Nous avons introduit le potentiel ´electrostatique dans le chapitre 3 comme ´etant reli´e au champ par la relation :
E~ =−−−→grad V =−▽~V De plus nous venons d’´etablir que :
divE~ =▽~E~ = ρ ε0
Donc nous ponvons relier les variations locales du potentiel `a la densit´e de charges en un point par :
▽~(▽~V) =−ρ ε0
L’op´erateur ▽~(▽~.) que nous venons d’introduire est le laplacien. Nous l’´ecrirons par la suite
∆ =▽~(▽~.). Donc l’´equation de Laplace est :
Equation de Poisson :´ ∆V =−ρ(~r) ε0
En coordonn´ees cart´esiennes, cet op´erateur s’´ecrit :
∆V =▽~(▽~V) =
Dans les r´egions de l’espace o`u la densit´e de charge est nulle, on a : Equation de Laplace :´ ∆V = 0
En r´ esum´ e
L’´energie potentielle d’interaction entre deux charges est d´efinie par la relationF~ =
−−−→gradU
Le potentiel cr´e´e en un pointM par une charge objet est l’´energie d’interaction entre cette charge est une charge objet qui serait positionn´ee en M divis´ee par la charge objet
grandeur outil
PHYSIQUE MATHEMATIQUE
Observation de l’attraction par friction (Thal`es)
↓
principe 0 : ∃charges ´electrostatiques (additives)
↓
Exp´erience de mesure de force entre charges (Coulomb)
↓
principe 1 : force entre deux charges F~Q→q ∝ Qq r2~ur
⇒processus dynamique : mq~aq=P
QF~Q→q
⇒d´etermination de trajectoire : xq(t)
d´efinition
−−−−−→
Champ ´electrique : E(~r) =~ F~Q→qq↓
th´eor`eme : F~ =−−−→grad Ul
corrolaireE(~r) =~ −−−→grad V(~r)Force d´erive d’une ´energie potentielle. U ∝ Qq r
⇒processus d’´equilibre : dUdr = 0
⇒d´etermination des ´etats stables{r1, r2, ....}
d´efinition
−−−−−→
Potentiel ´electrique : V(~r) = UQq↔qLe Th´ eor´ eme de Gauss
Le champ ´electrique introduit `a partir de la force ´electrostatique permet d’affecter un vecteur `a tout point de l’espace qui refl`ete l’effet qu’aurait les charges sources sur une charge objet situ´ee en ce point. Nous allons introduire dans ce chapitre le th´eor`eme de Gauss qui utilise la d´ependance en 1/r2 du champ ´electrique cr´e´e par une charge pour ´etablir une ´equation int´egrale qui relie le champ ´electrique (l’effet) aux sources qui le cr´e´e (les sources). Nous montrerons comment utiliser ce th´eor`eme pour calculer le champ ´electrique en tout point de l’espace dans des probl`emes pr´esentant une g´eom´etrie simple.
4.1 Flux de champ ´ electrique.
Par d´efinition, une surface ferm´ee d´efini clairement un volume int´erieur et un volume ext´erieur.
Figure 4.1: Surface ouverte (`a gauche) et surface ferm´ee ’`a droite
Nous consid´erons, maintenant, le champ ´electrique cr´e´e par une distribution Ω, localis´ee dans l’espace. Cette distribution cr´e´e un champ ´electrique qui peut ˆetre, en principe, d´etermin´e en tout point de l’espace. Pour toute surface Σ ferm´ee on peut d´efinir le flux du champ `a travers cette surface :
R D´efinition 13 : ΦΣ(E~Ω) =
"
Σ
E~Ω(~r) dS~
o`u dS~ est l’´el´ement diff´erentiel de surface, situ´e en~r et orient´e vers l’ext´erieur etE~Ω(~r) ets le champ ´electrostatique cr´e´e en~rpar la distribution Ω.
Comme le champ ´electrique est additif, on peut ´ecrire le flux de champ cr´e´e par la distribution Ω comme le flux de la somme des champs cr´e´es par les charges sourcesQi de Ω :
ΦΣ(E~Ω) =
"
Σ
X
QiǫΩ
E~Qi(~r) dS~ (4.1)
47
i i
O
dS
Ω Σ
Ω
R r
E (r) Q
Figure 4.2: Flux de champ `a travers une surface ferm´ee.
De plus comme, la position des chargesQi ne d´epend pas de la surface Σ, on peut intervertir la somme sur les chargesQi et l’int´egrale de surface :
ΦΣ(E~Ω) = X
QiǫΩ
"
Σ
E~Qi(~r) dS~ (4.2)
= X
QiǫΩ
ΦΣ(E~Qi) (4.3)
La quantit´e qui apparait dans la somme du membre de droite est simplement le flux du champ
´electrique cr´e´e par la charge Qi situ´ee en R. Cette d´ecomposition ca ˆetre tr`es utile pour ´etablir~ le th´eor`eme de Gauss. Nous allons d´eterminer ce que vaut le flux du champ ´electrique cr´e´e par la chargeQi `a travers Σ puis nous sommerons ce r´esultat sur toutes les charges sources.
