Apr`es avoir confirm´e la n´ecessit´e de magn´etiser le tube pour une meilleure d´etection, nous avons d´ecid´e d’utiliser le mod`ele en r´egime non-lin´eaire pour la configuration MFL simplifi´ee. Afin de r´eduire la complexit´e du probl`eme physique `a r´esoudre, le tube ne pr´esente pas de d´efaut et nous consid´erons le cas d’un syst`eme immobile c’est `a dire en l’absence totale d’un mouvement de rotation. La perm´eabilit´e relative du circuit magn´e- tique est constante et ´egale `a 2300, seul le mat´eriau du tube est ferromagn´etique.
La premi`ere ´etape du processus de r´esolution en r´egime non-lin´eaire consiste `a d´eter- miner les densit´es de charge surfaciques initiales σ∞ correspondant `a chaque contour de la g´eom´etrie. Les figures 4.13 et 4.14 repr´esentent respectivement les densit´es de charges surfaciques initiales du tube et du circuit magn´etisant.
La suite de la r´esolution consiste `a d´eterminer par le processus it´eratif les densit´es de charge surfaciques δσ et la densit´e de charge volumique du tube ρ. Durant cette ´etape, nous avons pu constater que certaines difficult´es num´eriques s’opposent `a la convergence du calcul it´eratif en amplifiant l’erreur au fur et `a mesure des it´erations. Ces difficult´es num´eriques sont dues principalement `a la variation brutale du champ magn´etique due `a la forme complexe des pˆoles et `a la singularit´e des fonctions de Green. Ces difficult´es num´eriques ´etaient quasi-absentes pour les autres exemples d’application vu dans le cha- pitre III car les g´eom´etries trait´ees ´etaient peu complexes. Dans le cas de cet exemple, les probl`emes de singularit´e sont amplifi´es et n´ecessitent un traitement particulier.
4.5
Conclusion
Nous avons montr´e dans ce chapitre les r´esultats de validation du mod`ele en r´egime lin´eaire pour la configuration MFL simplifi´ee. Durant cette validation, nous avons rencon- tr´es des difficult´es dues `a la limitation du mod`ele reposant sur la technique de discr´etisa- tion par la m´ethode de collocation.
(a) Hr
(b) Hθ
(a) σ∞du contour interne du tube
(b) σ∞ du contour externe du tube
Figure 4.13 – Repr´esentation des densit´es de charge surfacique σ∞ correspondant au tube
(a) σ∞ du contour interne du circuit
(b) σ∞ du contour externe du circuit
Figure 4.14 – Repr´esentation des densit´es de charge surfacique σ∞ correspondant au circuit magn´etisant
D’autre part, le signal du capteur dans le cas d’un d´efaut enfoui et avec une faible polarisation est tellement faible qu’il peut ˆetre parfois impossible de d´eceler l’existence d’une anomalie quelconque.
Cette situation nous a pouss´es `a ´etudier le cas non-lin´eaire et des simulations par ´el´e- ments finis nous ont permis de conclure que la magn´etisation du mat´eriau favorise une meilleure d´etection.
Pour le r´egime non-lin´eaire, la m´ethode Galerkin qui s’av`ere ˆetre plus avantageuse a ´et´e adopt´ee. Les fonctions d’interpolation de second ordre initialement utilis´ees ont ´et´e abandonn´ees en faveur des fonctions d’ordre ´elev´e.
Les travaux de validation du mod`ele en r´egime non-lin´eaire pour cet exemple de confi- guration ont ´et´e contrecarr´es par des difficult´es num´eriques dues principalement aux pro- bl`emes de singularit´e des fonctions de Green lors du calcul du champ magn´etique d’ob- servation sur les fronti`eres des pi`eces.
Les limitations du mod`ele nous ont men´es `a r´ealiser une ´etude approfondie des tech- niques num´eriques existantes pour surmonter ces probl`emes de singularit´e. Cette ´etude fera l’objet du chapitre suivant.
Etude des singularit´es des fonctions
de Green
5.1
Introduction
Le calcul des noyaux des int´egrales obtenus apr`es une discr´etisation par une approche de type Galerkin conduit `a des int´egrales singuli`eres qui combinent les fonctions de test, les fonctions de base et le gradient de la fonction de Green. Par exemple on peut avoir `a calculer : Z 1 −1 Z 1 −1 Pm(ξ)Pn(η) x − x′ R2 J(ξ, η)dξdη (5.1)
qui peut se mettre sous la forme Z 1 −1 Z 1 −1 e f (ξ, η) R2 J(ξ, η)dξdη (5.2)
o`u ef (ξ, η) est une fonction r´eguli`ere et R2 une distance qui tend vers 0 lorsque le
point d’observation et le point source sont confondus. Ce probl`eme de singularit´e ne se pose pas lorsqu’il s’agit de calculer les coefficients des matrices Aσσ, Aσρ, Aρσ et Aρρ car
nous avons vu dans le paragraphe 3.4 du chapitre 3 qu’un choix judicieux des points de Gauss des points d’observation et des points sources suffit pour nous ´epargner ce probl`eme num´erique.
Pour des g´eom´etries simples, nous avons pu surmonter ce probl`eme en d´eterminant les valeurs nodales du champ. Ainsi, les valeurs en tout point sont d´etermin´ees par inter- polation. Pour des g´eom´etries plus complexes, cette solution n’est plus applicable et un traitement rigoureux d’une telle probl´ematique devient plus crucial. Ce chapitre pr´esen- tera quelques techniques de traitement de la singularit´e dans le cas d’une int´egration sur un ´el´ement du contour et dans le cas d’une int´egration sur un ´el´ement de surface.