D´ efinition





˙

x(t) =f(x(t), z(t)) ψ(x(t), z(t)) = 0 x(t0) =x0, z(t0) =z0.

II Terminologie

— On appellera ´equation diff´erentielle ou syst`eme dynamique toute ´equation ˙x(t) =f(t, x(t)) (c’est-`a-dire sans la condition initiale).

— Si la fonction f ne d´epend pas explicitement du temps, c’est-`a-dire que l’´equation diff´erentielle s’´ecrit

˙

x(t) =f(x(t)), on dit que l’´equation diff´erentielle est autonome.

— L’´equation diff´erentielle est dite lin´eaire⁴ si elle s’´ecrit ˙x(t) =A(t)x(t) +b(t).

— x:I−→Rⁿ;

— A:I−→ L(Rⁿ,Rⁿ)≡ Mn(R) ;

— b:I−→Rⁿ.

— Elle est dite lin´eaire et homog`ene ou sans terme constant si elle s’´ecrit ˙x(t) =A(t)x(t) ;

— Elle est dite lin´eaire `a coefficients constants si elle s’´ecrit ˙x(t) =Ax(t) +b.

— On appelle dimension de l’´equation diff´erentielle ˙x=f(t, x(t)) la dimensionndex(t).

— On appelle ´equation diff´erentielle d’ordremune ´equation qui s’´ecrit x^(m)(t) =g(t, x(t), . . . , x^(m−1)(t)).

III Qu’est-ce qu’une solution ?

La premi`ere question qui se pose est de savoir ce que l’on entend par une solution de (IV P).

III.1 Solution classique

D´efinition III.1 (D´efinition classique) On suppose f d´efinie et continue sur un ouvert ΩdeRⁿ⁺¹ `a valeurs dans Rⁿ. On appelle solution classique de (IV P) tout couple (I, x), I intervalle ouvert de R, contenant t0 et x:I→Rⁿ d´erivable en tout point et v´erifiant

(i) (t, x(t))∈Ω,∀t∈I (ii) x(t) =˙ f(t, x(t)),∀t∈I (iii) x(t0) =x0.

Une solution est aussi appel´ee courbe int´egrale de l’´equation diff´erentielle.

Remarque III.2

Sif est continue (respectivementC^k) et (I, x)est une solution alorsxestC¹(respectivementC^k+1).

Exercice III.3 V´erifiez que la fonction

ϕ:R −→ R² t 7−→

−₂₅¹(13 sint+ 9 cost)

−₂₅¹(3 sint+ 4 sint)

est solution du syst`eme diff´erentiel `a condition initialeI.6

2. Delay Differential Equation.

3. Differential Algebraic Equation.

4. En fran¸cais, on devrait dire ´equation affine.

III. QU’EST-CE QU’UNE SOLUTION ? 7 Exercice III.4

On consid`ere le probl`eme de Cauchy d´efinie surΩ =R×R (IV P1)

x(t) =˙ −x²(t) x(t0) =x0, o`u (t0, x0)est fix´e. V´erifiez que l’on a les solutions :

— Six₀= 0,

ϕ:I=]− ∞,+∞[ −→ R t 7−→ ϕ(t) = 0

— Six₀>0,

ϕ:I=]t0−1/x0,+∞[ −→ R

t 7−→ ϕ(t) = x0

(t−t₀)x₀+ 1;

— Six₀<0,

ϕ:I=]− ∞, t0−1/x0[ −→ R

t 7−→ ϕ(t) = x₀

(t−t0)x0+ 1. Ces r´esultats sont visualis´es sur les Fig.1.3et 1.4.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

t x0

Figure 1.3 –Visualisation de l’ensemble]ω₋(0, x₀), ω₊(0, x₀)[×x0 pour l’exemplex(t) =˙ −x²(t), x(0) =x₀. Exercice III.5

On consid`ere le probl`eme de Cauchy d´efinie surΩ =R×R (IV P2)

x(t) =˙ p

|x(t)|

x(0) = 0.

1 V´erifier que φ1(t) = 0etϕ2(t) = ^t|t|₄ pour toutt dansRsont solutions de(IV P)2.

2 Soita >0, v´erifier que

ϕa(t)

(0 sit≤a ϕ2(t−a) sit > a pour toutt dansRest solution de (IV P)2.

On rappelle qu’une fonctionx:I→Rⁿ est localement absolument continue si elle est absolument continue sur tout intervalle compact deI.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

t

x(t)

Figure1.4 –Solutions pour le probl`emex(t) =˙ −x²(t), x(t0) =x0, les courbes int´egrales ne peuvent se couper, elles forment une partition de l’ouvertΩ =R².

III.2 solution faible

Dans beaucoup de probl`emes, la d´efinition d’une solution classique ne suffit pas. Dans une ´equation diff´erentielle contrˆol´ee par exemple, le contrˆole qui est une fonction du temps est discontinu. Par suite la fonctionf ne sera pas continue enf. Afin de traiter ce cas, il faut d´efinir une nouvelle d´efinition de solution et se placer dans les bons espaces fonctionnels. La notion fondamental est ici l’int´egrale de Lebesgue.

