tique
L’´evolution du champ magn´etique transport´e par un ´ecoulement v est d´etermin´ee par les ´equations de Maxwell. Dans des conditions non relativistes, on peut n´egliger le courant de d´eplacement qui serait responsable de contributions de l’ordre de v2/c2,
la loi de Faraday (∇ × E = −∂B/∂t), la loi d’Ohm (j = σ(E + v × B)) et en utili- sant l’incompressibilit´e de l’´ecoulement (∇ · v = 0), on obtient l’´equation d’induction magn´etique (voir par exemple [51, 52, 55])
∂tB + (v · ∇)B = (B · ∇)v + κ∇2B. (2.1)
Le coefficient devant le laplacien est la diffusivit´e magn´etique κ = (µ0σ)−1, inversement proportionelle `a la conductivit´e ´electrique du fluide. Bien ´evidemment, le champ B doit d’autre part v´erifier la condition de sol´eno¨ıdalit´e ∇ · B = 0.
En g´en´eral, l’´equation d’induction doit ˆetre compl´et´ee par les ´equations ordinaires de l’hydrodynamique. Le couplage entre le champ magn´etique et le champ de vitesse est mat´erialis´e par la force de Lorentz qui est responsable de la pr´esence du terme (B · ∇)B dans les ´equations de Navier-Stokes. Or, lorsqu’on s’int´eresse `a l’origine des champs magn´etiques, il est naturel de supposer qu’`a l’instant initial le champ B a une faible amplitude et qu’il n’affecte donc pas la dynamique du milieu conducteur. On n´eglige donc la force de Lorentz (qui est quadratique en B), ce qui implique que l’´evolution du champ de vitesse est ind´ependante de B. L’´etude de la croissance des champs magn´etiques se ram`ene ainsi `a un probl`eme de transport passif lin´eaire enti`erement d´etermin´e par l’´equation (2.1) (accompagn´ee d’une condition initiale et de conditions aux bords ad´equates). La th´eorie de la dynamo cin´ematique a pour objet l’analyse de l’´equation d’induction pour un champ de vitesse v donn´e et d´ecrit l’´evolution du champ magn´etique avant la saturation produite par la force de Lorentz.
En l’absence d’´ecoulement (v = 0), l’´equation (2.1) se r´eduit `a l’´equation de diffusion ∂tB = κ∇2B. Un champ magn´etique initial ayant une ´echelle caract´eristique l est dissip´e pendant un temps de l’ordre de l2/κ. Par contre, le mouvement du fluide introduit un effet inductif qui peut amplifier le champ magn´etique et convertir l’´energie cin´etique en ´energie magn´etique : ce transfert d’´energie est dˆu `a la pr´esence du terme (B · ∇)v. Par analogie avec l’´equation de Navier-Stokes, l’intensit´e relative de l’amplification par induction et de la dissipation est d´efinie par le nombre de Reynolds magn´etique
Rm ≡ U L
κ
o`u L et U sont respectivement l’´echelle et l’amplitude caract´eristiques du champ de vitesse. Pour se donner une id´ee de l’ordre de grandeur de ce nombre, on a Rm ' 160 pour le noyau de la Terre, Rm' 2 × 108 pour la couche convective du Soleil et Rm ' 106 pour un disque galactique [53].
De fa¸con g´en´erale, le probl`eme de la dynamo cin´ematique consiste `a ´etablir sous quelles conditions l’action inductive l’emporte sur la dissipation, ce qui correspond `a chercher des solutions de l’´equation (2.1) qui croissent en temps. On d´efini alors le taux de croissance magn´etique
γ(Rm) ≡ lim t→∞
1 2thln B
2i (2.2)
et il y a effet dynamo si γ(Rm) est positif. Au si`ecle dernier, l’existence d’un effet dynamo a ´et´e d´emontr´ee dans plusieurs ´ecoulements laminaires et stationnaires [56–59]. Ici nous nous attaquons au probl`eme de la dynamo cin´ematique dans un champ turbulent de Kraichnan en suivant l’approche quantique propos´ee par Kazantsev en 1967 [7].
Rm R mcr
(a)
Rm
(b)
Fig. 2.2 – Classification de l’effet dynamo selon le comportement du taux de crois- sance magn´etique γ lorsque le nombre de Reynolds magn´etique Rm tend vers l’infini : (a) dynamo rapide ; (b) dynamo lente.
