Epreuve ecrite d'analyse et probabilites

Notations

• Soit (E, N) un espace vectoriel (complexe) norm´e. On noteL(E) l’espace vectoriel norm´e des applications lin´eaires continues de E dans lui-mˆeme. Rappelons que la norme d’un ´el´ement

T ∈ L(E) est le nombre r´eel positif |||T|||= supN(T(x)) x∈E, N(x)61 .

• Soient E un espace de Hilbert (complexe) et T ∈ L(E). Notons T^∗ l’adjoint de T. On dit que T est unitaire si T est bijectif et T⁻¹ =T^∗.

• Soient I un ensemble non vide et (a_i)_i∈I une famille de nombres r´eels positifs. On appelle

somme de cette famille et l’on note ^X

i∈I

a_i la borne sup´erieure dans_R+∪ {+∞}des sommes

X

i∈J

ai lorsque J d´ecrit les parties finies de I.

• On pose (+∞)^1/2 = +∞.

• Notons _A l’espace vectoriel complexe des familles (a_m,n)_(m,n)∈Z2 de nombres complexes. • Lesupport d’un ´el´ementa= (a_m,n)_(m,n)∈Z2 ∈_Aest le sous-ensemble

(m, n)∈_Z2

a_m,n 6= 0 de_Z².

• On note A le sous-espace vectoriel de _Aform´e des familles de support fini.

• Pour (m, n) ∈_Z2, on note W_m,n ∈ A la famille (a_p,q)_(p,q)∈Z2 telle que a_m,n = 1 et a_p,q = 0 si (p, q)6= (m, n). • Pour a= (a_m,n)_(m,n)∈Z2 ∈_A, on pose kak1 = ^X (m,n)∈Z2 |am,n| et kak2 =   X (m,n)∈Z2 |am,n|²   1/2 .

• On pose A1 =a kak₁ 6= +∞ et A2 =a kak₂ 6= +∞ .

• Dans tout le probl`eme on fixe un nombre complexe λ de module 1. Les parties I.B, II et III sont ind´ependantes

I. Algebres de convolution «tordue»

A. La convolution tordue 1. (a) Montrer que l’on a ^X

(m,n)∈J

|a_m,n|2

6 ^X

(m,n)∈J

|a_m,n|² pour touta∈_Aet toute partie finie J de_Z².

(b) Montrer que, pour touta∈_A, on a kak₂ 6kak₁. En d´eduire que A₁ ⊂A₂.

Les ensembles A₁ et A₂ sont des sous-espaces vectoriels de _A. On munit dor´enavant A₁ de la norme k k₁ et A₂ de la norme k k₂. Alors A₁ est un espace de Banach et A₂ est un espace de Hilbert. De plus, A est dense dans l’espace de Banach A₁ et dans l’espace de Hilbert A₂. On ne demande pas de justifier ces faits.

2. Montrer qu’il existe une unique forme lin´eaire continue σ :A₁ →_Ctelle queσ(W_m,n) = 1 pour tout (m, n)∈_Z2.

Si a= (a_m,n)_(m,n)∈Z2 est un ´el´ement de A₁, on note ^X (m,n)∈Z²

a_m,n le nombre σ(a).

3. Soienta= (am,n)_(m,n)∈Z2 et b= (bm,n)_(m,n)∈Z2 des ´el´ements deA2. (a) Soient (m, n) ∈ _Z². Montrer que la famille

λ^q(m−p)ap,qbm−p,n−q (p,q)∈Z² est un ´el´ement de A₁. (b) On pose c_m,n = ^X (p,q)∈Z² λ^q(m−p)a_p,qb_m−p,n−q.

Montrer que |cm,n| 6 kak2kbk2 et que, pour tout ε ∈ _R^∗₊, il existe A ∈ _N, tel que, ∀(m, n)∈_Z2, on ait|m|+|n|>A⇒ |c_m,n|6ε (´etudier d’abord le cas o`u a∈ A et b∈ A).

On pose a?b= (c_m,n)_(m,n)∈Z2.

Si m, m⁰, n, n⁰ sont des entiers relatifs, on a W_m,n? W_m0,n0 =λ^nm0W_m+m0,n+n0 ; pour touta∈A₂, on a W_0,0?a=a? W_0,0 =a.On ne demande pas de justifier ces faits.

(c) Montrer que, poura,b∈A₁ on a ka?bk₁ 6kak₁kbk₁. (d) Montrer que le«produit» ? est associatif sur A₁.

