1.2 Analyse math´ ematique de quelques mod` eles issus de la th´ eorie cin´ etique
1.2.3 L’´ equation de Kac avec thermostat
Les thermostats d´eterministes
Ainsi que nous l’avons signal´e dans la Section 1.1.1, dans un syst`eme compos´e d’un grand nombre de particules identiques, les collisions entre les particules conduisent le syst`eme de particules vers l’´equilibre s’il n’y a pas de champ de force ext´erieur. La fonction de distribution converge alors vers une maxwellienne. En revanche, si on impose un champ de force ext´erieur, il y a cr´eation de chaleur et le syst`eme est amen´e hors de l’´equilibre. Pour atteindre un ´etat stationnaire il faut retirer l’exc`es d’´energie. Les thermostats ont ´
et´e introduits dans ce but en dynamique mol´eculaire et en physique statistique (cf. [62] et les r´ef´erences cit´ees). Un thermostat est un terme ajout´e aux ´equations du mouvement d’un syst`eme soumis `a un for¸cage, de mani`ere `a maintenir constante une des variables physiques (l’´energie cin´etique, l’´energie interne, le courant, la pression ou l’enthalpie).
On consid`ere un syst`eme de N particules soumis `a des forces ext´erieures. D´esignons par X = (x1, . . . , xN) les coordonn´ees de ces particules. On a alors
∂tX = V,
∂tV = Fi+ Fe− αV,
o`u les masses des particules sont prises ´egales `a 1, les forces internes entre les particules sont prises en compte dans le terme Fi alors que le for¸cage ext´erieur est contenu dans le
terme Fe. Le terme de frottement α constitue le thermostat et est d´etermin´e de la mani`ere
suivante. Si on d´esire maintenir l’´energie cin´etique K = V · V /2 constante, on obtient le thermostat gaussien isocin´etique
αc =
(Fi+ Fe)· V
V · V . (1.2.11) Si on veut fixer l’´energie interne H = ϕi + K (Fi = −∇ϕi), on obtient le thermostat
gaussien iso´energ´etique
αi =
Fe· V
V · V .
L’adjectif gaussien vient du fait que ces deux thermostats peuvent ˆetre obtenus `a partir du principe des moindres contraintes de Gauss.
Le thermostat gaussien isocin´etique a ´et´e utilis´e en relation avec le mod`ele de Lorentz [14, 15, 20, 21] et plus r´ecemment avec l’´equation de Kac ainsi que nous allons le voir dans le paragraphe suivant.
Application `a l’´equation de Kac
On consid`ere, comme dans la Section 1.1.3, un syst`eme de N particules ponctuelles qui, `a des intervalles de temps exponentiellement distribu´es, subissent des collisions bi- naires dont le r´esultat est donn´e par (1.1.22)-(1.1.23). Entre les collisions, les particules sont acc´el´er´ees par un champ de force ext´erieur constant E ∈ R. De mani`ere `a garder l’´energie cin´etique constante, on utilise un thermostat de type (1.2.11). Plus pr´ecis´ement, l’´evolution des vitesses V = (v1, . . . , vN) est donn´ee par
dV
dt =E − E · V
|V |2 V,
o`u E = E(1, . . . , 1) ∈ RN.
La densit´e ΨN correspondant `a ce syst`eme de N particules v´erifie alors l’´equation
∂tΨN(t, V ) +∇ · (F ΨN) = K(ΨN)(t, V ),
o`u K est d´efini comme dans (1.1.24) et o`u F est donn´e par F = E −E · V
|V |2 V.
