Equations d’Einstein

Nous allons suivre dans cette section l’idée d’Einstein qui suggère que la gravité est une manifestation de la courbure de l’espace-temps dû à la présence d’une distribution de masse et établir ainsi un ensemble d’équations déterminant comment la courbure de l’espace-temps à un instant donné est liée à la distribution de masse ou d’énergie à cet instant. En d’autres termes, nous allons déterminer les champs ou les potentiels gravitationnels à partir des distributions de masse ou d’énergie. Dans ce but, nous adoptons l’approche originale d’Einstein qui repose sur la généralisation relativiste de l’équation de Poisson de la mécanique Newtonienne,

∆φ = 4πGρ, (1.56) où φ est le potentiel de Newton, G est la constante de Newton et ρ est la densité de masse. Si la gravité est une manifestation de la courbure de l’espace-temps alors nous avons dans la limite Newtonienne la généralisation suivante pour le potentiel gravitationnel

g₀₀= 1 + 2φ,

où g₀₀ est la composante 00 du tenseur métrique g_µν. D’autre part, nous savons que la généralisation tensorielle de la densité de masse est le tenseur d’énergie-impulsion,

T₀₀= ρ,

où T₀₀est la composante 00 du tenseur d’énergie-implusion T_µν. Alors l’équation du champ (1.56) peut être réécrite comme

∆g00= 8πGT00. (1.57) Rappelons que cette équation est valable uniquement pour les champs faibles et statiques. Pour être invariante de Lorentz, elle doit être généralisée en une équation tensorielle. Pour ce faire remplaçons le membre de gauche de l’équation (1.57) par un tenseur G_αβdépendant de la métrique et de ses dérivées premières et secondes. Donc l’écriture tensorielle ou la forme covariante de l’équation (1.57), valable pour des champs faibles mais pas forcément statiques, s’écrit comme

Gαβ = 8πGTαβ, (1.58) où Tαβ est le tenseur d’énergie-impulsion. D’après le principe de covariance générale, les équations qui gouvernent des champs gravitationnels d’intensité arbitraire doivent être de la forme

Gµν = 8πGTµν, (1.59) où Gµν est un tenseur qui se réduit à Gαβ pour des champs faibles. Le tenseur symétrique d’énergie-impulsion T_µν nous renseigne sur le contenu énergétique du système considéré et

agit comme une source de gravitation. Il doit être de divergence nulle afin de préserver la conservation de l’énergie-impulsion

D^µTµν = 0. Le tenseur G_µν doit avoir les propriétés suivantes : 1-Gµν est un tenseur du second ordre.

2-Gµν, tout comme Tµν, doit être , selon l’équation 1.59, symétrique. 3-Comme D^µT_µν = 0, D^µG_µν = 0, toujours selon l’équation 1.59. 4-Gµν doit être nul pour espace plat.

5-Gµν doit être fonction uniquement du tenseur de Riemann, de ses contractions et du tenseur métrique.

6- Gµν doit être linéaire en le tenseur de Riemann. Autrement dit, le tenseur Gµν ne doit contenir que des termes linéaires dans les dérivées secondes ou quadratiques dans les dérivées premières de la métrique.

7-Pour des champs faibles statiques produits par une matière non relativiste, la composante G00 du tenseur Gµν doit, selon l’équation (1.57), se réduire à,

G00= ∆g00.

Déterminons maintenant le tenseur G_µν en utilisant ses propriétés énumérées ci-dessus. Les propriétés 1, 2, 5 et 6 imposent à Gµν d’être de la forme

Gµν = α Rµν+ β gµνR, (1.60) où α et β sont des constantes. Imposons maintenant la condition

D^µGµν = 0. Nous avons

D^µG_µν = α D^µR_µν+ β (D^µg_µν) R + β g_µνD^µR. On a D^µgµν = 0. Par conséquent,

D^µGµν = α D^µRµν+ β gµνD^µR. (1.61) La contraction deux fois de suite de l’identité de Bianchi, (1.43),

D_λRµνσρ+ DµR_νλσρ+ DνR_λµσρ= 0, nous donne, (1.44),

D^µR_µν = ¹ 2^DνR.