D´efinition III.6 (Solution faible) On appelle solution faible de (IV P)tout couple(I, x),I intervalle ouvert de Rcontenant t0 etx:I→Rⁿ localement absolument continue v´erifiant

(i) (t, x(t))∈Ω,∀t∈I

(ii) x(t) =˙ f(t, x(t)), pour presque tout t∈I (iii) x(t0) =x0.

Remarque III.7

Sif est continue et x est une solution faible alors l’applicationt →f(t, x(t))est continue. Par suite la d´eriv´ee dex(t)qui existe presque partout est ´egale `a une fonction continue. Doncx(t)˙ existe partout surI etxest une solution classique.

Th´eor`eme III.8

(I, x)est une solution faible de(IV P)si et seulement si(t, x(t))∈Ωpour touttdansI, la fonctiont7→f(t, x(t)) est localement int´egrable et

x(t) =x₀+ Z t

t₀

f(s, x(s))ds.

D´emonstration

— Si (I, x) est une solution faible,x(.) est absolument continue, alors (corollaire 2.41.5 de [13]) x(t) =x₀+

Z t t₀

˙

x(s)ds=x₀+ Z t

t₀

f(s, x(s))ds.

— R´eciproque.

Si l’applicationt7→f(t, x(t)) est dansL¹et que l’on a x(t) =x0+

Z t t0

f(s, x(s))ds,

alors (th´eor`eme 2.40.2 de [13]) ˙x(t) =f(t, x(t)) presque partout. Donc (I, x) est une solution faible.

2

Dans toute la suite de ce document on supposera, sauf lorsque cela sera mentionn´e, que la fonctionf est continue.

IV. PLAN DU COURS 9

IV Plan du cours

Maintenant que l’on a d´efinit le probl`eme trait´e, nous allons dans ce cours ´etudier tout d’abord les aspects math´ematiques qui comprendront les ´equations diff´erentielles ordinaires lin´eaires, le th´eor`eme d’existence de solution de Cauchy-Lipschitz et la d´ependance de la solution par rapport aux donn´ees. Dans une deuxi`eme partie, nous verrons l’int´egration num´erique via les m´ethodes de Runge-Kutta.

Ce cours n’est bien sˆur qu’une introduction au domaine. Concernant la deuxi`eme partie par exemple une bonne r´ef´erence est donn´ee par les 3 livres du professeur E. Hairer et al.[7,8,6] qui font plus de 300 pages chacun !

Chapitre 2

Equations diff´ ´ erentielles lin´ eaires

I Introduction

Dans tout ce chapitre Isera un intervalle deRetKsera le corps des r´eels ou des complexes. L’objectif de ce chapitre est l’´etude math´ematique des ´equations diff´erentielles lin´eaires

˙

x(t) =A(t)x(t) +b(t), o`u

— x:I−→Kⁿ;

— A:I−→ L(Kⁿ,Kⁿ)≡ Mn(K) ;

— b:I−→Kⁿ.

Ce chapitre est fortement inspir´e del’ouvrage de Fr´ed´eric Jean [9]. Nous commencerons par le cas des ´equations lin´eaires homog`enes et autonomes ˙x(t) =Ax(t), puis nous ´etudierons le cas non autonome ˙x(t) =A(t)x(t) et le cas g´en´erale des ´equations lin´eaires ˙x(t) =A(t)x(t) +b(t).

II Equations diff´ ´ erentielles lin´ eaires homog` enes autonomes

II.1 Approche ´ el´ ementaire

Dans cette sous section le corpsK sera le corps des r´eels R.

Exemple II.1

On consid`ere l’´equation diff´erentielle ordinaire lin´eaire scalaire

(IV P1)

x(t) =˙ λx(t) x(t0) =x0,

o`uλest un r´eel et xest une fonction deRdansR. On sait que la solution de cette ´equation, qui est unique (cf.le th´eor`emeIII.1ci-apr`es), est donn´ee par

x(t) =e^λ(t−t0)x0.

On en d´eduit que cette solution est d´efinie surI=Ret que l’on a comme comportement asymptotique

— Siλ <0alorslim_t→+∞x(t) = 0;

— Siλ= 0alorsx(t) =x0;

— Siλ >0

— Six0<0alorslim_t→+∞x(t) =−∞;

— Six0= 0alorsx(t) = 0;

— Six0>0alorslim_t→+∞x(t) = +∞.

Exemple II.2

Consid´erons maintenant un syst`eme de deux ´equations diff´erentielles

(IV P2)











˙

x₁(t) =λ₁x₁(t)

˙

x₂(t) =λ₂x₂(t) x1(t0) =x0,1

x2(t0) =x0,2. 11

La solution est alors donn´ee par

x1(t) =e^λ1(t−t0)x0,1

x₂(t) =e^λ2(t−t0)x_0,2. et le comportement asymptotique est

— si λ1<0et λ2<0 alorslimt→+∞x(t) = 0;

— si λ₁<0et λ₂>0 etx_0,26= 0alors|x1(t)| →0et |x2(t)| →+∞, et donckx(t)k →+∞, quandt→+∞;

— ...