D’apr`es la d´efinition (2.2), le taux de croissance (et donc l’effet dynamo) est une fonction du nombre de Reynolds magn´etique. Lorsque Rm tend vers z´ero, la diffusion magn´etique l’emporte sur l’action du champ de vitesse et γ est n´egatif. Pour qu’un effet dynamo soit possible, il faut que γ s’annule pour une certaine valeur critique R(cr)m et devienne positif pour un accroissement de Rm > R(cr)m . Suivant le comportement de γ pour Rm → ∞ , on distingue alors deux classes d’effet dynamo (voir Fig. 2.2) : soit le taux de croissance magn´etique tend vers une valeur positive ind´ependante de κ (dynamo rapide), soit, apr`es ˆetre devenu positif, il tend vers z´ero (dynamo lente)1. Ce comportement dans la limite de faible dissipation d´epend ´evidemment des propri´et´es du champ de vitesse : la dynamo de Zel’dovich (Fig. 2.1) est un cas de dynamo rapide puisque le taux de croissance γ = ln 2 est ind´ependant de κ. (Pour un exemple de dynamo lente voir la dynamo d’Alfven [61].)
D’apr`es ce que nous avons vu ci-dessus, une condition n´ecessaire pour qu’il y ait effet dynamo est sˆurement d’avoir un nombre de Reynolds magn´etique suffisamment ´elev´e. Toutefois, cela ne suffit g´en´eralement pas : l’´ecoulement ne doit pas avoir de structure spatiale « trop simple ». En effet, un th´eor`eme de Zel’dovich nous indique qu’un champ de vitesse plan ne peut amplifier un champ magn´etique lui mˆeme plan [60, 62]. De mˆeme, en g´eom´etrie sph´erique il ne peut pas y avoir effet dynamo pour un ´ecoulement purement torique, c’est-`a-dire sans composante radiale [63]. Ainsi, lorsqu’on impose trop de sym´etrie au champ de vitesse, il peut y avoir une amplification transitoire du champ magn´etique, mais qui est toujours suivie d’une d´ecroissance asymptotique de B (pour une revue des th´eor`emes antidynamo voir par exemple Gilbert [55]).
Les ´ecoulements turbulents que l’on observe dans la nature sont souvent suffisamment irr´eguliers pour que la condition de complexit´e topologique y soit automatiquement sa- tisfaite. De plus, les corps c´elestes ´etant g´en´eralement de grande dimension, les nombres de Reynolds magn´etiques qui leur sont associ´es prennent des valeurs tr`es ´elev´ees et les m´ecanismes qui conduisent `a l’effet dynamo y sont ainsi possibles. Les premi`eres ob- servations exp´erimentales de l’effet dynamo sont relativement r´ecentes, car il est tr`es difficile d’obtenir en laboratoire des nombres de Reynolds magn´etiques suffisamment 1La classification en dynamo lente et dynamo rapide a ´et´e propos´ee par Zel’dovich et Ruzma˘ıkin en 1980 [60].
fait usage de la dynamo de Roberts [65].
Avant de terminer cette introduction, rappelons que la formulation lagrangienne associ´ee `a l’´equation (2.1) s’´ecrit
( ˙
ρ = v(ρ(t), t) +√2κ η
˙b = (b · ∇)v, (2.3)
o`u η est de nouveau un bruit blanc (cf. section 1.2.3). Le champ eul´erien B(r, t) est alors obtenu en moyennant les champs lagrangiens par rapport aux diff´erentes trajec- toires aboutissant en r `a l’instant t : B(r, t) = b. Les ´equations (2.3) impliquent que le champ lagrangien b le long d’une trajectoire donn´ee ´evolue exactement comme le vecteur tangent `a la trajectoire consid´er´ee. Dans un ´ecoulement r´egulier aux petites ´echelles, le module de b croˆıt donc exponentiellement avec un taux donn´e par l’exposant de Lya- punov le plus grand de l’´ecoulement. Toutefois, le champ eul´erien B ´etant la moyenne du vecteur lagrangien ´evalu´e le long de plusieurs trajectoires stochastiques, la distribu- tion des directions des vecteurs tangents est d´ecisive pour l’effet dynamo. L’´evolution temporelle du champ magn´etique r´esulte donc de l’action oppos´ee de l’amplification du module de b et de la dispersion de ses directions.