2.6 Etude du transport des poussi`eres dans le mod`ele LMDZ
2.6.2 Equation de transport des traceurs
La repr´esentation des traceurs dans les mod`eles de chimie-transport se fait g´en´eralement avec un traitement des processus sous-mailles d’une part et du transport d’autre part. La s´eparation entre la grande ´echelle et la petite ´echelle se fait g´en´eralement en introduisant la notion de moyenne d’ensemble d´ecrite par Hourdin (2005). Pour une grandeur X, on pose :
˜ X = ρX
ρ (2.35)
L’´equation de transport non visqueux d’un traceur sous sa forme conservative ou flux en consid´erant la moyenne d’ensemble est donn´ee par :
∂ρq
∂t + div(ρvq) = 0 (2.36)
Dans le terme ρvq, d´ecomposons les champs de vitesse v et de traceur q en somme de moyennes et fluctuations. On obtient alors
ρvq = ρ˜v ˜q + ρ˜vq0+ ρv0q + ρv˜ 0q0 (2.37)
En tenant compte du fait que ρq0 = ρv0= 0 et v0 = v− ˜v, il vient
ρvq = ρ˜v ˜q + ρv0q0 (2.38)
On obtient finalement l’´equation ∂ρ˜q
∂t + div(ρ˜v ˜q) + div(ρv0q0) = 0 (2.39)
En adoptant les notations ρ, v et q pour les variables grande ´echelle (prises en compte ex-plicitement dans le mod`ele), on peut repasser `a la forme :
∂ρq
A partir des moyennes pond´er´ees par l’air, on retrouve donc l’´equation 2.36 avec un terme suppl´ementaire li´e aux corr´elations entre les perturbations v0 et q0.
Les deux premiers termes de l’´equation 2.39 repr´esentent le transport `a grande ´echelle. Ces deux termes sont r´esolus explicitement dans les mod`eles.
Le terme div(ρv0q0) de l’´equation 2.39 repr´esente le transport par le mouvement sous-maille qui doit ˆetre ”param´etris´e” et repr´esente g´en´eralement dans les mod`eles de dispersion, le transport turbulent dans la couche limite atmosph´erique et le transport convectif. Ce terme repr´esente aussi le transport dans les thermiques dans la version ”nouvelle physique” du mod`ele LMDZ.
Dans la couche limite atmosph´erique, l’effet des mouvements verticaux domine ceux des mouvements horizontaux. Dans cette hypoth`ese, le therme ρv0q0 va prendre la forme :
ρv0q0= ρw0q0 (2.41)
O`u w0 repr´esente la coordonn´ee verticale de la fluctuation de vitesse v0.
Dans le mod`ele LMDZ, le flux turbulent est d´ecompos´e en la somme de l’effet de la diffusion turbulente, de la convection et des thermiques :
ρw0q0= ρw0q0
T urb+ ρw0q0
Conv+ ρw0q0
T herm (2.42)
Les flux d’´emissions de poussi`eres vont intervenir comme une condition aux limites `a la surface dans le calcul du flux turbulent ρw0q0
T urb.
Si on introduit enfin le terme S qui repr´esente le puit du traceur, l’´equation de transport devient :
∂ρq
∂t + div(ρvq) =−∂z∂ (ρw0q0) + S (2.43) Le terme S est le puit par lessivage et par s´edimentation dans chaque maille du mod`ele. Le transport `a grande ´echelle
Le transport `a grande ´echelle est trait´e dans le mod`ele LMDZ en utilisant les sch´emas en volumes finis propos´es par Van Leer (1977). Ces sch´emas conduisent facilement `a des mises
en oeuvre tridimensionnelles qui satisfont les propri´et´es essentielles du transport comme : - la conservation de la quantit´e totale de traceur,
- la non modification d’une distribution constante de traceur, - l’invariance par addition d’une constante au champ de traceur, - la monotonie,
- la positivit´e,
- la d´ecroissance de la variation totale.
La description d´etaill´ee de ces sch´emas (par exemple le sch´ema I de Van Leer, le sch´ema PPM), est faite dans le m´emoire HDR de Hourdin (2005). L’ensemble des sch´emas d´ecrits dans ce document a ´et´e introduit dans le mod`ele LMDZ et le sch´ema I de Van Leer a ´et´e retenu en standard `a cause de sa robustesse et sa simplicit´e.
Le transport sous-maille
Le transport sous-maille peut ˆetre repr´esent´e par des mouvements turbulents au sein de la couche limite g´en´er´es soit par for¸cage dynamique (cisaillement de vent en surface dˆu `a la friction), soit par for¸cage thermique (chauffage du sol par le rayonnement).
Nous allons d´ecrire comment les poussi`eres sont prises en compte dans le processus de turbulence dans la couche limite.
1◦) Introduction des ´emissions dans la couche limite
Le transport turbulent dans la couche limite est non seulement essentiel pour la m´et´eorologie et le climat mais aussi pour toutes les esp`eces traces ayant des sources et puits en surface comme les a´erosols et esp`eces chimiques. Pour mod´eliser cette couche limite, les param´etrisations utilis´ees dans les mod`eles grande ´echelle restent rudimentaires et sont bas´es, la plupart du temps, sur des adaptations de formulations locales. Dans cette approche, le flux turbulent d’une quantit´e q ne d´epend que des caract´eristiques locales de l’´ecoulement et son expression s’appuie sur une analogie avec la diffusion mol´eculaire. Pour cette analogie, les mouvements turbulents al´eatoires jouent le rˆole des mouvements browniens des mol´ecules. Le flux turbulent va ˆetre exprim´e comme le produit du gradient local de q (avec un signe−) par un coefficient de m´elange turbulent Kz ne d´ependant lui-mˆeme que des conditions m´et´eorologiques locales.
Cette turbulence est trait´e comme une super-viscosit´e. On parle encore de diffusion turbulente. Dans le mod`ele LMDZ, le flux d’´emission de poussi`eres est consid´er´e comme une condition aux limites `a la surface dans la param´etrisation de la couche limite turbulente. Ainsi, le terme de flux turbulent ρw0q0 est donn´e par :
ρw0q0= −ρKz∂q∂z si z>0 E si z=0
E repr´esente le flux d’´emission de poussi`eres `a la surface.