En tenant compte de cette relation, l’équation (1.61) peut être mise sous la forme D^µG_µν =³α 2 ^{+ β} ´ D_νR. En imposant ∂^µG_µν = 0, on a soit β = −^α 2^, soit DνR = 0.

La deuxième solution est à exclure. En effet si on multiplie l’équation (1.59) par gµν et en tenant compte de l’expression du tenseur Gµν en termes du tenseur de Ricci et du scalaire de courbure, (1.60), on a

g^µν(αRµν+ βgµνR) = 8πGg^µνTµν, qui se simplifie en

(α + 4 β) R = 8π G T, où T est défini comme

T = g^µνTµν. Il s’ensuit que

DνR = 0 ⇒ DνT = 0,

qui n’est pas valable dans le cas anisotrope. Donc, finalement c’est la solution β = −α/2 qui doit être retenue et l’expression du tenseur Gµν, (1.60), se précise davantage

G_µν = α µ

R_µν− ¹₂g_µνR ¶

. (1.62) Il reste maintenant à déterminer la constante α. Ceci s’obtient en exigeant que dans la limite d’un champ faible statique la composante G₀₀ du tenseur G_µν se réduit à ∆g₀₀, ce qui fixe la valeur de la constante α à −1. Par conséquent,

Gµν = − µ

Rµν −¹₂gµνR ¶

. (1.63) Finalement, les équations de champ d’Einstein s’écrivent comme

R_µν−¹

2^gµνR = −8πGTµν. (1.64) On peut mettre cette dernière équation sous la forme suivante

Rµν = −8π G µ

Tµν−¹₂gµνT ¶

Il s’ensuit que dans le cas du vide, Tµν = 0, les équations d’Einstein s’écrivent comme R_µν = 0. (1.66) Comme g_µν, R_µν et T_µν sont tous symétriques, nous avons donc 10 équations indépen-dantes et autant de composantes indépenindépen-dantes de la métrique g_µν à déterminer. Ce-pendant, l’identité de Bianchi, équivalente à D^µGµν = 0, réduit le nombre d’équations indépendantes à 6. A l’inverse de l’équation linéaire du champ de la gravité Newtonien, les équations d’Einstein sont non linéaires, ce qui rend très difficile la résolution de ces équa-tions dans le cas général. Malgré ces complicaéqua-tions, les équaéqua-tions d’Einstein expliquent à la perfection l’interaction espace matière. Autrement dit, ces équations expriment comment la matière déforme l’espace et comment l’évolution de la matière est liée à la structure géo-métrique de l’espace. Remarquons que si on renonce à la sixième condition et en utilisant le fait que

D^µg_µν = 0,

on peut ajouter à G_µν, c’est à dire au membre de gauche de l’équation (1.64) un nouveau terme possible de la forme Λgµν, de telle sorte que l’équation D^µGµν = 0 reste toujours vérifiée. Les équations d’Einstein s’écrivent alors comme

Rµν−¹₂gµνR + Λ gµν = −8π G Tµν, (1.67) où Λ est une nouvelle constante universelle de la nature appelée constante cosmologique. Cette constante a été introduite originalement par Einstein pour permettre à ses équations d’expliquer une cosmologie statique. En contractant l’équation (1.67), on obtient

g^µν µ Rµν− ¹₂gµνR + Λ gµν ¶ = −8π G g^µνTµν, ce qui donne R = 8π G T + 4 Λ. (1.68) En remplaçant dans l’équation (1.67) le scalaire de courbure R par son expression (1.68), on obtient une deuxième forme pour les équations d’Einstein en présence d’une constante cosmologique Rµν = −8π G µ Tµν− ¹₂T gµν ¶ + Λ gµν. (1.69) Remarquons, comme le montre l’équation (1.67), qu’on peut considérer le terme ajouté Λ g_µν comme une sorte de tenseur d’énergie-impulsion avec T_µν⁰ = _{8π G}^Λ g_µν. Dans une telle interprétation T0

1.8 Métriques de Schwarzschild et de Schwarzschild-de