La première difficulté pour résoudre élémentairement de telles équations consiste à trouver une ou deux solutions particulières de l’équation homogène. Lorsque celle-ci est à coefficients constants, c’est très facile. Sinon, cela peut se faire par plusieurs méthodes : recherche de solutions simples (polynomiales, exponentielles, etc.), changement de fonction inconnue ou de variable ramenant l’équation à une équation à coefficients constants, recherche de fonctions développables en série entière, en séries de puissances ou en séries trigonométriques, etc. Dans des cas plus techniques, on peut recourir aux polynômes orthogonaux et aux fonctions associées, aux fonctions de Bessel, etc.
Ces questions ne sont pas les seules. Des méthodes qualitatives permettre d’étudier les graphes des solutions (oscillantes ou non oscillantes), la distribution de leur zéros, etc.
Exercice 1 : Résoudre x3 y’’ + x y’ – y = 0 , resp. e1/x. Solution : [ Oral Mines 1996, RMS n° 271 ]
Les deux équations se résolvent sur ]−∞, 0[ ou ]0, +∞[ L’équation homogène a pour solution évidente y1 = x.
La méthode y = y1z permet de compléter la résolution. On trouve resp. (et Maple confirme) : y(x) = a.x + b.xe1/x , y(x) = ( 1 – x )e1/x + a.x + b.xe1/x.
Exercice 2 : Résoudre ( x2 – 1 ) y’’ − 6 y = 0. On cherchera une solution particulière polynomiale.
Solution : [ Oral Mines 1996, RMS n° 272 ]
1ère méthode : recherche d’une solution particulière polynomiale ; elle est de degré 3.
En effet, si y = xn + … , il vient n ( n − 1 ) = 6, donc ( n + 2 )( n − 3 ) = 0.
On trouve y1 = x3 – x. Puis on cherche la solution sous la forme y = y1.z.
Cette méthode pose un léger problème de rigueur, car y1 s’annule en 0, mais le problème se résorbe au cours des calculs.
+2*z(x)+diff(z(x),x)*x=0,z(x)); 2ème méthode : résolution par séries entières.
> with(powseries);
compose evalpow inverse multconst multiply negative powadd powcos powcreate, , , , , , , , , [
powdiff powexp powint powlog powpoly powsin powsolve powsqrt quotient, , , , , , , , , reversion subtract template tpsform, , , ]
> ed:=(x^2-1)*diff(y(x),x,x)-6*y(x)=0;
Solution : Equation différentielle linéaire d’ordre 2, à coefficients constants.
L’équation homogène a pour système fondamental de solutions y1 = ex et y2 = e−x.
=
Exercice 4 : Montrer qu’il existe une unique solution y de classe C2 de R dans R, bornée sur R, et telle que ∀x ∈ R y’’(x) – y(x) =
² 11
+x . Cette fonction a-t-elle une limite en +∞ ? Solution : [ Oral Mines MP 2013, RMS n° 613 ]
1) Unicité. Si y et z sont deux solutions bornées sur R, y – z est solution de l’équation homogène, donc de la forme a.exp(x) + b.exp(−x). Donc a = b = 0.
Il y a donc au plus une solution bornée sur R.
2) La méthode de variation des constantes donne : y(x) =
2 ex
∫
0x1e+−tt².dt + a.ex − e2−x∫
0x1+ett².dt + b.e−x .3) Introduisons la fonction f(x) = 2
La fonction obtenue est donc
y(x) = [ f(x) − C ] ex + [− C + f(−x) ].e−x = −
> asympt(f(x),x,4);series(f(x),x=-infinity,4);
Exercice 5 : Soient f et g deux éléments de C(R, R). Montrer l’équivalence :
(∀x) g(x) = f(x) +
∫
0x(x−t).f(t).dt ⇔ (∀x) f(x) = g(x) −∫
0xsin(x−t).g(t).dt.Solution : Si l’on pose F(x) =
∫
0x(x−t).f(t).dt, on constate que F est C2 et que F’’(x) = f(x), F(0) = F’(0) = 0. L’équation fonctionnelle du premier membre s’écrit F’’(x) + F(x) = g(x), F(0) = F’(0) = 0.On résout cette équation différentielle par variation des constantes, et on reporte dans f(x) = g(x) – F(x). La réciproque peut être évitée avec un peu de réfléxion.
Remarque : une autre solution consisterait à munit C(R, R) d’une convolution.
Exercice 6 : 1) Domaine de définition D de F : x →
∫
0+∞ −1e+txt².dt ?2) Montrer que F est continue sur D, C2 sur ]0, +∞[. Variations et graphe ?