II.2 Exponentielle de matrice

L’espace vectoriel norm´e (Mn(K),k.k), est un espace de Banach. On consid`ere ici une norme qui v´erifie kABk ≤ kAkkBk. La s´erieP+∞

k=0 A^k

k! est alors normalement convergente (A) car

+∞

D´efinition II.3 (Exponentielle de matrice) On appelle exponentiel de matrice l’application

exp :Mn(K) −→ Mn(K)

L’exponentielle de matrice a les propri´et´es suivantes : (i) e⁰=I;

(iii) siP est inversible on a

exp(P AP⁻¹) =Pexp(A)P⁻¹; (2.2)

(iv) si AetB sont deux matrices qui commutent alors

exp(A+B) = exp(A) exp(B); (2.3)

(v) pour toutαetβ,e^(α+β)A=e^αAe^βA; (vi) pour toute matrice A,e^A est inversible et

(exp(A))⁻¹= exp(−A); (2.4)

(vii) pour toute matriceA, l’applicationt→e^tA estC^∞et d

dte^tA=Ae^tA=e^tAA. (2.5)

D´emonstration

(i) ´Evident.

(ii) Il suffit d’´ecrire la d´efinition.

(iii) On a

II. ´EQUATIONS DIFF ´ERENTIELLES LIN ´EAIRES HOMOG `ENES AUTONOMES 13 (iv) SoitA, B deux matrices carr´es qui commutent. Par d´efinition on a

e^A+B =I+ (A+B) +· · ·+(A+B)^m m! +· · · MaisAet B commutent, la formule du binˆome permet alors d’´ecrire

(A+B)^m=

m

X

k=0

C_m^kA^kB^m−k.

Mais les s´eries d´efinissante^A et e^B´etant normalement convergentes, nous avons e^Ae^B =

(v) C’est imm´ediat car αAet βAcommutent.

(vi) Il suffit d’´ecriree^A−A=e^Ae^−A=I.

(vii) Posons

f :R −→ Mn(K) t 7−→ e^tA.

La s´erie d´efinissant l’applicationf(t) est normalement convergente, par suite elle est uniform´ement convergente sur tout intervalle compacteI deR. La s´erie des termes d´eriv´ees s’´ecrit

A Cette s´erie est normalement convergente. On en d´eduit qu’elle est ´egale `af⁰(t).

2

Exemple II.5

Si maintenant nous consid´erons le cas du syst`eme diff´erentiel

(IV P3) Le comportement asymptotique est alors

— si tous lesλi sont strictement n´egatifs alorslim_t→+∞x(t) = 0;

— si tous lesλi sont n´egatifs ou nuls alors la solution est born´ee quandt→+∞;

— si au moins unλi est strictement positif et quex0,i6= 0alorskx(t)k →+∞, quandt→+∞.

Exemple II.6

Soit maintenantA une matrice diagonalisable,A=PΛP⁻¹et le syst`eme diff´erentiel `a valeur initiale (IV P4)

x(t) =˙ Ax(t) x(t0) =x0,

Posonsz(t) =P⁻¹x(t), alorsz(t)est solution su syst`eme diff´erentielle `a valeur initiale (IV P5)

z(t) =˙ P⁻¹x(t) =˙ P⁻¹PΛP⁻¹x(t) = Λz(t) z(t0) =P⁻¹x0.

On a doncz(t) =e^(t−t0)ΛP⁻¹x0et x(t) =P z(t) = (P e^(t−t0)ΛP⁻¹)x0. Par suite le comportement asymptotique est caract´eris´e par les valeurs propres de la matriceA.

Th´eor`eme II.7

L’unique solution du syst`eme diff´erentielle lin´eaire, autonome et homog`ene `a valeur initial (IV P6)

Soitxv´erifiant (2.6), la propri´et´e (2.5) implique alors que

˙

x(t) = d

dt(e^(t−t0)Ax0) =Ae^(t−t0)Ax0=Ax(t).

Comme on ax(t₀) =x₀, c’est bien une solution.

Supposons maintenant que xsoit une solution de (IV P6). Posonsz(t) =e^−(t−t0)Ax(t), alors

˙

z(t) =−Ae^−(t−t0)Ax(t) +e^−(t−t0)AAx(t) = 0,

carAete^−(t−t0)A commutent. Par suitez(t) =z(t₀) =x₀ pour touttetx(t) =e^(t−t0)Az(t) =e^(t−t0)Ax₀.2

II.3 Calcul de l’exponentielle de matrice

Exercice II.8

A partir de la d´` efinition calculere^tApour 1

II. ´EQUATIONS DIFF ´ERENTIELLES LIN ´EAIRES HOMOG `ENES AUTONOMES 15 Exercice II.11

Soita∈R, `a partir de la diagonalisation dansC, calculer exp

0 −a

a 0

Dans le cas g´en´eral, pour calculer l’exponentiel d’une matrice, on va utiliser sa d´ecomposition de Jordan [1]. On note respectivementP(λ) etm(λ) les polynˆomes caract´eristique et minimale deA∈ Mn(C)

P(λ) =

et on rappelle que l’on a les propri´et´es suivantes (i) Γi= kerC(A−λiI)^pi = kerC(A−λiI)^mi;

o`u λi est pr´esent pi fois dans Λ et o`uN est nilpotent. Pour aller plus loin nous allons utilis´e la d´ecomposition sous la forme de Jordan.

