Georges Lemaître
Georges Lemaître (1895/1966) était un astronome belge et un prêtre catholique, professeur à l’Université catholique de Louvain. Il étu- die la relativité sous Eddington à Cambridge et ensuite au M.I.T. En 1927, indépendamment d’Alexandre Friedmann, Georges Le- maître publie un article dans les Annales de la Société scientifique de Bruxelles intitulé Un univers homogène de masse constante et de
rayon croissant établissant que l’Univers est en expansion. Il est le
premier à établir la relation de proportionnalité entre la distance et la vitesse de récession des galaxies à partir des données de Slipher et de Hubble lui-même, introduisant donc la constante de Hubble deux ans avant ce dernier. Au début des années 1930, Lemaître propose la théorie de l’atome primitif, qui stipule que l’Univers est né lors d’une explosion primordiale et qu’il est en expansion
depuis. Cette idée sera plus tard tournée en dérision par l’astrophysicien britannique Fred Hoyle qui la surnommera big bang, nom qui lui est resté. En 1951, le pape Pie XII fera un parallèle entre cette théorie et le récit biblique de la création dans un effort pour réconcilier science et religion, au sein d’un courant appelé concordisme. Lemaître fera connaître son opposition à cet effort et Pie XII retirera plus tard ses allusions à la théorie de l’atome primitif. Lemaître mourut en 1966, quelques semaines après avoir appris la découverte du rayonnement cosmologique, la confirmation la plus probante de sa théorie. En octobre 2018, un vote électronique des membres de l’Union astrono- mique internationale approuva à 78% une proposition afin que la loi de Hubble soit dorénavant connue sous le nom de loi de Hubble-Lemaître. wikipédia
et on montre sans peine que
dσ2= dw2+ dx2+ dy2+ dz2= R2(dψ2+ sin2ψdΩ2) (7.24) La coordonnéeψ varie de 0 à π, θ varie aussi de 0 à π alors que ϕ varie de 0 à 2π. La 3-sphère possède un volume fini, donné par
V = ∫ π 0 R dψ ∫ π 0 R sinψdθ ∫ 2π 0 R sinψsinθ dϕ = 2π2R3 (7.25)
C’est pour cette raison qu’on appelle R le «rayon de l’Univers» dans ce contexte.
La figure7.1illustre une coupe de cet univers sphérique en expansion en fonction du temps. La 2-sphère illustrée ici correspond, par exemple, à la coupe w= 0 de la 3-sphère. Les trois points A, B et C s’éloignent les uns des autres d’autant plus rapidement que le rayon est grand, quoique leurs coordonnées sur la sphère soient constantes. Un voyageur qui se dirige de A vers B, dans l’espoir peut-être de revenir sur A en faisant le tour de l’univers, se trouve confronté à l’expansion de l’univers au fur et à mesure qu’il avance. Un facteur R(t ) en expansion trop rapide pourrait en fait lui interdire d’atteindre le point B.
B. Univers de Friedmann-Lemaître
Alexandre Friedmann
Alexandre Friedmann (ou Fridman) (1888/1925) était un physicien théo- ricien et mathématicien russe actif au début de la période soviétique. En 1924 il publia un article intitulé Über die Möglichkeit einer Welt mit
konstanter negativer Krümmung des Raumes (Sur la possibilité d’un uni- vers à courbure spatiale négative constante) dans Zeitschrift für Physik.
Dans cet article et les suivants, il obtint la forme de la métrique pour des univers contenant une matière homogène et une courbure négative, positive ou nulle. Il est aussi connu comme le mentor de George Gamow et de Vladimir Fock. Friedmann est mort en 1925 d’une fièvre typhoïde diagnostiquée trop tardivement.
wikipédia A B C A B C A B C FIGURE7.1
Représentation schématique de l’expansion d’un univers à courbure constante positive en fonction du temps.
7.B.3 Espace à courbure spatiale constante négative
Supposons maintenant que k= −1. Dans ce cas, l’espace ne peut pas être plongé dans un espace euclidien de dimension 4, mais peut-être plongé dans un espace pseudo-euclidien de dimension 4, avec les coordonnées suivantes :
w= R coshψ
x= R sinhψsinθ cosϕ y = R sinhψsinθ sinϕ z= R sinhψcosθ
(7.26)
L’hypersurface constituant l’espace est définie par la relation
et la métrique de l’hôte est pseudo-euclidienne :
dσ2= −dw2+ dx2+ dy2+ dz2= R2(dψ2+ sinh2ψdΩ2) (7.28) Dans ce cas, le domaine de variation deψ est [0,∞], alors que θ et ϕ ont les mêmes domaines de variation qu’avant. Le volume total de l’espace est infini.
Enfin, dans le cas k= 0, l’espace est plat et la seule particularité de la métrique est ce facteur d’échelle
R(t ) qui change en fonction du temps.