3) Montrer que F satisfait une équation différentielle du second ordre, et qu’elle en est la seule solution tendant vers 0 en +∞.
4) En déduire que ∀x > 0 F(x) =
∫
0+∞sin dtt+xt. , puis la valeur de∫
0+∞sin dtt t. .Solution : [ Oral Centrale PC 2010, RMS n° 998, etc. ]
Exercice 7 : Soit (E) x2 y’’(x) + 4xy’(x) + ( 2 – x2 ) y(x) – 1 = 0.
1) Montrer qu’il existe une unique solution DSE(0) de (E). On la note y0. Rayon de convergence ? Expression analytique de y0 ?
2) Trouver un entier p tel que u(x) = xp.y0(x) soit solution d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
3) En déduire la solution générale de (E).
4) Conclure.
Solution : [ Oral ICNA 2013, Quentin Pagat ]
0) (E) est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients variables, « avec second membre » (ici, 1). En vertu du théoroème de Cauchy linéaire, les solutions forment un plan affine dans C2(R*+, R) et dans C2(R*−, R).
1) Supposons que (E) ait une solution DSE y0(x) =
∑
anxn, série à rayon de convergence R > 0.x2 y’’(x) + 4xy’(x) + ( 2 – x2 ) y(x) =
∑
n(n−1)anxn +∑
4nanxn+ ( 2 – x2 )∑
anxn = 1s’écrit
∑
(n+1)(n+2)anxn –∑
anxn+2 = 1.En identifiant, on trouve an = 0 pour n impair, a2k =
)!
2 2 ( 1
+
k , donc y0(x) =
∑
(2kx+2k2)!.Le rayon de convergence de cette série est R = +∞ (par d’Alembert numérique, ou en posant X = x2 par d’Alembert séries entières). Et l’on constate que y0(x) =
² 1 x chx− .
2) u(x) = x2.y0(x) = ch x – 1 est solution de l’équation linéaire à coefficients constants u’’ – u = − 1.
3) Plus généralement, soit y une solution de (E) sur R*+ ou sur R*−.
Le résultat trouvé en 2) suggère de faire le changement de fonction inconnue u(x) = x2.y(x).
On constate que u’’ – u = −1, donc u = − 1 + A.ch x + B.sh x.
Finalement y(x) = −
² 1
x + Achxx² + B
² x shx. On dispose d’une solution particulière −
² 1
x . Mais la solution y0 a l’avantage d’être bornée au V(0).
Donc on a aussi y(x) =
² 1 chx−x + C
² x chx + D
² x shx. 4) Conclusion : on sait intégrer élémentairement (E).
Un DL en 0 montre que y0 est la seule solution bornée au V(0).
> ed:=x^2*diff(y(x),x,x)+4*x*diff(y(x),x)+(2-x^2)*y(x)-1=0;
> dsolve(ed,y(x));dsolve({ed,y(0)=1/2,D(y)(0)=0},y(x));
= ( )
y x sinh x _C2( ) + − x2
( ) cosh x _C1
x2
1 x2
Exercice 8 : 1) Résoudre les équations différentielles x.y’’ + 2y’ + x.y = 0 , resp. 1 , sin x, à l’aide du changement de fonction inconnue z = xy.
2) Résoudre les équations différentielles x2 y’’ + 4x y’ + ( 2 – x2 ) y = 0, resp. 1, exp x , à l’aide du changement de fonction inconnue z = x2.y.
3) Résoudre x.y’’ + (x − 2).y’ − 2.y = 0 à l’aide du changement de fonction inconnue z = y + y’ . Indication : faire le changment de variable x = et.
Solution : [ Oral Mines PC 2011, RMS n° 775. ]
1) L’équation différentielle (E) x2 y’’(x) + 3x y’(x) + y(x) = 1/x est linéaire du second ordre à coeffi-cients variables. Elle obéit au théorème de Cauchy linéaire sur chacun des intervalles R*+ et R*−. Sur chacun de ces intervalles, les solutions forment un plan affine.
2) Plaçons-nous sur R*+ et suivons les indications de l’énoncé. Posons par abus y(x) = y(t).
dx variable convenable, à des équations à coefficients constants :
( 1 + x2 )2 y’’ + 2x ( 1 + x2 ) y’ + m2 y = 0 y’’ − y’.cotan x + y.sin2 x = 0 y’’ + y’.tan x − y.cos2 x = 0 4 x y’’ + 2 y’ + a y = 0
( 1 + x2 ).y’’ + x.y’ + a.y = 0 x2.ln2 x.y’’ + x.ln x.( ln x + 1 ).y’ – a.y = 0 y’’ + y’ + a.e−2xy = 0 puis y’’ + y’ + a e−2xy = 3.ch x + sh x . Solution : Traitons en détail le premier exemple.
