mi-nimum dans les trois mesures de distance autour de 10−8. Ce plateau est simplement caract´eristique de la pr´ecision num´erique. Avec cette valeur, on obtient une erreur rela-tive maximale de l’ordre de 10−8 poura et le nombre moyen de photons, et une distance maximale de l’ordre de 10−8 pour le vecteur de pseudo-spin, tout en r´eduisant le temps de calcul d’un facteur 2.5 par rapport `a celui avec un espace d’Hilbert fixe. ´Evidemment, le gain au niveau du temps de calcul d´epend beaucoup des variations dans la probabilit´e d’occupation des niveaux de la cavit´e. Dans la majorit´e des calculs de ce travail, on a choisi une probabilit´e de coupure de 10−8 afin de conserver un maximum de pr´ecision, tout en diminuant le temps de calcul.
3.6 Equation maˆıtresse r´ ´ eduite
Afin de r´esoudre l’´equation maˆıtresse r´eduite pour le qubit (2.48a), on exprime la matrice densit´e en terme du vecteur de Bloch introduit `a la section 3.4.1. Dans ces termes, on peut ´ecrire trois ´equations diff´erentielles
˙
x=−∆DRy−
γϕeff +γ↑+γ↓ 2
x (3.42a)
˙
y = ∆DRx−
γϕeff +γ↑+γ↓ 2
y (3.42b)
˙
z =−γ↓(1 +z) +γ↑(1−z), (3.42c) o`u ∆DR, γϕeff, γ↓ et γ↑ sont d´efinis aux ´equations (2.48).
A ces trois ´equations, on doit ajouter les quatre ´equations r´eelles (deux ´equations` complexes) pour l’´evolution de α↑(↓) (2.47), pour un total de 7 ´equations diff´erentielles r´eelles. Cependant, tel que mentionn´e `a la section 2.5, ce mod`ele ne peut pas d´ecrire facilement un signal de contrˆole sur le qubit.
3.6.1 Etats initiaux ´
Dans ce mod`ele, les ´etats initiaux sont d´etermin´es par les valeurs initiales de x, y, et z, en plus deα↑ etα↓. Il est donc tr`es simple de d´ecrire un ´etat coh´erent pour la cavit´e initiale. Cependant, sauf pour l’´etat|α= 0i, qui est ´equivalent `a un ´etat de Fock|n = 0i, on ne peut pas avoir un ´etat de Fock comme ´etat initial de la cavit´e.
3.7 Equations de Bloch en cavit´ ´ e
Aucun travail suppl´ementaire n’est n´ecessaire pour r´esoudre num´eriquement les ´equa-tions de Bloch en cavit´e. On a d´ej`a exprim´e l’´evolution du syst`eme sous la forme des 8
´equations diff´erentielles donn´ees `a l’annexe E. On peut directement implanter ces tions dans un simulateur. Puisque l’on a 4 ´equations diff´erentielles complexes et 4 ´equa-tions diff´erentielles r´eelles, on a un total de 12 ´equa´equa-tions r´eelles `a r´esoudre. Contrairement
`a l’´equation maˆıtresse r´eduite, on peut simuler un signal de contrˆole, mais le d´ephasage induit par la mesure n’est pas inclus dans ce mod`ele.
3.7.1 Etats initiaux ´
Les ´etats initiaux pour ces ´equations sont donn´es en fixant les huit valeurs moyennes.
Si l’on veut un ´etat de Fock, on fixe a†a
=n, on choisit les valeurs moyenneshσxi,hσyi et hσzi, et on laisse hai =haσii = 0. Au contraire, si l’on veut un ´etat coh´erent, on fixe hai `a la valeur d´esir´ee, et haσii = hai hσii, ce qui signifie qu’il n’y a pas de corr´elations entre le qubit et le r´esonateur dans l’´etat initial.
