Equations diérentielles

1. Dénition :

On appelle équation diérentielle d'ordre n ( n ∈ N ) toute équation du type :

F(x, y, y⁰, y⁰⁰, ..., y⁽ⁿ⁾) = 0 (E)

avec x une variable réelle y la fonction inconnue ety0, y”, , y⁽ⁿ⁾ ces dérivées succéssives.

Exemple :

(a) xy⁰+x²y²−2x= 0 est une équation diérentielle d'ordre1 (b) yy⁰+y” =Ln(x) est une équation d'ordre2

(c) (1 +x)y⁰ = 1−y est une équation d'ordre1 (d) (1 +x²)y⁰+ 3xy= 0 est une équation d'ordre1 2. Solution où intégrale :

On appelle solution où intégrale sur un intérvale I de R, de l'équation (E). toute fonctionf :I −→R^;n-fois dérivable telle que :

F(x, f(x);f⁰(x), f”(x);..., f⁽ⁿ⁾(x)) = 0 pour tout x∈I

27

www.alloacademy.com

Solution maximale : C'est une solution dénie sur un intérvale maxi-mal , c-a-d qu'on ne peut pas prolonger à un intérvalle J contenant I.

3. Equation du premier ordre :

C'est une équation du type : y⁰ =f(x, y) (E₁) 4. Equation à variables sépparées :

C'est une équation du typey⁰ =f(x)g(y) (V.S)

Où f etg sont des fonctions continues données sur des intérvales I et J

Exemple :

(a) (1 +x²)y⁰+ 3xy= 0 ce qui est équivalent à y⁰= _1+x^−3x2.y (b) xy0=y+xy ce qui est équivalent ày⁰ = (_x¹ + 1).y (c) y⁰sin(x) =y ce qui est équivalent à y⁰= _sin(x)¹ .y

Pour résoudre L'équation (V S); on l'écrit tout d'abord sous la forme : 1

g(y)dy=f(x)dx

et puis on continue la résolution en intégrant les deux cotés de l'équa-tion.

Exemples :

(a) Dans l'exemple 1) ona : dy

y = −3x

1 +x² ⇒ln(|y|) =−3

2ln(1 +x²) +cont

⇒ |y|=±e^const. 1 (1 +x²)√

1 +x² ⇒y = K (1 +x²)√

1 +x² Avec K∈R

(b) Dans l'éxemple 2 ) on a dy

y = (1

x+ 1)dx⇒ln(|y|) = (x+ln(|x|)) +c

www.alloacademy.com

29

|y|=e^c.|x|e^x⇒y=Kxe^x Avec K∈R

(c) Dans l'exemple 3) on a : dy

y = dx sin(x) ⇒

Z dy y =

Z dx sin(x)

⇒ln(|y|) =

Z sin(x)dx sin²(x) =

Z sin(x)dx 1−cos²(x)

Alors un changement de variable u=cos(x)(du=−sin(x)dx) :

ln(|y|) =−

Z du

1−u² =−1 2

Z du 1−u +

Z du 1 +u

= 1 2ln(

1−u 1 +u )+c Et donc

Y =K.(1−u

1 +u) =K.1−cos(x) 1 + cos(x) Avec K ∈R

5. Equation homogène :

Ce sont des équations du genre :

y⁰ =f(^y_x) (H) Exemples :

(a) 2x²y⁰−y² = 4xy

(b) (4x²+ 3xy+y²) + 4(y²+ 3xy+x²)y⁰ = 0 (c) y³y⁰+ 3xy²+ 2x³= 0

(d) 2x+y−(4x−y)y⁰ = 0 (e) xyy⁰−y²= (x+y)e^−yx Résolution :

www.alloacademy.com

On fait un changement de fonction inconue et on pose : u= y

x ⇔y=xu⇒y⁰ =u+u⁰x Donc (H) sera équivalente à :

u+u⁰x=f(u)

⇔u⁰ =._x¹(f(u)−u) qui est une équation a variable séparée Exemples :

(a) y0= ^y2_2x^+4xy2 = ¹₂(^y_x)²+ 2(^y_x)

donc il s'agi bien d'une équation homogène donc on pose u= ^y_x ⇔y=xu⇔y⁰ =u+u⁰x

⇔u+u⁰x= 1

2u²+ 2u

⇔u⁰x= 1

2u²+u⇔ 2du

u(u+ 2) = dx x

⇔

Z 2du u(u+ 2) =

Z dx x

⇔

Z +du

u −

Z du

(u+ 2) =Ln(|x|) +c

⇔ln(

u u+ 2

) =ln(|x|) +c

⇔ u

u+ 2 =K.x⇔u(1−Kx) = 2Kx⇔u= 2Kx 1−Kx donc y= _1−Kx^2Kx2 Avec K un réel

(b) dans cette équation on a :