Th´eor`eme II.12 (D´ecomposition de Jordan)

SoitAune matrice carr´e complexe, alors il existe une matriceP inversible telle que

P⁻¹AP =

II.4 Forme des solutions

Th´eor`eme II.13

SoitA une matrice carr´ee complexe. Toute solution dex(t) =˙ Ax(t)s’´ecrit

x(t) =

r

X

i=1

e^tλi

m_i−1

X

k=0

t^kv_i,k (2.7)

o`uvi,k∈Γi. Remarque II.14

— Le terme enλi est polynomiale entlorsquemi>1, et constant lorsquemi= 1(ce dernier cas se produit si et seulement si les ordres de multiplicit´es alg´ebrique et g´eom´etrique de λi co¨ıncident.

— Fixons x(0) = x0 = v1+· · · +vr, avec vi ∈ Γi. Cette d´ecomposition de x0 existe et est unique car Cⁿ= Γ1⊕ · · · ⊕Γr. Alors en ´ecrivant les d´eriv´ees successives en0dans la formule (2.7) et en utilisant le fait que ^d_dt^k_k^x(0) =A^kx₀, on obtient

v_i,k= 1 k!N^kv_i

o`uN est la matrice nilpotente de la d´ecompositionΛ +N deP⁻¹AP.

Consid´erons maintenant le cas d’une matrice `a coefficients dansR et d’une solution dansRⁿ. On peut bien

´evidemment consid´erer A comme une matrice complexe, prendre comme condition initiale x₀+i0, appliquer le th´eor`emeII.13, puis prendre la partie r´eelle. Mais on peut profiter du fait que si une valeur propre est complexe, sa valeur conjugu´ee est aussi une valeur propre et on peut d´ecomposerRⁿ comme la somme directe

Rⁿ=E1⊕ · · · ⊕Eq,

o`u Ei= Γλ_i∩Rⁿ siλest une valeur propre r´eelle etEi= (Γλ_i⊕Γ¯λ_i)∩Rⁿ siλi est une valeur propre complexe.

On obtient ainsi le Th´eor`eme II.15

SiAest une matrice r´eelle, l’ensemble des solutions r´eelles s’´ecrit

x(t) =

q

X

i=1

e^tαi X

0≤k≤mi−1

t^k(cos(βit)ai,k+ sin(βit)bi,k),

o`uλi=αi+iβi et lesai,k, bi,k sont dansEi. Corollaire II.16

SiAest une matrice r´eelle diagonalisable dansC, alors toute solution dex(t) =˙ Ax(t)s’´ecrit x(t) =

q

X

i=1

e^tαi(cos(β_it)a_i+ sin(β_it)b_i)

avec λ1, . . . , λs, valeurs propres r´eelles de A, λs+1,λ¯s+1, . . . , λq,¯λq, valeurs propres complexes conjugu´ees deA, λj =αj+iβj etaj+ibj vecteur propre deAassoci´ee `aλj

III Equations lin´ ´ eaires

III.1 Introduction

On s’int´eresse dans cette section aux ´equations diff´erentielles lin´eaires `a condition initiale (IV P7)

x(t) =˙ A(t)x(t) +b(t) x(t0) =x0,

Les fonctionsA:I⊂R→ Mn(K) etb:I→Kⁿ seront toujours suppos´ees de classeC^k, k≥0.

III. ´EQUATIONS LIN ´EAIRES 17

III.2 Existence et unicit´ e de solution

Th´eor`eme III.1

On suppose queA etbsontC^k, k≥0, t0∈I, intervalle ouvert deRet quex0∈Kⁿ, alors le probl`eme de Cauchy (IV P7)admet une solution et une seule.

D´emonstration

Ceci est aussi d´emontr´e au corollaire (3.I.13). D´emontrons tout d’abord l’existence. On consid`ere un intervalle compactJ ⊂I qui contientt₀. Nous allons d´emontrer que l’application

T :E= (C⁰(J,Kⁿ),k.k∞) −→ E

x(.) 7−→ T(x(.)) =x₀+ Z .

t₀

(A(s)x(s) +b(s))ds,

admet un point fixe. Le th´eor`eme (1.III.8) permettra alors de conclure que le probl`eme de Cauchy admet une solution sur tout intervalle compactJ ⊂I et donc sur toutI. Pour d´emontrer que l’applicationT admet un point fixe, nous allons utiliser le th´eor`eme du point fixe qui dit que si T, application d’un espace de Banach dans lui mˆeme, admet un it´er´eT^p qui est contractant pourp≥1, alorsT admet un point fixe (cf.A.II.2). Remarquons tout d’abord queT est bien une application deEdans E et queE est un espace de Banach. Consid´erons maintenant deux ´el´ements deE, x₁(.) etx₂(.). Nous avons

Ceci montre en particulier queT est continue. Montrons maintenant par r´ecurrence que l’on a k(T^p(x₁(.))−T^p(x₂(.)))(t)k ≤ kA(.)k^p_∞(t−t0)^p

p! kx₁(.)−x₂(.)k_∞ (2.8) et kT^p(x1(.))−T^p(x2(.))k∞≤kA(.)k^p_∞(b−a)^p

p! kx1(.)−x2(.)k∞ (2.9)

L’assertion est vraie pourp= 1. Supposons la vraie pourpet montrons l`a pourp+ 1.

k(T^p+1(x1(.))−T^p+1(x2(.)))(t)k=k(T(T^px1(.))−T(T^px2(.)))(t)k En prenant le maximum surt∈J on obtient (2.9).