7.B.4 Géodésiques dans l’espace de Friedmann-Lemaître
Examinons la forme des géodésiques dans la métrique de Friedmann-Lemaître. Sans perte de généralité, on peut supposer que la géodésique passe par le point r= 0. Utilisons pour cela la version (2.79) de l’équation de la géodésique en fonction de la quadrivitesse u :
˙
ui=12∂igj kujuk (7.29)
Comme la métrique ne dépend pas de la coordonnée azimutaleϕ, on constate que ˙uϕ= 0, donc que uϕest constant. Or
uϕ= giϕui= −R(t )r2(ψ)uϕ (7.30)
À r = 0, r (ψ) = 0 et donc uϕ= 0, ce qui entraîne que uϕ= 0 partout le long de la géodésique, donc que uϕ= 0 également. Comme uϕ= ˙ϕ, cela entraîne que ϕ est constant le long de la géodésique. Considérons ensuite la composante enθ de l’équation :
˙
uθ =12∂θgj kujuk=12∂θgϕϕuϕuϕ (7.31)
car gϕϕest la seule composante du tenseur métrique qui dépend deθ . Or, comme uϕ= 0, on se retrouve encore avec l’équation simple ˙uθ= 0. Le même raisonnement qui ci-dessus nous mène à la
conclusion que uθ = 0 et donc que θ est constant le long de la géodésique. Considérons ensuite la composante enψ :
˙
uψ=12∂ψgj kujuk (7.32)
Comme seuls gθ θ et gϕϕdépendent deψ et que uθ= uϕ= 0, on trouve aussi ˙uψ= 0, donc
uψ= gψψuψ= R2(t )uψ= cte (7.33)
Autrement dit, R2(t ) ˙ψ est constant le long de la géodésique.
Quant à la composante temporelle du vecteuru, elle est fixée par la normalisation. Pour une particule massive, uiui= 1 et donc
˙
t2− R2(t ) ˙ψ2= 1 ou encore ˙t2= 1 + α ˙ψ (7.34) alors que pour une particule sans masse, uiui= 0 et donc
˙
t2= R2(t ) ˙ψ2= α ˙ψ (7.35)
B. Univers de Friedmann-Lemaître
7.B.5 Décalage vers le rouge cosmologique
Dans la section3.C.1, nous avons évalué le décalage en fréquence d’un signal lumineux qui se propage dans une métrique indépendante du temps. Nous allons refaire l’exercice ici, dans un contexte plus général, et ensuite appliqué à la métrique de Friedmann-Lemaître qui, elle, dépend du temps.
Soyons d’abord très généraux. Un observateur possédant une 4-vitesse uiE émet un photon de 4- impulsion pEi, qui est ensuite détecté par un deuxième observateur de 4-vitesse uRi, alors que la 4-impulsion du photon est devenue pRi. La fréquence du photon pour l’observateur-émetteur est
νE= pE iuEi, alors que celle observée par le récepteur estνR= pR iuRi. Nous allons supposer que les observateurs sont des observateurs fondamentaux, dont les coordonnées spatiales sont fixes. Dans ce cas, uE a= uR a= 0 (a = 1,2,3) et la normalisation uiui= 1 se traduit par g
00(u0)2= 1. Le rapport
des fréquences d’émission et de réception est donc
νR νE = pR 0u0R pE 0u0E =pR 0 pE 0 g 00(E ) g00(R) 1/2 (7.36)
Retournons maintenant aux géodésiques dans la métrique de Friedmann-Lemaître, en particulier la géodésique suivie par le photon échangé entre l’émetteur et le récepteur. Le long de cette géodésique, on peut choisir un paramètre affine tel que ˙xi= pi. Nous allons supposer que le récepteur est situé à l’origine, de sorte que les conclusions de la section précédente s’appliquent. En particulier, p2= p3= 0
et la composante p1est constante le long de cette géodésique : p1E = p1R. Comme la 4-impulsion
du photon respecte la relation gi jpipj = 0, on en déduit une relation entre p0et p1: p0= R−1p1.
Comme g00= 1 dans la métrique de Friedmann-Lemaître, la formule (7.36) devient
νR νE =pR 0 pE 0 =R(tE) R(tR) (7.37)
On exprime souvent le décalage par le facteur z :
1+ z =νE
νR =
R(tR)
R(tE) (7.38)
Ainsi, si l’univers est en expansion, R(tR) > R(tE) et les photons subissent un décalage vers le rouge, d’autant plus important que le temps de parcours est grand. Si l’Univers était en contraction, les photons subiraient un décalage vers le bleu.
7.B.6 La constante de Hubble
En l’absence d’une connaissance précise de la fonction R(t ), il est d’usage de la représenter par un développement limité par rapport au temps présent t0:
R(t ) = R(t0) + (t − t0) ˙R(t0) +21R¨(t0)(t − t0)2+ ...
= R(t0)1 + (t − t0)H (t0) −12q(t0)H2(t0)(t − t0)2+ ...