L’espace D cusp (G) et le transfert

Proposition. Soient d ∈ Dcusp(G) et, pour tout G′ ∈ E(G), soit dG′

∈ Dcusp,λ1(G′ 1)st. Supposons que DG[d] co¨ıncide avec P

G′∈E(G)transf ert(DG′

1[dG^′]) sur Gell(F ). Alors DG[d] =P

G′∈E(G)transf ert(DG′ 1[dG′

]).

Preuve. Soit G^′ ∈ E(G). Des injections naturelles Z( ˆG) → Z( ˆG^′) → Z( ˆG^′₁) se d´eduisent des homomorphismes

(1) NG′

1 → NG′

Pour ν ∈ N , on d´efinit la composante dν de d comme dans le paragraphe pr´ec´edent. On d´efinit dG′,ν comme le produit des composantes dG′,ν′

sur les ν′ ∈ NG′

1 qui s’envoient sur ν par la suite ci-dessus. La famille ((dG′

)G′∈E(G), d) v´erifie l’hypoth`ese ou la conclusion de la proposition si et seulement si chaque famille ((dG′,ν)G′∈E(G), dν) les v´erifie. On peut donc fixer ν ∈ N et supposer d ∈ Dcusp(G)ν. Notons X l’ensemble des restrictions `a AG(F )c de caract`eres mod´er´ement ramifi´es de AG(F ). Pour G′ ∈ E(G), cet ensemble s’identifie `a celui des restrictions `a AG′

1(F )cde caract`eres mod´er´ement ramifi´es de AG′ 1(F ) qui co¨ıncident avec λ1sur A_G′

1(F )∩C1(F ) : `a ξ ∈ X , on associe d’abord l’image r´eciproque de ξ par la surjection A_G′

1(F )c → AG(F )c, puis le produit ξG′

de ce caract`ere par la restriction de ζ1 `a AG′

1(F )c. Ainsi, comme dans le paragraphe pr´ec´edent, on associe `a d, resp. dG′

, des composantes dξ, resp. dG′

ξG′, pour ξ ∈ X . La famille ((dG′

)G′∈E(G), d) v´erifie l’hypoth`ese ou la conclusion de la proposition si et seulement si chaque famille ((dG′

ξG′)G′∈E(G), dξ) les v´erifie. On peut fixer ξ ∈ X et supposer que d = dξ et dG′

= dG′

ξG′

pour tout G^′. Prolongeons ξ en un caract`ere unitaire de AG(F ), qui s’identifie comme ci-dessus pour tout G′ `a un caract`ere ξG′

de A_G′

1(F ) dont la restriction `a A_G′

1(F )∩C₁(F ) co¨ıncide avec la restriction de λ1. On construit un ´el´ement d ∈ Dcusp,ξ(G) comme dans le paragraphe pr´ec´edent et de fa¸con similaire des ´el´ements dG′

∈ D_cusp,λ1,ξG′(G^′₁). La famille ((dG^′)G′∈E(G), d) v´erifie l’hypoth`ese ou la conclusion de la proposition si et seulement si la famille ((dG′

)G′∈E(G), d) les v´erifient. En r´esum´e, on peut fixer un caract`ere unitaire ξ de A<sub>G</sub>(F ), qui d´etermine pour tout G′ un tel caract`ere ξG′

de A_G′

1(F ), et supposer d ∈ D_cusp,ξ(G) et dG′

∈ D_cusp,λ1,ξG′(G′

1) pour tout G′.

A ce point, on peut simplifier le probl`eme en se ramenant au cas o`u une unique donn´ee G^′ intervient. Pour cela, on introduit la repr´esentation π ∈ C[Ell(G)0

ξ] telle que ∆_cusp(π) = d. On utilise la d´ecomposition (1) de 7.6 et on ´ecrit conform´ement π = P

G′∈E(G)πG′. On sait que πG′ v´erifie les mˆemes propri´et´es que π d’apr`es la proposition 7.6. On note dG′ = ∆_cusp(πG′). On a d =P

G′dG′. On voit que si ((dG′

)G′∈E(G), d) v´erifie l’hypoth`ese de l’´enonc´e, alors, pour tout G′ ∈ E(G), DG[dG′] co¨ıncide sur Gell(F ) avec transf ert(DG′

1[dG′

]). Inversement, si DG[dG′] = transf ert(DG′ 1[dG′

]) pour tout G^′, la conclusion de l’´enonc´e est v´erifi´ee. Cela nous ram`ene au cas o`u la famille (dG′

)G′∈E(G) a au plus une composante non nulle. On note d´esormais G′ l’indice de cette composante et on note (d^′, d) ∈ Dcusp,λ1;ξ′(G^′₁)st× D_cusp,ξ(G) le couple auquel se r´eduisent les donn´ees de d´epart.

