Espace de stockage

TAB. 5.2 présente l’espace mémoire nécessaire à le stockage du vecteur constant pour les3

implantations proposées, pour la multiplication à droite et aussi pour la multiplication à gauche.

Modèle ^{Vecteur Plein Vecteur Creux Fonction}

Gauche Droite FAS-20serveurs 8,00Mo 4,00Mo 0,01Mo 0,00Mo CFR- 15noeuds 109,47Mo 54,74Mo 0,01Mo 0,00Mo MSA-256serveurs 4,02Mo 1,00Mo 0,01Mo 0,00Mo DDS 26,82Mo 0,02Mo 0,01Mo 0,00Mo RWP-11espaces 2,98Mo 0,10Mo 0,01Mo 0,00Mo WORKSTATION-1024serveurs 128,25Mo 17,32Mo 0,01Mo 0,00Mo TAB. 5.2 – Espace de stockage

On remarque d’abord que l’espace nécessaire à la représentation de la fonction est insignifi-ante dans les deux implantations. Cette méthode est surement la plus économique de toutes pour l’espace de stockage.

La représentation du vecteur constant par un vecteur plein est déconseillée pour la grande partie de cas. Le seul cas où l’implantation en plein est conseillée est pour la multiplication à

droite lorsque le nombre de valeurs non-nulle dans le vecteur initial dépasse les50%de la taille

du vecteur.

Sur l’implantation du vecteur constant par un vecteur creux, l’espace de stockage dépend du nombre de valeurs différentes de zéro dans le vecteur d’états initial, pour la multiplication à

droite et de la taille de l’ensemble d’étatsUP, pour la multiplication à gauche.

Notons que pour la multiplication à gauche, un seul vecteur d’entiers est stocké pour

représen-ter l’ensemble des étatsUP. Ceci justifie la moitie de la taille de l’espace de stockage pour le

modèle où la taille de l’ensembleUP est presque égal à la taille de l’espace d’états produit.

5.5 Conclusion

Dans ce chapitre, on a analysé l’efficacité de deux méthodes de détection du régime station-naire sur des grands modèles.

La comparaison des méthodes présentée dans ce chapitre a été faite sur différents modèles et paramètres de façon à voir le comportement de chaque méthode face à différents critères, tels

que la taille des modèles, l’erreur maximum acceptée et l’ensemble d’étatsUP.

Parmi toutes les méthodes testées, la performance de la méthode CAI, par rapport au nombre d’itérations, est nettement meilleure que les méthodes CAA et CSW.

5.5. CONCLUSION 83

Cependant, les problèmes de fausse détection du régime stationnaire entraîne des erreurs importantes sur la valeur de la disponibilité ponctuelle et compromet les bons résultats obtenus sur le critère nombre d’itérations et rend la méthode CAI pas fiable sur de grands modèles.

Même si la méthode CAA présente moins de problèmes de fausse détection du régime sta-tionnaire que la méthode CAI, le nombre d’itérations nécessaires pour la détection du régime stationnaire ne rend pas cette méthode attractive dans la plus grande partie des modèles testés.

Finalement, la méthode CSW présente des résultats corrects avec un surcoût entre20% et

500% par rapport à la méthode la plus performante (CAI). En outre, cette méthode permet

un calcul fiable et rapide de la disponibilité au régime stationnaire, ce qui évite le problème

d’instabilité de la méthode d’uniformisation classique pour des instants de tempstassez grands.

Il est évident que pour les grands modèles, cette méthode est la méthode recommandée.

Un deuxième point étudié dans ce chapitre a été l’utilisation de différentes implantations pour le vecteur constant. Parmi les trois implantations testées : vecteur plein, vecteur creux et fonction, le choix du vecteur creux semble assez évidente, cars on a un bon compromis entre la vitesse de calcul et l’espace de stockage nécessaire. On peut envisager l’implantation d’une heuristique qui choisit automatiquement le meilleur format de représentation par rapport aux taux de remplissage du vecteur.