(4x²+ 3xy+y²) + 4(y²+ 3xy+x²)y⁰ = 0

⇔y⁰ =−(4x²+ 3xy+y²) 4(y²+ 3xy+x²)

www.alloacademy.com

31

=− 4 + 3.^y_x+ _x^y2 4( ^y_x²+ 3(^y_x) + 1) Donc il s'agit bien d'une équation homogène : donc on poseu= _x^y ⇔y=xu⇔y⁰ =u+u⁰x

Et donc u +u⁰x = −_4(u^4+3.u+u_2+3u+1)² ⇔ u⁰x = −_4(u^4+3.u+u_2+3u+1)² −u =

−4−7u−13u²−4u³ 4(u²+3u+1)

(c) Dans l'exemple c) y³y⁰+ 3xy²+ 2x³= 0

(y

x)³y⁰+ 3(y

x)²+ 2 = 0⇐⇒y⁰= −2−3(^y_x)²

(^y_x)³ =f(y x) Il s'agit bien d'une équation homogène

donc on poseu= _x^y ⇔y=xu⇔y⁰ =u+u⁰x Et donc

u+u⁰x= −2−3u²

u³ ⇐⇒u⁰x= −2−3u²−u⁴

u³ ⇐⇒ − u³du

2 + 3u²+u⁴ = dx x

⇐⇒

Z

− u³du 2 + 3u²+u⁴ =

Z dx x Or X²+ 3X+ 2 = (X+ 1)(X+ 2)

donc _2+3u^u32+u⁴ = ^au+b_u2+1+_u^cu+d2+2

E t un petit calcule montre que a=−1;b= 0;c= 2;et;d= 0

Donc ln(|x|) = ⁻¹₂ ln(1 +u²) +ln(2 +u²) +c=ln(^√2+u2

1+u²) +c Et on continue la résolution

6. Equation linéaire d'ordre 1 : Elle est de la forme :

a(x)y⁰+b(x)y=h(x)

Avec a, beth des fonctions continues sur un intérvale donnéI. Exemples :

1) xy⁰−y= _x2^x−1

2) y⁰−xy= sin(x)

www.alloacademy.com

Résolution :

1) On commence par résoudre l'équation sans second membre c.a.d a(x)y⁰+b(x)y= 0

⇔y⁰ =−^b(x)_a(x).y

Qui est une équation a variable séparée , et on sait la résoudre . Dans l'exemple 1)

E.S.S.M :est : xy⁰−y= 0 donc .

⇔ y⁰ y = 1

x

⇔ dy y = dx

x

⇔ Z dy

y = Z dx

x

⇔ln(|y|) =ln(|x|) +C

⇔ |y|=e^C.|x|

⇔y₀ =K.x

Avec K∈RDans l'exemple 2) ESSM esty⁰−xy = 0 sa résolution sera de la même manière :

dy

y =xdx

⇔ Z dy

y = Z

xdx

⇔ln(|y|) = x² 2 +C

⇔y0 =K.exp(x² 2 ) avec K ∈R

Et donc y₀ =K.U₀ avec U₀ = exp(^x₂²)

www.alloacademy.com

33 7. Théorème :

On considère l'équation linéaire de 1^er ordre : a(x)y⁰+b(x)y=h(x) (E) Siy_p est une solution particulière de(E)

Alors Toute autre solution y de (E) vérie

a(x)(y−yp)⁰+b(x)(y−yp) = 0

Doncy−yp est une solution de l'équation homogène , doncy−yp =y0

Donc

y =y₁+y₀ 8. Recherche de y_p:

Méthode de la variation de la constante :

Soit U0 une solution de l'équation sans second membre .