On introduit la repr´esentation π ∈ C[Ell(G)0

ξ] telle que ∆π,cusp= d et la repr´esentation π^′ ∈ C[Ell(G′

1)0

λ1,ξ′]st telle que ∆^G′1

π′,cusp = d^′. Alors, d’apr`es 6.3 (1), Θπ co¨ıncide avec Θ<sub>transf ert(π</sub>′) sur les elliptiques. D’apr`es [3] th´eor`eme 6.2, π = transf ert(π′). Soit P ∈ P(M). D’apr`es 6.3 (1), le lemme 8.4 entraˆıne que DM[∆M

πP,cusp] co¨ıncide sur Mell(F ) avec

(3) ^X M′∈LG′ min,G−rel;M′7→M |W^G′(M^′)|^{−1 X} w∈WG(M ) w⁻¹◦ transf ert(D^M1^′[∆^M1^′ π′ P ′ w(P ) ,cusp]).

Remarquons que, pour M′ et w intervenant ci-dessus, on peut transformer la donn´ee endoscopique M^′ de M en une donn´ee w⁻¹(M^′). Le terme que l’on somme peut se r´ecrire transf ert(Dw⁻¹(M′

1)[dw⁻¹(M′

1)]) pour un ´el´ement convenable dw⁻¹(M′

1) ∈ D_cusp,w−1(λ1)(w⁻¹(M₁^′)). C’est-`a-dire que la somme (3) est de la mˆeme forme que celle qui intervient dans l’´enonc´e de la proposition. Supposons M 6= G. En raisonnant par r´ecurrence, on suppose notre proposition prouv´ee pour M. Alors DM[∆M

πP,cusp] est ´egal `a (3). Pour un couple (x^′₁, x) ∈ G′

seulement si x^′₁ est compact mod Z(G^′₁) : cela parce que Z(G)(F ) est un sous-groupe de Z(G′)(F ) d’indice fini. Restreindre DM[∆M

πP,cusp] `a M(F ) ∩ Gcomp(F ) ´equivaut `a res-treindre chaque terme de (3) index´e par M′ `a M′(F ) ∩ G′

1,comp(F ). Apr`es restriction `a M(F ) ∩ Gcomp(F ), on sait que le terme ∆M

πP,cusp ne d´epend plus de P . Il en est de mˆeme des termes intervenant dans (3). On obtient que DM[∆M

πM,cusp,G−comp] est ´egal `a X M′∈LG′ min,G−rel;M′7→M |W^G′(M^′)|^{−1 X} w∈WG(M ) w⁻¹◦ transf ert(D^M1^′[∆^M1^′ π′ M ′,cusp,G′ 1−comp]).

Induisons `a G. Evidemment, l’induction est insensible `a la torsion par un ´el´ement de WG. Les w disparaissent de la formule et la somme en w est remplac´ee par la multiplication par |WG(M)|. D’autre part, l’induction commute au transfert. On obtient

(4) D^G[∆^M_{πM,cusp,G−comp}] = ^X M′∈LG′ min,G−rel;M′7→M |WG′ (M^′)|⁻¹|WG(M)| transf ert(D^G′1[∆^M1^′ π′ M ′,cusp,G′ 1−comp]). On utilise l’´egalit´e 6.3 (2) qui peut se r´ecrire

D^G[d] = Θπ|Gcomp(F )− ^X

M ∈L_min,M 6=G

|WG(M)|⁻¹D^G[∆^M_{πM,cusp,G−comp}],

o`u Θπ|Gcomp(F ) est la restriction de Θπ `a Gcomp(F ). En utilisant (4), on obtient D^G[d] = Θπ|Gcomp(F )− ^X M ∈L_min,M 6=G X M′∈LG′ min,G−rel;M′7→M |WG′ (M^′)|⁻¹transf ert(D^G′1[∆^M1^′ π′ M ′,cusp,G′ 1−comp]) = Θπ|Gcomp(F )− ^X M′∈LG′ min,G−rel;M′6=G′ |WG′ (M^′)|⁻¹transf ert(D^G′1[∆^M1^′ π′ M ′,cusp,G′ 1−comp]). On peut remplacer l’ensemble de sommation L^G_min,G−rel^′ par L^G_min^′ : pour un Levi non relevant, le terme que l’on somme est nul. En utilisant de nouveau 6.3 (2) cette fois dans G^′₁, on obtient

D^G[d] = Θπ|Gcomp(F )+ transf ert(D^G′1[d^′] − Θπ′|G′

1,comp(F )).

On a d´ej`a dit que, grˆace `a Arthur, on avait π = transf ert(π^′) donc les termes Θπ|Gcomp(F )

et transf ert(Θπ′|G′

1,comp(F )) disparaissent. D’o`u

D^G[d] = transf ert(D^G′1[d^′]), ce qu’il fallait d´emontrer. 

R´ef´erences

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