On se donne un espace polonais E muni de sa distance d = dE, de sa topologie induite O = OE et de sa tribu bor´elienne B = BE.
Espace produit. On d´efinit E∞ = EN l’espace produit (des suites de E) : X ∈ EN si X = (xn)n∈N avec xn∈ E.
Distance produit. On d´efinit la fonction D : EN× EN → R+ par D(X, Y ) = ∞ X n=0 1 2nmin{d(xn, yn), 1}, X = (xn)n∈N, Y = (yn)n∈N. Alors D est une distance.
Toplogie produit. On d´efinit la topologie produit O1 sur E∞ comme la famille des en-sembles de la forme CO lorsque O ∈ OEk et k≥ 1. On d´efinit la topologie produit O2 sur E∞ comme la topologie induite par la distance D. On montre alors O1 = O2, topologie que l’on note OE∞. Si E est compact alors E∞ est compact et si E est polonais alors E∞ est polonais.
Tribu produit. On d´efinit la tribu produit T1 sur E∞comme ´etant la tribu engendr´ee par les ensembles A = A0× A1× ... ⊂ E∞ avec An∈ B et il existe J sous-ensemble fini de N tel que An= E ∀n /∈ J. On d´efinit la tribu produit T2 sur E∞ comme la tribu engendr´ee par la distance produit D / la topologie produit BE∞. On montre alors T1 = T2, tribu que l’on note BE∞.
Probabilit´es sur l’espace produit. On note Πk : EN → Ek, k < N ≤ ∞ l’application qui `
a X = (xn)n≤N ∈ EN associe ΠkX = (xn)n≤k ∈ Ek. On dit qu’une suite (πN) ∈ P(EN), N ∈ N∗, est compatible si ΠkπN = πk si N ≥ k o`u par d´efinition
ΠkπN ∈ P(Ek) (ΠkπN)(A1× ... × Ak) = πN(A1× ... × Ak× E × ...).
Il est clair que pour toute mesure de probabilit´e π ∈ P(E∞) on d´efinit une famille de mesures de probabilit´e compatibles en posant πn := Πnπ. Inversement, le th´eor`eme de Kolmogorov affirme qu’´etant donn´ee une famille (πn) de mesures de probabilit´e compa-tibles il existe une (unique) mesure de probabilit´e π ∈ P(E∞) telle que πn := Πnπ pour tout n≥ 1.
Th´eor`eme A.5.10 (de Kolmogorov)
Convergence faible sur l’espace des probabilit´es sur l’espace produit.
Lemme A.5.11 Pour une suite (αj) de P(E∞) et α∈ P(E∞) il y a ´equivalence entre (1) αj → α au sens de la convergence faible de P(E∞) ;
(2) Πk(αj)→ Πk(α) au sens de la convergence faible de P(Ek).
Preuve du Lemme A.5.11. Comme il n’est pas forc´ement pratique de d´efinir (1) `a l’aide de la d´efinition usuelle
hαj, Φi → hα, Φi ∀ Φ ∈ Cb(E∞),
nous utilisons le crit`ere (ii) du Th´eor`eme 1.5.26. On a ´evidemment (c’est la d´efinition de la topologie OE∞) l’´equivalence suivante
(1′) lim inf αj(CO)≥ α(CO) pour tout CO∈ OE∞;
(2′) lim inf αjk(O)≥ αk(O) pour tout O∈ OEk et tout k≥ 1.
Et on conclut en utilisant l’´equivalence (i)⇔ (ii) dans le Th´eor`eme 1.5.26. ⊔⊓ (i) Etant donn´e un espace polonais E, on d´efinit E∞ = EN∗ l’espace produit (des suites de E) qui est un espace polonais lorsqu’il est muni de la distance canonique. On d´efinit sa tribu bor´elienne BE∞ qui est ´egalement la tribu engendr´ee par les cyindres, i.e. les ensembles de la forme
CA= A× E × ... × E × ..., . avec A∈ BEk ou mˆeme A = A1× ... × Ak ∈ BE⊗k.
C’est exactement le th´eor`eme de Kolmogorov qui affirme qu’une mesure sur un espace produit infini est bien d´efini, et de mani`ere unique, par l’ensemble de ses marginales ou formul´e d’une autre mani`ere, par une famille de mesures de EN compatibles : il existe ˜
π∈ P(EN) telle que
˜ π( ∞ Y j=1 ˜ Aj) = πk( k Y i=1 Ai). pour tout Q∞
j=1A˜j ∈ B(E)⊗N tel que ˜Aj = E pour tout j 6= ji, i = 1, ..., k et ˜Aji = Ai pour tout i = 1, ..., k.
Index
C0(E), l’espace des fonctions continues qui tendent vers 0 `a l’infini, 30
CA:= A×E×...×E×... ∈ BE∞si A∈ BEk, 52
Cℓ(E), l’espace des fonctions continues qui admettent une limite `a l’infini, 30 Cb(E), l’espace des fonctions continues et
born´ees, 24
Cc(E), l’espace des fonctions continues `a sup-port compact, 30
U C(P(E)), l’espace des fonctions uniform´ement continues et born´ees sur P(E), 43 BPk,a(E), boule ferm´ee de Pk(E), 32 BE, la tribu bor´elienne de E, viii
CE, l’ensemble des parties ferm´ees de E, 25 MPN, l’ensembles des matrices de
permu-tation, 19
MN ×N, l’ensembles des matrices, 19 OE, l’ensemble des parties ouvertes de E, 27 P(E), l’espace des mesures de probabilit´e
sur E, ix, 23
SN, l’ensemble des permutations, ii
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