Il nous suffit donc de choisir l’entierpde fa¸con `a avoir kA(.)k^p_∞(b−a)^p

p! <1 pour conclure. 2

III.3 R´ esolvante

On consid`ere ici l’´equation lin´eaire homog`ene

˙

x(t) =A(t)x(t). (2.10)

Th´eor`eme III.2

L’ensemble des solutions de l’´equation diff´erentielle lin´eaire et homog`ene (2.10)Eest un espace vectoriel de dimension n.

D´emonstration

Le fait queE soit un espace vectoriel est imm´ediat. Consid´erons maintenant l’application L_t0 :Kⁿ −→ E

x0 7−→ x(., t0, x0)

o`ux(., t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>) est l’unique solution de l’´equation diff´erentielle (2.10) v´erifiantx(t<sub>0</sub>) =x<sub>0</sub>. Il est ´evident que cette application est lin´eaire. Le th´eor`emeIII.1d’existence et d’unicit´e de solution implique que cette application est une bijection, d’o`u le r´esultat en ce qui concerne la dimension.2

D´efinition III.3 On appelle r´esolvante de l’´equation diff´erentielle lin´eaire et homog`enex(t) =˙ A(t)x(t)l’application R(t, t0) :Kⁿ −→ Kⁿ

x₀ 7−→ x(t, t₀, x₀).

Th´eor`eme III.4

(i) On aR(t, t0).x0=x(t, t0, x0).

(ii) Si le syst`eme est autonome on aR(t, t0) =e^(t−t0)A.

(iii) Pour toutt0fix´e,R(., t0)est la solution du probl`eme de Cauchy (IV P8)

X(t) =˙ A(t)X(t) X(t₀) =I_n. (iv) Pour toutt₀, t₁ et t₂ dansIon a

R(t₂, t₀) =R(t₂, t₁)×R(t₁, t₀) (v) Pour toutt₀, t₁ dansI on aR(t₀, t₁) = (R(t₁, t₀))⁻¹.

(vi) SiA(.)estC^k, alorsR(., t₀)est C^k+1. D´emonstration

(i) Le th´eor`eme d’existence et d’unicit´e de solution et la nature de l’´equation diff´erentielle ˙x(t) =A(t)x(t), implique queR(t, t0) est une application lin´eaire et bijective, L’applicationR(t, t0) est donc un isomorphisme deKⁿ surKⁿ et on ax(t, t0, x0) =R(t, t0)x0.

(ii) ´Evident.

(iii) Dans le probl`eme (IV P8),X(t) est une matrice (n, n) etIn est la matrice identit´e d’ordren. La propri´et´e provient imm´ediatement du fait que

∂

∂t(R(t, t0)x0) =A(t)(R(t, t0)x0), et du fait queR(t₀, t₀) =I_n par d´efinition.

(iv) Il s’agit tout simplement de la compos´ee de deux applications lin´eaires.

(v) Il suffit de remarquer queR(t₀, t₁)×R(t₁, t₀) =R(t₀, t₀) =I_n.

(vi) Cela provient des propri´et´es des solutions d’une ´equation diff´erentielle.

2

Th´eor`eme III.5

L’applicationR:I×I→ Mn(K)qui `a (t, s)associeR(t, s)est continue et de classeC^k+1siA(.)est de classeC^k.

III. ´EQUATIONS LIN ´EAIRES 19 D´emonstration

On peut ´ecrire R(t, s) = R(t, t₀)×(R(s, t₀))⁻¹. Or l’application R(., t₀) : I → M_n(K) est continue car c’est la solution de (IV P8). On sait de plus que l’application

Φ :Mn(K)× Mn(K) −→ Mn(K) (A, B) 7−→ AB est bilin´eaire et continue et que l’application

inv:GL(Kⁿ) −→ Mn(K) A 7−→ A⁻¹ est continue.

On en d´eduit par composition des fonctions queRest continue.

SiA(.) estC^k, alorsR(., t₀) estC^k+1. Comme Φ etinv sontC^∞, on a, toujours par compositionRqui estC^k+1.2 Exercice III.6

SoitR(t, t0)la r´esolvante de l’´equation diff´erentielle lin´eaire

˙

x(t) =A(t)x(t).

On note∆(t) = detR(t, t0).

1 On consid`ere l’application

det :GL_n(R) −→ R A 7−→ det(A).