Dans la suite du probl`eme, on pose 1 = W_0,0, U = W_1,0 et V = W_0,1. Pour a ∈ A₁, on d´efinit aⁿ pour n ∈ _N, en posant a⁰ = 1, et aⁿ⁺¹ = aⁿ?a. S’il existe un ´el´ement b ∈ A₁ (n´ecessairement unique) tel que a?b =b?a =1, on dira que a est inversible et on posera b =a⁻¹. Pour n ∈ _N, on pose alors a⁻ⁿ = (a⁻¹)ⁿ= (aⁿ)⁻¹.

On remarque que V ? U = λ(U ? V) et que, pour tout m, n ∈ _Z, on a

W_m,n =U^m? Vⁿ.

B. Fonctions periodiques de classe C¹.

On note B l’espace vectoriel des fonctions de _R → _C de classe C¹ p´eriodiques de p´eriode 1, muni de la norme N :f 7→sup|f(t)|+|f⁰(t)| t∈_R . On note z ∈B l’applicationt7→e^2iπt. Pour n∈_Z, on note zⁿ ∈B l’applicationt 7→e^2iπnt.

1. (a) Montrer que pour tout f, g ∈ B, on a N(f g) 6 N(f)N(g), o`u l’on a not´e f g la fonction t7→f(t)g(t).

(b) Montrer que le sous-espace de B engendr´e par la famille (zⁿ)_n∈Z est dense dans B. 2. (a) Montrer que, pour toutf ∈B, la famille ψ(f) d´efinie par

ψ(f)_m,n =    0 si n6= 0 Z 1 0 f(t)e^−2iπmtdt si n= 0

est un ´el´ement deA₁. Montrer que l’applicationψ :B →A₁ ainsi d´efinie est continue et v´erifieψ(f g) =ψ(f)? ψ(g) pour tout f, g∈B.

Remarquons que l’on a ψ(z) = U.

(b) Soit θ un nombre r´eel tel quee^2iπθ =λ. Montrer que pour tout f ∈B on a l’´egalit´e

Agr´egation externe de math´ematiques Analyse et probabilit´es Rapport du jury pour la session 2005

II. Un calcul d'image et de noyau

A. Approximation des reels par des rationnels Pour x∈_R, on note δ(x) = inf|x−n|

n ∈_Z sa distance `a _Z. 1. Soitn ∈_N^∗.

(a) Soients₀, . . . , s_n+1 ∈[0,1]. Montrer qu’il existe des nombres entiersietj satisfaisant 06i < j 6n+ 1 et|s_i−s_j|6 ¹

n+ 1·

(b) Soientt₀, . . . , t_n∈_R. Montrer qu’il existe des entiersietj satisfaisant 06i < j 6n

etδ(t_i−t_j)6 ¹

n+ 1·

(c) Montrer que pour toutt ∈_R, il existek∈_Nsatisfaisant 16k 6netδ(kt)6 ¹

n+ 1· 2. Soit α ∈ _R+. Pour q ∈ _N^∗, posons U_α(q) = t ∈ _R δ(qt) < q^−α et notons

Yα = lim sup

q→∞

Uα(q) l’ensemble dest qui appartiennent `a une infinit´e de Uα(q).

(a) Montrer que Y₁ =_R.

(b) Calculer la mesure de Lebesgue de Uα(q)∩[0,1].

(c) Montrer que pour α > 1, l’ensemble Y_α est de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue sur _R. En d´eduire que Y = ^[

α>1

Y_α est de mesure nulle (pour la mesure de

Lebesgue).

3. (a) Montrer que pour tout α ∈ _R+, l’ensemble Y_α est une intersection d´enombrable d’ouverts de _R. Montrer que l’ensemble X = ^\

α∈R^∗+

Yα est dense dans _R et que c’est

une intersection d´enombrable d’ouverts de _R.

(b) Soitt∈_R. Montrer quet6∈Xsi et seulement s’il existe un polynˆomeP `a coefficients r´eels tel que P(n)δ(nt)>1 pour tout n∈_N∗.

B. Un calcul d'image et de noyau

Pour a= (a_m,n)_(m,n)∈Z2 ∈_CZ², on pose τ(a) =a_0,0.

Pour tout a,b ∈ A₂, on a τ(a?b) = τ(b?a). On ne demande pas la v´erification de cette formule.