En reprenant la d´efinition du champ ´electrique, le flux s’exprime simplement comme : ΦΣ(E~Qi) = Qi
4πε0
"
Σ
~r−R~
|~r−R~|3 dS~ (4.4)
Nous allons maintenant voir ce que vaut cette int´egrale.
Ex. 4 - 28 : Flux du champ cr´e´e par une charge.
On consid`ere une charge Qplac´ee en un point O.
28.1. Ecrire l’´element diff´erentiel de surface de la sph`ere de rayon acentr´ee sur O.
28.2. Calculer la surface de la sph`ere de rayon acentr´ee sur O.
28.3. Calculer le flux du champ ´electrique cr´e´e par la charge Q `a travers la surface de la sph`ere de rayon acentr´ee sur O.
4.2 Angle solide
Tout d‘abord, le r´esultat de cette int´egrale ne d´epend pas de l’endroit o`u est situ´e l’origine du rep´ere d’espace. On place alors tout naturellement sur la charge Q=Qi en O (ce qui revient `a
´ecrireR~i=~0). Lle flux du champ cr´e´e parQ`a travers Σ s’´ecrit : ΦΣ(E~Q) = Q
4πε0
"
Σ
~r
r3 dS~ (4.5)
L’int´egrale de l’´equation ci dessus est, par d´efinition l‘angle solide sous lequel l’origineOdu rep´ere
”voit” la surface Σ :
R D´efinition 14 : dΩsol= ~r
r3 dS~ avec Ωsol=
"
Σ
dΩsol
Σ
dS r r θ
O
d
Figure 4.3: Angle solide
Dans l’´equation ci dessus les vecteurs~ret dS~ne sont colin´eaires que dans le cas tr`es particulier o`u la surface de Gauss est une sph`ere. A l‘aide des notations de la figure ci dessus, on peut exprimer le produit scalaire (~rdS~ =rcosθdS) et l’int´egrale devient :
Ωsol=
"
Σ
cosθ
r2 dS~ (4.6)
De plus, la quantit´e dΣ = cosθdSest la projection de la surface dSsur le plan perpendiculaire
`
a l‘axe du cˆone. Nous allons maintenant consid´erer les deux cas (l’origine O du rep´ere est soit `a l’int´erieur de la surface Σ soit `a l’ext´erieur pour calculer l’int´egrale :
Ωsol=
"
Σ
dS⊥
r2 (4.7)
•O est `a l’ext´erieur de la surface Σ
Consid´erons que le faisceau qui nous sert `a int´egrer `a une section circulaire. De plus nous notons, l’ouverture du cˆone dα(tr´es petit). Ce faisceau coupe deux fois (ou z´ero) la surface Σ : une fois la face avant (cosθ > π/2) et une fois la face arri´ere (cosθ < π/2). La quantit´e dΣ est
1
O
r
r S
d
d
S
2
2
1
Figure 4.4: Flux d’une charge (ext´erieure `a la surface) `a travers une surface.
donc positive pour la face arriere et n´egative pour la face avant.
On a :
- pour la face arriere : dS⊥1=−π(r1dα)2. C’est la surface du disque de rayonr1 dα.
- pour la face avant : dS⊥2=π(r2 dα)2. C’est la surface du disque de rayonr2 dα.
Ce qui permet d’´ecrire :
dS⊥1
r12 =− dS⊥2
r22 (4.8)
Finallement, on obtient dans ce cas : Ωsol=
"
Σ
dS⊥
r2 = 0 (4.9)
•O est `a l’int´erieur de la surface Σ
D‘autre part, si l’origine est consid´er´ee maintenant `a l’int´erieur de la surface Σ, on a bien : dS⊥1
r21 = + dS⊥2
r22 (4.10)
Cette fois ci, l’int´egrale ne s‘annule plus. Comme dS⊥=rsinθ dφ rdθ est l’´el´ement diff´erentiel
r1
Figure 4.5: Flux d’une charge (int´erieure `a la surface) `a travers une surface.
de surface exprim´e en coordonn´ee sph´erique. L‘angle solide est donc : Ωsol =
Reprenons la forme math´ematique du flux de champ ´electrique cr´e´e par une chargeq situ´ee enO,
`a travers une surface Σ :
ΦΣ(E~Q) = Q
Nous venons de voir que le r´esultat de l’int´egrale de l’expression au dessus ne d´epend que de la position du pointO par rapport `a la surface Σ :
" Donc le flux de la chargeQs’´ecrit :
ΦΣ(E~Q) = Q
ε0 si la chargeQest `a l’int´erieur de Σ
0 si la chargeQest `a l’ext´erieur de Σ (4.17) Ce qui revient `a dire, que seules les charges `a l’int´erieur de la surface Σ ont un flux non nul. De plus, ce flux est ind´ependant de la position de la charge `a l’int´erieur de la surface.
De plus, comme le flux de champ ´electrique est une quantit´e additive, ΦΣ(E~Ω) =P
QǫΩΦΣ(E~Q) on peut calculer tr´es simplement le flux d’une distribution de charges, {Qi(R~i)}, `a travers une surface donn´ee : les charges `a l’ext´erieur de la surface ne contribuent pas au flux alors que les charges `a l’int´erieur y contribuent pourQi/ε0chacune. Ce qui s’´ecrit d‘apr´es l’´equation 4.3