Montrer que det⁰(A).H= det(A)trace(A⁻¹H)

2 Montrer que∆(t)est solution du probl`eme de Cauchy (IV P)

On se place ici dans le cas o`u le corpsKest le corps des r´eels. Une cons´equence du corollaire pr´ec´edent est que si la trace de l’op´erateurA(t) est constamment nulle, alors l’´equation diff´erentielle conserve le volume d’un domaine de R<sup>n</sup>. En effet, si on note Γ0 un domaine deR<sup>n</sup> et Γtson transport det0`a tpar l’´equation diff´erentielle, c’est-`a-dire

Γ_t={R(t, t0)x₀∈Rⁿ, x₀∈Γ₀}=R(t, t₀)Γ₀,

alors en utilisant la formule du changement de variable dans une int´egrale multiple on a V ol(Γ_t) =

III.4 Equations diff´ ´ erentielles lin´ eaires avec second membre

Th´eor`eme III.8

La solution du probl`eme de Cauchy lin´eaire

(IV P9)

x(t) =˙ A(t)x(t) +b(t) x(t0) =x0,

s’´ecrit

x(t) =R(t, t0)x0+ Z t

t0

R(t, s)b(s)ds. (2.11)

D´emonstration

Nous allons appliquer la m´ethode de la variation de la constante. Posonsz(t) =R(t, t₀)v(t), nous avons alors

˙

z(t)(t) = d

dtR(t, t0)

v(t) +R(t, t0) ˙v(t)

=A(t)R(t, t₀)v(t) +R(t, t₀) ˙v(t)

=A(t)z(t) +R(t, t0) ˙v(t).

Il suffit alors de poserR(t, t0) ˙v(t) =b(t), soit ˙v(t) =R(t0, t)b(t), pour quez v´erifie l’´equation lin´eaire. Si on pose maintenantv(t) =Rt

t₀R(t0, s)b(s)ds, on obtient pourzune solution qui v´erifiez(t0) = 0. En conclusion, si on prend x(t) =R(t, t₀)x₀+z(t),

nous aurons bienx(t0) =x0 et

˙

x(t) =A(t)R(t, t0)x0+ ˙z(t)

=A(t)R(t, t₀)x₀+ d

dt(R(t, t₀)v(t))

=A(t)R(t, t₀)x₀+A(t)R(t, t₀)v(t) +R(t, t₀) ˙v(t)

=A(t)(R(t, t0)x0+R(t, t0)v(t)) +b(t)

=A(t)x(t) +b(t) Il suffit maintenant d’´ecrire

x(t) =R(t, t0)x0+R(t, t0) Z t

t0

R(t0, s)b(s)ds

=R(t, t0)x0+ Z t

t0

R(t, t0)R(t0, s)b(s)ds

=R(t, t₀)x₀+ Z t

t₀

R(t, s)b(s)ds, pour conclure.2

Exercice III.9

1 On consid`ere le syst`eme contrˆol´e suivant (pendule invers´e lin´earis´e o`u on contrˆole le couple moteur et avecg=l) θ(t)¨ −θ(t) =u(t),

avecθ(0) = 1et θ(0) =˙ −2.

1 Ecrire le syst`´ eme sous la forme

(IV P)

x(t) =˙ Ax(t) +Bu(t) x(0) =x0.

2 Calculere^tA `a l’aide de la d´efinition.

3 On consid`ere le contrˆole en boucle ouverteu(t) = 3e^−2t. R´esoudre(IV P).

1. Sontag 1.4, page 9

III. ´EQUATIONS LIN ´EAIRES 21 4 R´esoudre le syst`eme

x(t) =˙ Ax(t) x(0) =x₀.

avec comme condition initialeθ(0) = 0etθ(0) =˙ ε. En d´eduire la solution de(IV P) avecθ(0) = 1,θ(0) =˙ −2 +ε et toujours pour le contrˆole u(t) = 3e^−2t.

5 Commentaire.

6 On prend maintenant u(t) =−αθ(t)−βθ(t). Quelle relation doivent v´˙ erifiez les constantes αet β afin que xe= 0 soit un point d’´equilibre asymptotiquement stable ?

Chapitre 3

Th´ eorie des ´ equations diff´ erentielles

I Existence

On s’int´eresse au probl`eme de Cauchy suivant (IV P)

x(t) =˙ f(t, x(t)) x(t0) =x0, o`u

f : Ω⊂R×Rⁿ −→ Rⁿ (t, x) 7−→ f(t, x) Ω ouvert et (t0, x0)∈Ω.

D´efinition I.1 (Fonction localement lipschitzienne) L’application f : Ω ⊂ R×Rⁿ → Rⁿ, Ω ouvert, est localement lipschitzienne par rapport `a la variable xsi et seulement si pour tout(t₀, x₀)∈Ωil existe un voisinage V ∈ V(t₀, x₀)et une constantek≥0 tels que

∀(t, x1)∈V,∀(t, x2)∈V,||f(t, x1)−f(t, x2)|| ≤k||x1−x2||.

Th´eor`eme I.2

Sif est diff´erentiable par rapport `a xet si l’application

∂f

∂x : Ω −→ L(Rⁿ,Rⁿ) (t, x) 7−→ ∂f

∂x(t, x) est continue alorsf est localement lipschitzienne.

D´emonstration

C’est un corollaire du th´eor`eme des accroissements finis (cf.le corollaire 1.3.6 page 17 de [13]).2 Th´eor`eme I.3 (Th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz)

Soit f : Ω→Rⁿ, Ωouvert deR×Rⁿ, f continue et localement lipschitzienne par rapport `axalors pour tout (t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>)∈Ω, il existe une unique solution locale au probl`eme de Cauchy

(IV P)

x(t) =˙ f(t, x(t)) x(t₀) =x₀. Remarque I.4

Par unique solution locale on entend : si(I1, x1)et(I2, x2)sont deux solutions de(IV P)alors elles co¨ıncident sur I1∩I2.