Sous l’hypoth`ese de la propagation du chaos et sous certaines conditions de r´egularit´e, il a ´et´e prouv´e dans [74] que la fonction f1
N d´efinit par (1.1.25) converge, lorsque N → ∞,
vers une solution f d’une ´equation de Kac modifi´ee
∂tf (t, v) + E∂v((1− ζ(t)v)f (t, v)) = QK(f, f )(t, v), t∈ R+, v ∈ R, (1.2.12)
o`u ζ(t) = R
Rv f (t, v) dv et QK est donn´e, comme pr´ec´edemment, par
QK(f, f )(t, v) = Z R Z π −π (f (t, v0)f (t, v∗0)− f (t, v)f (t, v∗)) b(θ) dθ dv∗, (1.2.13) avec b(θ) = 1 2π. (1.2.14) L’existence de solutions stationnaires pour (1.2.12)-(1.2.14) a ´et´e d´emontr´ee dans [72]. Le comportement des solutions varie selon la valeur du champ de force ext´erieur E. Plus pr´ecis´ement, ils ont montr´e le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme 1.2.6 Pour tout E > 0, il existe une solution stationnaire f de (1.2.12)- (1.2.14). Pour E < √2, f ∈ C(R). Pour E = √2, f pr´esente une singularit´e de type logarithmique en v = √2. Pour E >√2, f pr´esente une singularit´e de la forme |v − κ|γ
en v = κ, o`u
κ = √ 2E
1 + 4E2− 1 et γ =
κ E − 1.
L’existence de solutions de (1.2.12)-(1.2.14) et leur convergence faible vers un ´etat sta- tionnaire a ´et´e ´etudi´e dans [73].
Une g´en´eralisation naturelle de (1.2.12)-(1.2.14) consiste `a remplacer la distribution uniforme b donn´ee par (1.2.14) par la fonction
b(θ) =|θ|−1−α, θ∈ (−π, π), α∈ (0, 2). (1.2.15) Dans ce cas, b n’est plus int´egrable. Desvillettes [25] a montr´e qu’alors, l’op´erateur de collision a un effet r´egularisant. Pour l’´equation de Boltzmann, il a ´et´e ´egalement prouv´e que l’op´erateur de collision sans cut-off a un effet r´egularisant (cf. [3, 27]). Il est int´eressant de voir si l’effet r´egularisant de l’op´erateur de collision de (1.2.12)-(1.2.13) avec (1.2.15) est suffisant pour empˆecher les fortes valeurs du champ E d’apporter une singularit´e aux solutions stationnaires. Ceci est l’objet du Chapitre 5, qui est issu du travail en cours [11]. On y prouve le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme 1.2.7 Supposons que b v´erifie (1.2.15). Pour toutes les valeurs de E > 0, il existe une unique solution stationnaire f de (1.2.12)-(1.2.13) telle que les moments de tout ordre de f sont finis et
Z
R
f (v) dv = 1. De plus, f ∈ C∞(R).
La preuve du Th´eor`eme 1.2.7 suit les ´etapes suivantes. Dans un premier temps, on montre l’existence d’une solution stationnaire de (1.2.12)-(1.2.13) dans le cas o`u b est lipschit- zienne en adaptant `a ce cas les techniques de [72]. L’existence d’une solution stationnaire de (1.2.12)-(1.2.13) dans le cas o`u b satisfait (1.2.15) s’obtient alors par troncature de b. Pour prouver la r´egularit´e des solutions stationnaires de (1.2.12)-(1.2.13), on utilise les techniques de la transform´ee de Fourier, dans le mˆeme esprit que dans [25]. La preuve de l’unicit´e repose sur le d´eveloppement en s´erie enti`ere de la transform´ee de Fourier d’une solution stationnaire f et sur des estimations sur les moments de f . Les r´esultats th´eoriques sont illustr´es par des r´esultats num´eriques.
Perspectives
En ce qui concerne l’´equation de Kac sans cut-off en pr´esence d’un thermostat gaus- sien, seule l’existence et la r´egularit´e des solutions stationnaires a ´et´e d´emontr´ee. L’´etape suivante est maintenant d’´etudier l’existence de solutions pour l’´equation d´ependant du temps et la convergence de ces solutions vers les ´etats stationnaires.