On pose yp=c(x).u0 avec c(x) est une fonction a chércher pour que y_p soit une solution de (E)

Donc y0_p=c0(x)u₀+c(x).u0₀ puis on remplace dans l'équation (E) et donc on aura :

a(x)(c⁰u0 +cu⁰0) +b(x)(cuo) =h(x) Ce qui entraine que :

a(x)c⁰(x)uo+a(x)c(x)u⁰_o(x) +b(x)c(x)uo(x)

| {z }

=h(x) Et donc c⁰x) = _a(x)u^h(x)

0(x)

Exemple :

résoudre l'équation diérentielle xy⁰−y= _x2^x−1 (1)

On commence par résoudre l'équation sans second membre E.S.S.M ESSM : xy⁰−y= 0

⇒ ^dy_y = ^dx_x

www.alloacademy.com

⇒ Ln(|y|) =Ln(|x|) +c

⇒y =K.x avec K∈R

On pose alors u₀=x

et on va chercher une solution particulière y_p=c(x).u₀ On dériveyp et on remplace dans l'équation (1)

et on obtien x(c⁰u_o+cu⁰_o)−(cu_o) = _x2^x−1

⇒ x²c⁰(x) = _x2^x−1

⇒ c⁰(x) = x(x−1)(x+1)¹ = ⁻¹_x +_2(x−1)¹ +_2(x+1)¹

⇒ c(x) =−ln(|x|) +¹₂ln(x²−1)

⇒ yp =c(x).u0

⇒ yp =K.x+x(−ln(|x|) +¹₂ln(x²−1) avec K ∈R

On va alors donner les solutions sur les intérvales :]− ∞,−1[,]−1,1[

et]1,+∞[

9. Equation de BERNOULLI : C'est une équation du type

y⁰=α(x)y+β(x).yⁿ (E)

avecnun élement deR,α(x)etβ(x) des fonctions numèriques données sur un intérvale I.

Exemple :

(a) y⁰ =y+x²y² icin= 2 (b) y0=y+y³ icin= 3 (c) y0 −y=√

y ici n= ¹₂ Résolution :

1) Si n=1 alors :y⁰=α(x)y+β(x).y= (α(x) +β(x))y donc on a une équation a variables séparées

2)Si n6= 1 l'équation (E) est équivalente a :

y⁰

yⁿ −_y^α(x)n−1 =β(x) (E₁)

www.alloacademy.com

35 On pose alors z(x) = _yn−1¹

donc z⁰(x) =−(n−1)._y^yn⁰

Et on remplace dans l'équation (E₁)

Ce qui nous donne : −_(n−1)^z0 −α(x)z = β(x) qui est une équation linéaire de 1^er ordre .

Exemple :

Résoudre l'équation suivante :(E) y⁰ =y+x²y² (E)est équivalente a :^y_y⁰ − ¹_y =x²

On pose z=¹_y , donc z⁰ =−_y^y₂⁰ puis on remplace dans l'équation pré-cedente :

et on obtien z⁰+z=−x²

Et on va résoudre cette équation par :

1)z⁰+z= 0⇒ ^z_z⁰ =−1⇒ ^dz_z =−dx⇒ln(|z|) =−x+c⇒z=K.e^−x avec K ∈R

On pose alors z₀=e^−x

Et on va chercher une solution particulière par la variation de la constante : z_p =c(x).z₀

⇒z⁰p=c⁰z₀+cz₀⁰

⇒c⁰z₀+cz⁰₀+cz₀ =−x²

⇒c⁰(x) =−x²e^x

⇒c(x) =− Z

x²e^xdx= (−x²+ 2x−2)e^x Donc z_p=(−x²+ 2x−2)e^x.e^−x =−x²+ 2x−2

Et donc la solution generale est donner par :

zg =z_p+Ke^−x =−x²+ 2x−2 +Ke^−x avecK ∈R Et en nyg = _−x2+2x−2+ke^{1 −x} AvecK ∈R

10. Equation de RICCATI : C'est une équation du type :

y⁰ =α(x).y²+β(x).y+γ(x)

www.alloacademy.com

Avec α(x); β(x) et γ(x) des fonctions numériques continues sur un intérvale I

Résolution :

On a besoin de connaitre une solution particulière y1

On pose alors z=y−y1

11. Equation de second ordre à coécients constants : Ce sont des équations de la forme :

(E) :ay” +by⁰+cy=f(x)

Avec a,b,c des constantes réelles et f une fonction continue sur un intervale I

Exemples :

(a) y” + 3y⁰+y= sin(x) (b) y” + 3y⁰+ 4y =e^xcos(x)

(c) 2y” +y⁰−2y = (x²+ 3x+ 2)e^2x 12. Equation sans second membre :

Il s'agit de l'équation :