D´emonstration

Nous allons appliquer le th´eor`eme du point fixe (A.II.2) `a l’application T :E −→ E

x 7−→ T(x), 23

Ω

Il nous faut pour cela construire tout d’abord l’espace m´etrique completE, puis montrer queT est bien d´efinie et qu’il existe un entierppour lequel T^p est une contraction.

Exercice I.5

Afin de bien comprendre la d´efinition de l’applicationT donner les premiers it´er´esx^(k+1)=T(x^(k))dans le cas du probl`eme de Cauchyx(t) =˙ Ax(t), x(t₀) =x₀avecx⁽⁰⁾(t) =x₀ pour toutt.

D´efinissons donc tout d’abordE. Commef est localement lipschitzienne, il existeV_f = [t₀−η, t0+η]×B_f(x₀, r₀) voisinage de (t₀, x₀) sur lequel f est k−lipschitzienne.f est continue, donc sup_V

f||f(t, x)||=M. SiM = 0 alors le th´eor`eme est ´evident. Si M 6= 0, on poseη₀= min(η, r₀/M) etC= [t₀−η₀, t₀+η₀]×B_f(x₀, r₀) ;C s’appelle le cylindre de s´ecurit´e (cf.la Fig.3.1). Posons maintenantE =C⁰([t₀−η₀, t₀+η₀], B_f(x₀, r₀)) etdla distance surE d´efinie pard(x1, x2) = sup_{[t0−η0,t0+η0]}||x1(t)−x2(t)||. (E, d) est alors un espace m´etrique complet.

Montrons maintenant que l’applicationTest bien d´efinie.xest continue,f est continue doncx0+Rt

t₀f(s, x(s))ds∈ Rⁿ existe. Il nous reste `a v´erifier que cette quantit´e est bien dansB_f(x₀, r₀) ; c’est ici que nous allons utiliser le cylindre de s´ecurit´e. Mais ceci est imm´ediat car

||T(x)(t)−x₀||=|| Pour d´emontrer la contraction deT^p, constatons tout d’abord que

||T(x1)(t)−T(x2)(t)|| ≤

Par r´ecurrence on a alors

||T^p(x1)(t)−T^p(x2)(t)|| ≤ k^p(t−t0)^p

p! |||x1−x2|||

d(T^p(x1), T^p(x2))≤k^pη^p₀

p! d(x1, x2).

I. EXISTENCE 25 Il suffit donc de prendre ptel que ^kp_p!^η0p <1.

Nous avons donc montrer l’existence et l’unicit´e de la solution dansE. Il reste donc `a montrer pour l’unicit´e que toute solution d´efinie sur [t<sub>0</sub>−η<sub>0</sub>, t<sub>0</sub>+η<sub>0</sub>] est `a valeur dans la bouleB_f(x₀, r₀). Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe une solutionvtelle que

A={t∈[t0, t0+η0],||v(t)−x0||> r0} 6=∅

Posonst₁=Inf{t∈A}, on a t₀< t₁< t₀+η₀,||v(t₁)−x₀||=r₀et v(t)∈B_f(x₀, r₀),∀t∈[t₀, t₁]. Par suite r0=||v(t1)−x0|| ≤

Z t t₀

||f(s, v(s))||ds≤M(t1−t0)≤r0

Doncr0=M(t1−t0) ett1=t0+r0/M ≥t0+η0 d’o`u la contradiction.2

Nous allons maintenant montrer l’unicit´e d’une solution dite maximale. Pour cela rappelons la

D´efinition I.6 (ensemble ordonn´e inductif ) Un ensemble ordonn´e est dit inductif si toute partie totalement ordonn´ee est major´ee.

Rappelons aussi le

Lemme I.7 (lemme de Zorn)

Tout ensemble ordonn´e inductif admet un ´el´ement maximal.

D´emonstration cf.page 24 de [15].2 Th´eor`eme I.8

L’ensemble des solutions du probl`eme de Cauchy est ordonn´ee par la relation d’ordre

(I1, x1)≤(I2, x2) ⇐⇒

I1⊂I2

x_2|I1 =x1

et si cet ensemble est non vide alors il est inductif.

D´emonstration

La relation d’ordre est ´evidente. Montrons que toute partie totalement ordonn´ee (Iα, xα)_α∈A admet un ´el´ement maximal. PosonsI=∪α∈AIα etx:I→Rⁿ la fonction d´efinie parx_|Iα=xα.xest bien d´efinie, en effet soitt dans I, alors il existeIα qui contienttetx(t) =xα(t) ne d´epend pas leα, sit∈Iα∩Iβ alors on a (Iα, xα)≤(Iβ, xβ) ou (Iβ, xβ)≤(Iα, xα), et doncxα(t) =xβ(t)

On a bien ´evidemment (I_α, x_α)≤(I, x) il reste donc `a montrer que (I, x) est bien une solution.

— I est un intervalle. Soit donc (s, t)∈I². Alors il existeIα etIβ qui contiennent respectivementsett. Mais on a soitIα⊂Iβ, soitIβ⊂Iα, donc soit [s, t]⊂Iα⊂I, soit [s, t]⊂Iβ⊂I.

— t0∈I etx(t0) =x0.

— Pour tout t∈I, il existeαtel quet∈Iαet x(t) =xα(t), par suite (t, x(t))∈Ω.

