Equations non-homog`enes

y⁰⁰

4y= 0 (7.4)

si et seulement si f est solution de

y⁰⁰+py⁰+qy= 0, (7.3) puisque a²

4 = p² 4

p²

4 +q. On utilise alors le th´eor`eme 7.1.4 pour conclure.

Exemple. Nous reprenons l’exemple du mobile, mais nous supposons en outre qu’il subit une force de frottement de l’air. Cette force est proportionnelle `a sa vitesse. L’´equation du mouvement est donc

mx⁰⁰ = kx rx⁰,

avec r > 0 puisque la force de frottement s’oppose au mouvement. En posant encore

!² = _m^k et p= _m^r le polynˆome caract´eristique de l’´equation du mouvement est R(X) =X² +pX +!²,

dont le discriminant vaut = p² 4!² = (p 2!)(p+ 2!). Il faut donc discuter en fonction de la valeur de .

Si p >2!, alors >0 et l’´equation du mouvement est du type x(t) = .e ^{p2 t}+µ.e ^{p+2 t}. Si p= 2!, alors = 0 et l’´equation du mouvement est du type

x(t) = e ^2pt( t+µ).

Si p <2!, alors <0 et l’´equation du mouvement est du type x(t) =e ^2pt( cos(

2t) +µsin(

2t)).

Ici s’ach`eve la partie math´ematique de la r´esolution ; ce sont les conditions physiques qui aideront `a d´eterminer la solution dans chacun des 3 cas.

7.2 Equations non-homog` ´ enes

7.2.1 ´ equation du type y

ay = F

On consid`ere toujours a dans Ret on se donne une fonction F continue d´efinie sur R (ou un intervalle de R). On cherche `a r´esoudre l’´equation di↵´erentielle

y⁰ ay =F (7.5)

c’est `a dire qu’on souhaite trouver toutes les solutions de cette ´equation.

On commence par remarque que si f et g sont deux solutions alors f g est solution de l’´equation lin´eaire homog`ene associ´ee (7.1), ce qui signifie quef g est du typex7! .e^ax.

7.2. ´Equations non-homog`enes 62 R´eciproquement, si f estune solution de (7.5) et sig est une solution de (7.1), alorsf+g est encore solution de (7.5) :

(f +g)⁰ a(f +g) = f⁰ af+g⁰ ag=F + 0 =F.

On retiendra donc la r`egle : une solution g´en´erale de (7.5) s´ecrit comme la somme d’une solution particuli`ere de l’´equation et d’une solution g´en´erale de l’´equation homog`ene as-soci´ee y⁰ ay= 0.

Soit f une solution particuli`ere de y⁰ ay = F. Alors, l’ensemble solution de l’´equation y⁰ ay = F est l’en-semble des fonctions du type x7!f(x) + .e^ax

Exemple. Un parachutiste subit la force dˆue au poid et une force de r´esitence propor-tionnelle `a sa vitesse. L’´equation est donc

mz⁰⁰(t) = mg Kz⁰,

ce qui donne comme ´equation di↵´erentielle y⁰ ay = g o`u a = K/m et g est une constante. Une solution g´en´erale de l’´equation homog`ene associ´ee est y(t) = .e ^Kt/m et une solution particuli`ere de l’´equation est la constantey = _a^g. La vitesse du parachutiste est donc

z⁰(t) = g

a + .e ^Kt/m,

o`u se d´etermine en fonction de la vitesse au tempst= 0 (lorsqu’il ouvre son parachute).

On constate donc que assez rapidement la vitesse de chute est constante (K ´etant suppos´e positif, lim

t!+1e ^Kt/m= 0).

Pour ce type d’´equation, il existe une mani`ere syst´ematique de trouver les solutions.

Nous allons utiliser la m´ethode de la variation de la constante :

Soitf une solution dey⁰ ay =F ; posonsg(x) = f(x)e ^ax. On a doncg⁰(x) = e ^ax(f⁰(x) af(x)), ce qui donne

g⁰(x) =e ^axF(x).

On doit donc avoir g(x) = g(0) +Rx

0 g⁰(t)dt=g(0) +Rx

0 e ^atF(t)dt. Comme on ne cherche qu’une solution, on peut imposer g(0) = 0, et donc f(x) =e^ax

Z x 0

e ^atF(t)dt. On retien-dra :

L’ensemble solution de l´equation y⁰ ay = F est l’en-semble des fonctions du type

x7!e^ax( + Z x

0

e ^atF(t)dt).

7.2. ´Equations non-homog`enes 63

7.2.2 ´ equation du type y

+ py

+ qy = F

On consid`ere toujours p et q deux r´eels (p peut ˆetre nul) et F une fonction d´efinie sur R. La m´ethode et les r´esultats de la partie pr´ec´edente s’adaptent encore au cas des

´equations du second ordre, en un peu plus compliqu´e peut-ˆetre. Nous nous contenterons de donner quelques r´esultats :

Soit f une solution particuli`ere de y<sup>00</sup>+py<sup>0</sup> +qy = F. Alors, l’ensemble solution de l’´equationy<sup>00</sup>+py<sup>0</sup>+qy =F est l’ensemble des fonctions du type x 7! f(x) +g(x), o`u g est une solution g´en´erale de l’´equation homog`ene associ´ee y⁰⁰+py⁰ +qy = 0.