Chapitre 4
R´ esultats et interpr´ etation
Dans le chapitre 1, on a pr´esent´e l’hamiltonien Jaynes-Cummings et l’´equation maˆı-tresse compl`ete d´ecrivant le qubit coupl´e `a la cavit´e. Puis, dans le chapitre 2, on a pr´esent´e deux mod`eles analytiques : l’´equation maˆıtresse r´eduite pour le qubit (mod`ele r´eduit), et les ´equations de Bloch en cavit´e (mod`ele de Bloch en cavit´e). On a pr´esent´e le mod`ele r´eduit lin´eaire d´evelopp´e dans [26], puis on a pouss´e ce mod`ele au troisi`eme ordre en λ pour obtenir un mod`ele r´eduit non-lin´eaire. Enfin, dans le chapitre 3, on a pr´esent´e les m´ethodes num´eriques que l’on utilise pour simuler ces mod`eles et l’´equation maˆıtresse compl`ete.
Dans ce chapitre, on veut mettre `a l’´epreuve les trois mod`eles et les comparer au mod`ele complet. On veut aussi obtenir une interpr´etation physique simple `a diff´erents ph´enom`enes que l’on observe.
On discute d’abord du traitement que l’on doit appliquer aux donn´ees num´eriques pour comparer les diff´erents mod`eles. On pr´esente ensuite une analyse num´erique du mod`ele r´eduit, puis du mod`ele de Bloch en cavit´e. Dans cette section, on distingue la dynamique du syst`eme avec et sans signal de contrˆole du qubit. On discute ensuite plus en d´etail de l’effet d’excitation du qubit par le bain de photons de mesure, puis de la d´ependance du taux de relaxation en fonction du nombre de photons dans la cavit´e.
On pr´esente ensuite une interpr´etation g´eom´etrique simple de ces ph´enom`enes. Enfin, dans la derni`ere section, on aborde rapidement une approche diff´erente, stochastique, qui permet de simuler l’´evolution probabiliste d’une seule r´ealisation de l’´evolution du qubit plutˆot que l’´evolution des valeurs moyennes. On obtient alors le rapport signal sur bruit th´eorique pour une mesure de phase et l’on voit comment il est modifi´e par les perturbations non-lin´eaires.
63
4.1 Discussion sur le traitement des donn´ ees
Deux subtilit´es doivent ˆetre consid´er´ees afin de pouvoir comparer les donn´ees issues des mod`eles r´eduit et de Bloch en cavit´e `a celles issues du mod`ele complet. D’abord, dans le d´eveloppement des mod`eles analytiques, on a utilis´e l’approximation s´eculaire `a plusieurs reprises pour n´egliger des termes oscillants. Deuxi`emement, les mod`eles que l’on a d´evelopp´es donnent des r´esultats dans la base dispersive, alors que le mod`ele complet donne des r´esultats dans la base des |n,↑(↓)i. Dans les deux sous-sections qui suivent, on discute de ces deux subtilit´es.
4.1.1 Elimination des oscillations rapides ´
Compte tenu des approximations mentionn´ees ci-dessus, les r´esultats des simulations du mod`ele complet contiennent des oscillations rapides qui sont ´elimin´ees dans la dy-namique des mod`eles approximatifs. Pour comparer les donn´ees, on moyenne donc les donn´ees des simulations du mod`ele complet sur un intervalle de temps. Une mani`ere simple de calculer la moyenne temporelle est d’utiliser l’´equation
¯
o`u la deuxi`eme ´equation est la version discr`ete de la premi`ere, etm/2 doit ˆetre interpr´et´e comme une division enti`ere. Augmenter m ou δt permet d’´eliminer davantage d’oscilla-tions, mais a pour cons´equence d’´eliminer une partie de la dynamique plus lente. Une meilleure technique correspond `a appliquer cette formule plusieurs fois successivement.