Deuxième partie

Réseaux d’automates stochastiques à temps discret

Chapitre 6

Formalisme SAN à temps discret

Depuis la proposition du formalisme des Réseaux d’Automates Stochastiques (Stochastic

Automata Networks - SAN) par Plateau dans [72, 73], la plupart des travaux ont porté sur une

échelle de temps continue. Le formalisme à temps discret a reçu beaucoup moins d’attention et cela s’explique par la difficulté de modéliser des systèmes complexes avec des distributions discrètes.

Dans ce chapitre¹, on va donner les définitions de base du formalisme SAN à temps discret

(Section 6.2) qui nous permettrons de définir un algorithme pour la construction de la chaîne de Markov représentée (Section 6.3). Mais d’abord, pour mieux comprendre le problème, la Section 6.1 introduit les motivations et travaux précédents sur les SAN et aussi sur d’autres formalismes structurés.

6.1 Motivation et travaux précédents

Contrairement aux systèmes modélisés sur une échelle de temps continue, où un seul événe-ment peut avoir lieu à chaque instant de temps, en temps discret, plusieurs événeévéne-ments peuvent avoir lieu dans une même unité de temps et donc, chaque combinaison d’événement possible

doit être déterminée. Par exemple, pour deux événementse1 ete2, 4combinaisons sont

possi-bles :e1a lieu ete2n’a pas lieu ;e1 n’a pas lieu ete2a lieu ;e1 a lieu ete2 a lieu aussi ; ete1 n’a

pas lieu ete₂n’a pas lieu non plus.

Cependant, la grande difficulté de la modélisation de systèmes à temps discret n’est pas de déterminer toutes les combinaisons possibles, mais de résoudre les conflits, lorsque le tirage d’un événement amène à un état où l’autre n’est plus réalisable.

On trouve dans la littérature un certain nombre de propositions de formalismes pour

mod-1La présentation du formalisme SAN à temps discret donnée dans ce chapitre est commune dans cette thèse et dans [87].

éliser des systèmes à temps discret : Réseaux de Petri Stochastique [65, 19], Réseaux de Files d’Attente [46] et Réseaux d’Automates Stochastiques [74, 9].

Au niveau des Réseaux de Petri Stochastiques, différentes sémantiques ont été proposées pour traiter le problème des transitions concurrentes (deux transitions réalisables dans la même unité de temps) [65, 19, 102, 82]. Pour illustrer ceci, supposons que plusieurs transitions soient

possibles au même instant de temps, par exemple les transitionst₁ett₂dans FIG. 6.1. Ces deux

transitions sont dites concurrentes, car le déclenchement d’une transition empêche l’occurrence de l’autre. p1 p2 p3 t1 t2 w1 w2 Geom(p,1) Geom(q,1)

FIG. 6.1 – Exemple d’un réseau de Petri avec transitions concurrentes

Une des premières sémantiques pour traiter la concurrence a été proposée par Molloy dans [65]. Dans cette proposition, deux transitions concurrentes ne peuvent pas avoir lieu en même temps. Notons que, sur le graphe de marquage du réseau de Petri obtenu par cette sémantique,

on insère des probabilités de choix, comme indiqué sur l’exemple de FIG. 6.2, où p est la

probabilité d’occurrence de la transitiont1 etqla probabilité d’occurrence det2.

100 010 001 p(1−q) 1−pq (1−p)q 1−pq (1−p)(1−q) 1−pq

FIG. 6.2 – Graphe de marquage du modèle de FIG. 6.1 selon Molloy

Une autre sémantique a été proposée par Ciardo dans [19]. Dans cette sémantique, Ciardo

propose d’associer un poids à chaque transition, ici w₁ et w₂ pour le modèle de FIG. 6.1, et

lorsque les deux transitions sont potentiellement réalisables en même temps, la probabilité de

la transition effectivement réalisé est pondérée par la probabilité de chaque transition. FIG. 6.3

montre le graphe de marquage obtenu par cette sémantique.

100 010 001 p(1−q) +pq w1 w1+w2 (1−p)q+pq w2 w1+w2 (1−p)(1−q)