On peut encore utiliser la m´ethode de la variation de la constante pour trouver une solution particuli`ere, mais une th´eorie g´en´erale est lourde `a ´ecrire du fait des 3 cas qu’il faut consid´erer. Nous nons contenterons de donner des exemples :

Cas o`u est positif.

On appelleretsles deux racines distinctes deR(X) =X²+pX+q. Soientf solution de y⁰⁰+py⁰+qy =F etg la fonction d´efinie par g(x) = e ^rxf(x). On a donc

f⁰(x) = e^rx(g⁰(x) +r.g(x))

et f⁰⁰(x) =e^rx(g⁰⁰(x) + 2r.g⁰(x) +r²g(x)), ce qui donne comme ´equation en g :

8x, g⁰⁰(x) + (2r+p)g⁰(x) = e ^rxF(x).

On sait r´esoudre cette ´equation, ce qui nous permet de trouver une solution particuli`ere.

Cas o`u F est un polynˆome.

SiF(x) = a0+a1x+. . .+anxⁿ, on cherche la solution particuli`ere sous la forme d’un polynˆome b0+b1x+. . .+bnxⁿ.

Exemple. Solutions de y⁰⁰+y⁰+y = 3 + 2x+x².

Le calcul donne = 3 et donc les solutions g´en´erales sont du typef(x) = e ^12x( cos(^p₂³x)+

µsin(^p₂³x)). On cherche une solution particuli`ere sous la forme f(x) = ax²+bx+c.

on a donc f⁰(x) = 2ax+b et f⁰⁰(x) = 2a, ce qui donne

ax²+ (b+ 2a)x+ (b+ 2a+c) = 3 + 2x+x²,

ceci devant ˆetre vrai pour tout x. Par identification on trouve a= 1, b= 0 et c= 1.

Les solutions de l’´equation sont les fonctions du type f(x) = x²+ 1 +e ^12x( cos(

p3 2 x) + µsin(

p3 2 x)).

7.2. ´Equations non-homog`enes 64 Cas o`u F est une exponentielle.

SiF(x) =e^ax on cherche une solution particuli`ere sous laf(x) =Ce^ax. Si une solution pr´esente cette forme, elle doit v´erifier :

C.R(a)e^ax =f⁰⁰(x) +pf⁰(x) +qf(x) =e^ax.

Il faut donc consid´erer deux cas : Si a n’est pas racine de R alors on choisit C = 1 R(a). Sinon on cherche la solution sous la forme P(x)e^ax o`uP est un polynˆome (on commence par chercher avec un degr´e 1).

Exemples

La solution de y⁰⁰+y⁰ +y=e^x qui vaut 0 en 0 et avec une d´eriv´ee vallant 1 en 0.

On cherhce la solution particuli`ere sou sla forme f(x) = Ce^x. On aura alors 3Ce^x=e^x,

ce qui donne une solution g´en´erale de la forme g(x) = 1

3e^x+e ^12x( cos(

p3

2 x) +µsin(

p3 2 x)).

Comme on veut g(0) = 0 on doit avoir = 0 et comme on veut g⁰(0) = 1 on doit avoir 1

3+ p3

2 µ= 1.

On trouve alors µ= ₃^p4₃.

la solution de y⁰⁰ y⁰ =e^x qui vaut 0 en 0 et avec une d´eriv´ee nulle en 0.

On cherche la solution particuli`ere sous la forme f(x) = Ce^x, mais cela donne 0 = e^x qui est impossible comme ´equation (ici R(x) = x² 1 et R(1) = 0 !). On cherche donc la solution sous la forme f(x) = (ax+b)e^x et on trouve que ¹₂xe^x convient. Les solutions g´en´erales sont donc du type

g(x) = 1

2xe^x+ e^x+µe ^x.

On veut g(0) = 0 =g⁰(0), ce qui donne +µ= 0 et µ= ¹₂. Cas o`u F est trigonom´etrique

Si F(x) est du type cos(ax) ou sin(ax) et si F n’est pas solution de l’´equation ho-mog`ene, on, cherche une solution particuli`ere sous la forme f(x) = ↵cos(ax) + sin(ax).

Exemple. Solution particuli`ere de y⁰⁰ +y⁰ +y = cos(2x) ? On la cherche sous la forme indiqu´ee. On aura donc pour tout x, f⁰(x) = 2↵sin(2x) + 2 cos(2x) et f⁰⁰(x) =

4↵cos(2x) 4 sin(2x), ce qui donne, une fois r´einject´e dans l’´equation, ( 3↵+ 2 ) cos(2x) + ( 3 2↵) sin(2x) = cos(2x),

(ceci devant ˆetre vrai pour tout x). L’unique solution est obtenue par le couple (↵, ) qui v´erifie

3↵+ 2 = 1 et 3 2↵ = 0.