispose de plus de 3 degrés de liberté, la représentation de l’espace de travail est difficile (car il est alors de dimension 6 au maximum) ([Mer97]). Pour faciliter cette représentation on distingue plusieurs types d’espaces de travail :

– l’espace de travail en translation (ou position) est l’ensemble des positions accessibles par l’effecteur du robot,

– l’espace de travail à orientation constante est l’ensemble des positions accessibles par l’effecteur du robot pour une orientation fixe donnée,

– l’espace de travail à centre fixé (ou en orientation) est l’ensemble des orientations accessibles pour l’effecteur pour une position fixe donnée,

– l’espace de travail dextre est l’ensemble des positions pour lesquelles toutes les orien- tations sont permises,

– etc...

Ce sont essentiellement des méthodes géométriques ou des méthodes de discrétisation qui permettent le calcul des espaces de travail. En ce qui concerne les robots sériels, un grand nombre d’entre eux disposent d’un nombre de degrés de liberté limité, ce qui facilite l’utilisation d’une méthode de discrétisation, ou disposent d’un poignet de type rotule, ce qui découple l’orientation de l’effecteur de sa position, permettant d’obtenir rapidement l’ensemble des positions atteignables, et en chaque point l’ensemble des orientations dis- ponibles, ces deux ensembles étant indépendants. Cependant, quelques travaux ont été effectués pour des robots non découplés. Une méthode géométrique concernant un robot plan consiste à proposer un mécanisme équivalent et à déterminer l’espace de travail en orientation par analyse d’angle d’une articulation virtuelle [DS03]. Une autre méthode géométrique utilise les paramètres d’Euler-Rodrigues, mais n’est valable que pour les ma- nipulateurs plans ou à poignet découplé [CZM06]. Enfin, une formulation par corps rigide équivalent a été proposée [SS08]. A partir du modèle géométrique direct, le premier degré de liberté varie et définit un mouvement rigide. A partir du centre de rotation instantané, l’enveloppe de l’espace de travail est calculée à partir des points extrêmes du corps rigide par rapport au centre de rotation. Cet espace de travail est toutefois un espace en position seulement.

Des méthodes non géométriques ont également été développées, telle le calcul d’espace de travail par pseudo-inverse de la matrice jacobienne [AMAYH97], qui intègre les limites articulaires, mais ne prend pas en compte les intersections entre solides et ne détecte pas les trous au sein de l’espace de travail. Si la méthode de discrétisation de base consiste à faire balayer au robot un ensemble discrétisé des valeurs articulaires de toutes ses articulations, et observer l’ensemble des poses atteintes, d’autres méthodes de discrétisation permettent le calcul d’espace de travail. Une fonction densité d’espace de travail est définie dans [WC02] pour les robots hyper-redondants, faisant l’analogie avec la diffusion de molécules d’ADN lorsque l’on rajoute des degrés de liberté au manipulateur, mais cette méthode s’applique à des robots plans pour un espace de travail en position seulement. Une autre méthode de discrétisation utilise une génération du balayage aléatoire (par la méthode de Monte Carlo) [RP90], et l’espace de travail en position est défini par probabilité du lieu des points. Les limites articulaires sont ensuite intégrées sur la forme générale de l’espace grâce à des considérations géométriques.

Les méthodes utilisées pour les robots parallèles sont quelque peu différentes puisque leur modèle géométrique direct n’est pas toujours disponible, et l’orientation de l’effecteur est souvent intimement liée à sa position. Les méthodes géométriques sont en général efficaces pour les robots parallèles ([Mer97]), et consistent à calculer des intersections de volumes, chaque volume représentant l’espace de travail en position des jambes du robot. L’espace de travail à orientation constante ou l’espace dextre de manipulateurs plan sont ainsi calculés dans [MGM98], ou pour des manipulateurs à 6 degrés de liberté, que ce soit l’espace à orientation constante dans [BR01] ou l’espace de travail en orientation (à centre fixé) dans [Mer97]. Dans ce cas l’espace en orientation est représenté sur une sphère unité centrée au point donné. L’espace de travail en orientation est également défini dans [TL06],

par un ensemble de segments résolus analytiquement par des équations de contraintes prenant un des paramètres du robot (différent pour chaque segment) à sa valeur limite. Cette dernière méthode doit toutefois fixer l’un des paramètres pour pouvoir représenter l’espace de travail en 2 dimensions. Enfin, dans [JG08] l’espace en orientation est défini par le volume délimité par douze surfaces correspondant aux positions extrêmes de chaque jambe, et est représenté dans l’espace des trois angles d’Euler.

Les méthodes de discrétisation, pour les robots parallèles, consistent à discrétiser l’es- pace opérationnel (en position et orientation) et à tester si chaque point se trouve dans l’espace voulu, grâce à la résolution du modèle géométrique direct. Les méthodes se dis- tinguent ensuite sur le test ou l’espace discrétisé. Ainsi, l’espace des positions est découpé en "boîtes" par Chablat et al. ([CWMM04]) et chaque boîte est testée grâce à l’analyse par intervalle sur son appartenance à l’espace dextre, ce pour un robot parallèle à trois degrés de liberté. Un algorithme permet de découper les boîtes dont l’appartenance n’est pas clairement définie. Bonev et al. utilisent une méthode de discrétisation de l’orientation seulement pour les robots à six degrés de liberté, qui garantit la compatibilité des configu- rations avec la configuration initiale, et représentent l’espace de travail en orientation (en un point fixé) par coordonnées cylindriques ([BR01]). La discrétisation en orientation pour trouver l’espace de travail en orientation est également utilisée par Filho et al. ([FC05]) en coordonnées sphériques. L’espace de travail à orientation constante est calculé dans [dPS01] par optimisation sous contraintes (limites articulaires et valeur d’orientation) de la distance entre un point de l’espace et un point fixe donné appelé point rayonnant. Le calcul est effectué dans le cas d’un espace de travail convexe, mais une proposition d’utili- sation est faite pour un espace non convexe. Une méthode similaire proposée par Wang et al. ([WH98]) utilise une optimisation sans contraintes, dans laquelle les butées articulaires et les fermetures de chaîne du robot parallèle sont intégrées dans la fonction objective par des pénalités. Cependant, elle ne traite pas des éventuels vides ou discontinuités de l’espace de travail.

Les méthodes géométriques semblent avoir pour le moment été peu développées pour calculer un espace de travail en position et en orientation pour les robots spatiaux sériels non découplés. De plus, les méthodes géométriques développées pour les robots parallèles ne semblent pas applicables au robot de résection. Nous allons donc utiliser une méthode de discrétisation.