Ainsi, des points de plus en plus ´eloign´es de i contribuent `a la valeur moyenne ¯xi, mais avec un poids de moins en moins grand. La formule `a appliquer est alors
¯
§4.1. Discussion sur le traitement des donn´ees 65
Figure 4.1 – Elimination des oscillations rapides dans les r´esultats du mod`ele complet. On´ pr´esente, en a), b) et c), hσxi, hσyi et hσzi pour une simulation quelconque (lignes pointill´ee noires), ainsi que la moyenne temporelle calcul´ee `a partir de l’´equation (4.2b), avec m = 3, n= 15 (lignes pleines rouges).
Par exemple, choisir m= 3 et n= 2 correspond `a la formule discr`ete
¯ xi = 1
9(xi−2+ 2xi−1+ 3xi + 2xi+1+xi+2). (4.3) Ainsi, en choisissant m petit, mais n plus grand, on ´elimine davantage d’oscillations rapides, tout en gardant la dynamique plus lente. La figure 4.1.1 pr´esente un exemple de simulation `a laquelle on a appliqu´e cette proc´edure. Les courbes noires en pointill´e correspondent aux donn´ees brutes alors que les courbes rouges pleines sont les donn´ees sur lesquelles on a appliqu´e l’´equation (4.2b), avec m = 3 et n = 15. On constate, dans les parties a) et b), que la dynamique lente du syst`eme est conserv´ee par la moyenne temporelle, alors que les oscillations rapides sont compl`etement ´elimin´ees. On voit aussi qu’en absence d’oscillations, dans la partie c), ce calcul ne modifie pas sensiblement les valeurs d’origine et les deux courbes sont superpos´ees. Dans la majorit´e des r´esultats pr´esent´es dans ce chapitre, une moyenne temporelle des r´esultats du mod`ele complet a
´et´e calcul´ee `a partir de l’´equation (4.2b), avec m= 3 etn = 15. Ce traitement est correct pour comparer avec les donn´ees exp´erimentales, car les oscillations sont trop rapides pour ˆetre observ´ees.
4.1.2 Passage de la base dispersive ` a la base d’origine
Les valeurs moyennes calcul´ees dans le mod`ele de Bloch en cavit´e et le mod`ele r´eduit ne sont pas dans la mˆeme base que celles calcul´ees dans le mod`ele complet. En effet, pour obtenir les mod`eles analytiques, on a effectu´e la transformation dispersive, puis la transformation du r´ef´erentiel tournant. Ainsi, pour la valeur moyenne d’un op´erateur A, on a
hAireduit = Tr
AρDR = Tr
ARDρD†R† (4.4a)
hAicomplet= Tr{Aρ}. (4.4b)
Ainsi, pour pouvoir comparer les valeurs moyennes, il faut appliquer la mˆeme transfor-mation sur l’op´erateurA [37]
hAicomplet = ADR
reduit = Tr
(RDAD†R†)(RDρD†R†) = Tr{Aρ}. (4.5) Ceci est particuli`erement important lorsque l’on s’int´eresse `a la valeur moyenne de σz ou deN. Avec les ´equations (2.20) et (2.21), en n´egligeant les termes oscillants, on a donc
σzDR
=hσzi 1
p1 + 4hNqiλ2 (4.6a)
NDR
=hNi+hσzi
2 1− 1
p1 + 4hNqiλ2
!
, (4.6b)
o`u l’on a factoris´e les valeurs moyennes de la mˆeme fa¸con que lorsque l’on a obtenu le mod`ele de Bloch en cavit´e. Dans les sections suivantes, les valeurs moyennes pourσz sont trac´ees dans la base non dispersive. Cela signifie que les valeurs suivantes sont trac´ees pourhσzi
hσzicomplet, hσziBloch
p1 + 4λ2hNqiBloch
, hσzireduit
p1 + 4λ2hNqireduit
. (4.7)
Pour σx et σy, la transformation de r´ef´erentiel tournant introduit des exponentielles oscillantes pour tous les termes. Comme on calcule une moyenne temporelle telle