1) Considéronsl’équation (E) ( 1 + x2 )2 y’’ + 2x ( 1 + x2) y’ + m2 y = 0. L’équation transcrite en t devient alors :
On cherche une fonction ϕ telle que cette équation soit à coefficients constants.
Choisissons une fonction ϕ telle que
² 1
ϕ'
+ϕ = 1 : t = Arctan ϕ(t) , x = ϕ(t) = tan t.
On constate alors que l’équation s’écrit
²
Exercice 11 : Equations d’Euler. On nomme ainsi les équations de la forme (E) x2 y’’ + a x y’ + by = 0 ou f(x) , où a et b sont des constantes.
1) Montrer que le chgt de variable x = ± et ramène cette équation à une équation à coefficients constants. En pratique, cela revient à chercher des solutions particulières de l’équation homogène sous la forme xα, où α∈ C. coeffi-cients constants. Cela revient à chercher des solutions particulières de la forme |x|r.
> ed1:=x^2*diff(y(x),x,x)+x*diff(y(x),x)+y(x)=0;
=
[ Ind. : trouver une équation différentielle vérifiée par f et faire le changement de variable u = x2.]
Solution : [ Oral Mines PC 2010, RMS n° 700 ].
La fonction f est C∞ ; en redérivant, on obtient x f’’(x) – f’(x) – x3 f(x) = 0.
Après le changement de variable indiqué, on trouve f(x) = A.sh 2
Exercice 13 : Soient a et b deux fonctions continues sur I, b ne s’annulant pas. CNS pour qu’il existe un changement de variable transformant l’équation une équation à coefficients constants.
Solution :
Exercice 14 : Résoudre 2x.y’’ + y’ – 2.y = 0 sachant qu’il existe un intervalle sur lequel cette équation admet deux solutions dont le produit vaut 1
Solution :
Exercice 15 : On considère l’équation y’’ + a(x).y’ + b(x).y = 0. Relation entre a et b pour qu’il existe deux solutions linéairement indépendantes u et v telles que u2 + v2 soit constant.
Application : intégrer y’’.cos x + y’.sin x + y.cos3 x = 0.
Solution :
Exercice 16 : Résoudre y’’ + xy’ + y = 0 par séries entières. Reconnaître les solutions.
Solution: Cherchons y sous la forme y(x) =
∑
Comme y2 est impaire et y2(x) ∼ x au V(0), on a y2(x) = e−x²/2
∫
0xet²/2.dt =∑
Variante : transformation en un système du premier ordre en changeant de notation : y(x) devient x(t), et x’(t) désigne y’(x).
Exercice 17 : Résoudre par séries entières l’équation différentielle 4x y’’ + 2y’ – y = 0.
Reconnaître les solutions obtenues. Achever la résolution.
Solution: Cherchons y sous la forme y(x) =
∑
Contrairement à la situation rencontrée dans l’exercice précédent, les solutions développables en série entière en 0 forment une droite vectorielle : y(x) = a0∑
≥0(21)!
k s’exprime élémentairement de manière paradoxale : y1(x) = ch x si x ≥ 0 , y1(x) = cos −x si x ≤ 0 .
Reste à compléter la fonction obtenue afin d’obtenir un système fondamental de solutions.
On pressent qu’un tel système est (y1, y2), où :
y2(x) = sh x si x ≥ 0 , y2(x) = sin −x si x ≤ 0 . Pour montrer cela, on peut :
− utiliser la technique y = y1.z, mais, rigoureuse sur R+, elle pose un problème de rigueur sur R−; ce problème peut néanmoins être surmonté.
− faire les chgts de variable t = ±x, afin de se ramener à des équations à coefficients constants.
− chercher les solutions sous la forme d’une série de puissances.
> with(plots):f:=x->piecewise(x>0,cosh(sqrt(x)),x<0,cos(sqrt(-x)));
> g:=x->piecewise(x>0,sinh(sqrt(x)),x<0,-sin(sqrt(-x)));
> p:=plot(f(x),x=-100..6,-2..3,color=blue,thickness=2):
q:=plot(g(x),x=-100..6,-2..3,color=red,thickness=2):display({p,q});
Exercice 18 : Soit (E) l’équation différentielle y’’ = ( x4 + 1 ).y.