(E0) :ay” +by⁰+cy= 0

pour résoudre l'équation E₀, on remarque d'abord que l'ensemble des solution de E0 est un espace vectoriél de dimention 2

et que pour chercher sa base on a besoin de l'équation carractéristique : Equation carractéristique :

c'est l'équation de second degré : ar²+br+c= 0 (E.C) Il ya 3 cas possibles :

1^er cas : ∆ = b² −4ac > 0 dans ce cas nous avons deux racines réelles distinctes r₁ 6=r₂ et alors les solutions de E₀ sont de la forme : y_ssm =λexp(r₁x) +µexp(r₂x) , avec λ etµdeux réels :

2^eme cas :

∆ =b²−4ac= 0 dans ce cas l'équation caracteristique admet une seule

www.alloacademy.com

37 solution double r1 = r2 =r et dans ce cas les solutions de l'équation sans second membre sont données par la formule :

y_ssm= (λx+µ) exp(r.x) Avec λetµdeux réels quelconques.3^eme cas :

∆ = b² −4ac < 0 dans ce cas nous avons deux racines complexes distinctes z1 6= z2 avec z1 = α+iβ et z2 = α−iβ et dans ce cas les solutions de l'equation sans second membre sont données par la formule :

y_ssm= exp(αx)[Acos(βx) +Bsin(βx)]

avec A et B deux élements de R Exemples :

résoudre les équations suivantes :

(a) y” + 3y⁰−4y= 0 (b) y”−4y⁰+ 4y= 0 (c) y” + 4y⁰+ 5y= 0

Pour 1) l'équation caracteristique est : r²+ 3r −4 = 0 dont le ∆ = b²−4ac= 9 + 16 = 25et donc r1 = ⁻³⁺⁵₂ = 1 etr2 = ⁻³⁻⁵₂ =−4 et donc y_ssm=λexp(x) +µexp(−4x) , avec λ etµ deux réels : pour 2) l'équation caracteristique est : r²−4r+ 4 = 0 dont le ∆ = b²−4ac= 16−16 = 0 et donc r1 =r2= ⁴₂ = 2

et donc yssm= [λx+µ] exp(2x) , avec λ etµ deux réels :

pour 3) l'équation caracteristique est : r²+ 4r+ 5 = 0 dont le ∆ = b²−4ac= 16−20 =−4 = (2i)²

Alorsz1 = ⁻⁴⁺²ⁱ₂ =−2 +i etz2 =−2−i

Et dans ce casyssm = exp(−2x)[Acos(x) +Bsin(x)]avecAetB deux élements deR

www.alloacademy.com

13. Recherche d'une solution particulière : considerons d'abort l'equation :

ay” +by⁰+cy=e^αx.P_n(x) Avec α un réel etP_nun polynôme de degréen

Dans ce cas on cherche une solution particulière de la forme : Yp =e^αx.x^s.(A0+A1x+...+Anxⁿ) Où A₀, A₁, ...A_n des constantes réelles a déterminer . Et svérie :

s= 0 siα n'est pas racine de E.C s= 1 siα est racine simple de E.C s= 2 siα est racine double de E.C Exemple :

Résoudre l'équation diérentielle suivante : y”−3y⁰−4y= 6e^2x (1)

On commence par résoudre l'équation carracteristique :r²−3r−4 = 0 On a : ∆ = 9 + 16 = 25donc r1 = 4 etr2 =−1et donc la solution de l'équation sans second membre est :

yssm=λe^4x+µe^−x avec λetµdeux réels

On cherche ensuite une solution particulière de la forme : Y_p=e^2x.x⁰.(A) =A.e^2x

Alorsy⁰_p= 2Ae^2x ety”_p = 4Ae^2x et on remplace dans lequation(1) 4Ae^2x−6Ae^2x−4Ae^2x = 6e^2x⇒ −6A= 6⇒A=−1 Et en n la solution générale de (1)est :

y =y_ssm+Y_p =λe^4x+µe^−x−e^2x

www.alloacademy.com

39 Exemple 2 :

résoudre l'équation diérentielle suivante :

y”−2y⁰−3y=−3xe^−x (2) Lequation carracteristique :

r²−2r−3 = 0

Et∆ = 16doncr₁=−1 etr₂ = 3; donc la solution de l'équation sans second membre est donneé par :

y_ssm =λe^−x+µe^3x λ et µ ∈R On cherche ensuite une solution particulière de la forme :

y_p=e^−x.x^s.(A₀+A₁x)

avec s= 1 car−1 est racine simple de l'équation carracteristique . Et on calculey⁰_p=e^−x(A0+(2A1−A₀)x−A₁x²)puisy”p =e^−x(2A1− 2A₀+ (A₀−4A₁)x+A₁x²).