— Pour tout t ∈ I, il existe α tel que Iα contient t et (Iα, xα) est une solution. Donc x(t) = xα(t) = x0+Rt

t₀f(s, x(s))ds.

2

Corollaire I.9

Sous les hypoth`eses du th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz, toute solution se prolonge en une solution maximale(I, x), cette solution maximale est unique etI est un intervalle ouvert.

D´emonstration

L’existence d’une solution maximale vient de l’application du lemme de Zorn et l’unicit´e du th´eor`eme d’existence et d’unicit´e de Cauchy-Lipschitz. Pour montrer queIest un intervalle ouvert il suffit de voir que siI=]t0−η, t0+η0] on peut la prolonger ent0+η0 grˆace au th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz.2

Remarque I.10

Le r´esultat d’exitence et d’unicit´e d’une solution maximal implique que les courbes solutions x(t, t0, x0)ne peuvent se couper, elles sont confondues ou sans point commun, elles forment une partition de l’ouvertΩ(cf.Fig.3.3).

Exemple I.11

On consid`ere le probl`eme de Cauchy d´efinie surΩ =R×R (IV P1)

x(t) =˙ −x²(t) x(t₀) =x₀.

Pour(t0, x0)fix´e on a une unique solution maximale d´efinie surI=]ω₋(t0, x0), ω+(t0, x0)[qui d´epend de(t0, x0):

— Six0= 0 alorsI=]− ∞,+∞[;ω₋(t0,0) =−∞, ω+(t0,0) = +∞et x(t) = 0;

— Six0>0 alorsI=]t0−1/x0,+∞[et

x(t) = x0

(t−t0)x0+ 1;

— Six0<0 alorsI=]− ∞, t0−1/x0[et

x(t) = x0

(t−t₀)x₀+ 1. Ces r´esultats sont visualis´es sur les Fig.3.2et3.3.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

t x0

Figure3.2 –Visualisation de l’ensemble]ω₋(0, x0), ω+(0, x0)[×x0 pour l’exemplex(t) =˙ −x²(t), x(0) =x0.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

t

x(t)

Figure3.3 –Solutions pour le probl`emex(t) =˙ −x²(t), x(t0) =x0, les courbes int´egrales ne peuvent se couper, elles forment une partition de l’ouvertΩ =R².

Corollaire I.12

Soitf :I×Rⁿ→Rⁿ,Iintervalle ouvert, continue. On suppose qu’il existe une fonction continue k:I→R⁺ telle que tour tout tfix´e l’applicationf soit localement lipschitzienne par rapport `axde rapportk(t). Alors la solution maximale est globale, c’est-`a-dire d´efinie surI.

I. EXISTENCE 27 D´emonstration

Soit [t₀−η₁, t₀ +η₂] ⊂ I. Dans la d´emonstration du th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz, prenons r₀ = +∞, E = C⁰([t₀−η₁, t₀+η₂],Rⁿ), d) et K = max_{[t0−η1,t0+η2]}k(t). f(t, x) est alors lipschitzienne de rapport K sur cet intervalle et sipest tel que (K^p/p!) max(η1, η2)^p<1, alorsT^p est une contraction.2

Corollaire I.13

On consid`ere le syst`eme de Cauchy lin´eaire

(IV P2)

x˙ =A(t)x(t) +b(t) x(t0) =x0.

Si A(t)et b(t)sont d´efinis sur Ret continus alors on a existence et unicit´e de la solution surI=R. Le r´esultat est en particulier v´erifi´e si le syst`eme est autonome.

D´emonstration

Il suffit de prendrek(t) =||A(t)||. En effet on a

||f(t, x1)−f(t, x2)|| ≤ ||A(t)(x1−x2)|| ≤ ||A(t)||.||x1−x2||.

2

Remarque I.14

Le r´esultat est encore vrai siA(t)est localement int´egrable.

Th´eor`eme I.15 (Th´eor`eme d’explosion)

On supposef : Ω⊂R×Rⁿ →Rⁿ,Ωouvert, continue d´erivable par rapport `axet telle que l’application

∂f

∂x : Ω −→ L(Rⁿ,Rⁿ) (t, x) 7−→ ∂f

∂x(t, x)

soit continue. SoitK un compact contenu dansΩet(t0, x0)∈K, alors il existeη1 etη2 >0tels que pour tout t6∈]t0−η1, t0+η2[,(t, x(t, t0, x0))soit ext´erieur `aK.

D´emonstration

Nous allons montrer l’existence deη₂.

Siω₊(t₀, x₀) = +∞alors le r´esultat est ´evident carK´etant compact, on aK⊂[t₁, t₂]×B_f(x₀, R) et donc pour toutt > t₂, on aura (t, x(t, t₀, x₀))6∈K. Supposons donc maintenant queω₊=ω₊(t₀, x₀)∈R. PosonsF ={Rⁿ⁺¹Ω

Siω₊(t₀, x₀) = +∞alors le r´esultat est ´evident carK´etant compact, on aK⊂[t₁, t₂]×B_f(x₀, R) et donc pour toutt > t₂, on aura (t, x(t, t₀, x₀))6∈K. Supposons donc maintenant queω₊=ω₊(t₀, x₀)∈R. PosonsF ={Rⁿ⁺¹Ω

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