Et on remplace dans l'équation (2): ce qui nous donne :A₀ = ₁₆³ etA₁ = ³₈.

Ce qui nous donne la solution générale de (2): y =λe^−x+µe^3x+e^−x.x.( 3

16+3 8x) Considérons maintenant l'équation diérentielle suivante :

ay” +by⁰+cy =e^αx.P_n(x)cos(β.x) Avec α ,β deux réels et Pn un polynôme de degréen

Dans ce cas on cherche une solution particulière de la forme : y_p =e^αxx^s[Q_n(x)cos(β.x) +R_n(x)sin(β.x)]

OùQn etRnsont des polynôme de degrée net

www.alloacademy.com

s= 0 siα+iβ n'est pas racine de l'équation carracteristique . s= 1 siα+iβ est racine de l'équation carracteristique

Exemple 1 :

Résoudre l'équation dioérentielle suivante :y”−3y⁰−4y=−8e^x.cos(2x) (3) Equation carractéristique : r²−3r−4 = 0 , donc∆ = 25et r1 =−1

etr₂= 4 et donc la solution particulière sera de la forme : yp =e^x.(Acos(2x) +Bsin(2x))

On a s = 0 car 1 + 2i n'est pas une racine de l'équation carracteris-tique ; et on calcule y⁰_p ety”_p puis on remplace dans l'équation(3) et on trouve :A= ₁₇³ etB = ⁻⁵₁₇.

Exemple 2 :

Résoudre l'équation diérentielle :

y” + 2y⁰+ 5y = 4e^−xcos(2x) y(0) = 1 , y⁰(0) = 0 Lequation carracteristique est :r²+2r+5 = 0et son∆ =−16 = (4i)² donc les solutions sont z₁ =−1 + 2ietz₂ =−1−2i

On cherche donc yp = (Acos(2x) +Bsin(2x)).x.e^−x (on a s = 1 car

−1+2iest racine de l'équation carracteristique ) et le réste des calcules est laissé au étudiants .

Remarque :

Pour résoudre une équation du type :

ay” +by⁰+cy =e^αx.Pn(x)sin(β.x)

on procéde de la même manière et la solution particulière sera aussi du type :

yp =e^αxx^s[Qn(x)cos(β.x) +Rn(x)sin(β.x)]

14. Principe de supérposition : Soit l'équation diérentielle :

ay” +by⁰+cy=f₁+f₂ (E)

www.alloacademy.com

41 Oùf1 etf2 deux fonctions .

Pour chercher une solution particulière de E; on cherche une solution particulièrey₁ de :ay” +by⁰+cy =f₁ et une solution particulièrey₂ de ay” +by⁰+cy=f2 et alors yp=y1+y2 sera une solution particulière de E.

Exemple :

Résoudre l'équation diérentielle suivante : y” +y⁰−2y=e^x+e^−2x

tout d'abort on écrit l'équation carracteristique :r²+r−2 = 0et sont

∆ = 1 + 8 = 9

Donc r1 = −2 et r2 = 1 , donc la solution de l'équation sans second membre est :

yssm=λ.e^x+µ.e^−2x λ et µ∈R

Pour chercher une solution particulière de cette équation on cherchera les solutions particulière dey” +y⁰−2y=e^xet dey” +y⁰−2y=e^−2x. pour la premiere équation y1 = A.x.e^x (s = 1) car 1 est une ra-cine de l'équation carracteristique et donc y₁⁰ = (Ax+ A)e^x et y₁” = (Ax+ 2A)e^x , et puis on remplace dans l'équation et on trouve :3A= 1 , donc A= ¹₃

Pour la deuxieme équation y2 = B.x.e^−2x (s = 1 car −2 est une racine de l'équation carracteristique et doncy₂⁰ = (−2Bx+B)e^−2x ety₂” = (4Bx−4B)e^−2x , et puis on remplace dans l'équation et on trouve :−3B = 1 , donc B=−¹₃

Doncy_p=y₁+y₂= ¹₃xe^x−¹₃xe^−2x; et la solution générale de l'équation est :

y_g =y_ssm+y_p =λ.e^x+µ.e^−2x+ 1

3xe^x−1 3xe^−2x Avec λetµdeux éléments de R

www.alloacademy.com

www.alloacademy.com

Chapitre 4

Dans le document Analyse 2 - Cours 3 PDF (Page 27-43)