Consid´erons les applications S :x7→U ? x ? U⁻¹−x etT :x7→V ? x ? V⁻¹−xdeA₁ dans lui mˆeme. Notons L : A₁ → A₁×A₁ et M : A₁ ×A₁ → A₁ les applications lin´eaires d´efinies par

L(x) = (S(x), T(x)) et M(x, y) =S(y)−T(x) (pour x, y ∈A1). 1. Montrer que ImL⊂KerM.

On suppose jusqu’`a la fin du II que λ n’est pas une racine de 1. On ´ecrira λ=e^2iπθ avec

θ ∈_R\_Q.

2. Quel est le noyau de L?

3. Montrer que l’adh´erence de ImM est Kerτ. On munit l’espace vectoriel A₁ ×A₁ de la norme (a,b)7→ kak₁+kbk₁. Quelle est l’adh´erence de ImL?

4. Pour n∈_N^∗, montrer que

infkT(U^k)k₁16k 6n 62 sin ^π

n+ 1· En d´eduire que l’image de Ln’est pas ferm´ee.

5. On note E ⊂ A₁ le sous-espace vectoriel form´e des a = (a_m,n)_(m,n)∈Z2 ∈ A₁ tels que

a_0,0 = 0 et pour tout k ∈_N, la famille (m, n)7→(1 +m²+n²)^ka_m,n appartienne `aA₁. Les applicationsLetM induisent des applications lin´eairesL⁰ :E → E × E etM⁰ :E × E → E. A quelle condition sur θ a-t-on ImL⁰ = KerM⁰ et ImM⁰ =E ?

III. Calcul de normes - stabilite par l'inverse A. La representation reguliere.

1. Montrer que pour tout a∈A₁ et tout b∈A₂, on a ka?bk₂ 6kak₁kbk₂.

A l’aide de (a), on d´efinit une application lin´eaire continue π : A₁ → L(A₂) satisfaisant π(a)(x) = a? x et|||π(a)|||6kak₁ pour a∈A₁ et x∈A₂.

2. Montrer quekak₂ 6|||π(a)||| pour touta∈A₁.

3. Montrer queπ(a?b) = π(a)◦π(b). Montrer que π(U) et π(V) sont unitaires. Poura∈_A, on note a^∗ ∈_A la famille (bm,n)_(m,n)∈Z2 d´efinie par :

b_m,n =λ^mna−m,−n.

Pour touta∈A₁ l’adjoint π(a)^∗ deπ(a) est π(a^∗).

On ne demande pas de justifier cette formule.

B. Un calcul de norme

1. Soient H un espace hilbertien complexe et T ∈ L(H). Rappelons que la suite

n 7→ |||Tⁿ|||^1/n est convergente. On ne demande pas de justifier ce fait.

Montrer que |||T^∗◦T|||=|||T|||². En d´eduire que |||T|||= lim

n→∞||| T^∗◦T)ⁿ|||^1/2n. 2. Soita∈ A. Pour n∈_N∗, on note k_n le nombre d’´el´ements du support de aⁿ.

(a) Montrer que kank₁ 6kank₂^pk_n.

(b) Montrer qu’il existe r∈_R^∗₊ tel que, pourn ∈_N^∗, on ait k_n 6r²n². (c) Montrer que l’on a lim

n→∞kank¹₂^/n = lim

n→∞|||π(aⁿ)|||^1/n = lim

n→∞kank¹₁^/n. (d) Montrer que |||π(a)|||= lim

n→∞ a^∗?aⁿ 1/2n 1 = lim n→∞ τ (a^∗?a)²ⁿ 1/4n .

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C. Deux applications

1. SoientH un espace hilbertien complexe etu, v ∈ L(H) des endomorphismes unitaires tels que vu=λuv.

(a) Montrer qu’il existe un unique homomorphisme continuσ_u,v :A₁ → L(H) d’alg`ebres (i.e. une application continue qui soit `a la fois lin´eaire et un homomorphisme d’an-neaux) satisfaisant σ_u,v(U) = u, σ_u,v(V) = v. Montrer que, pour tout a ∈ A₁, on a |||σ_u,v(a)|||6kak₁.

(b) Montrer que, pour touta∈A₁, on a |||σ_u,v(a)|||6|||π(a)|||.

2. On note A l’adh´erence de π(A₁) dans L(A₂). Soit a ∈ A. On suppose que π(a) est inversible dans A.

(a) Montrer qu’il existeb∈ A tel que |||π(1−a?b)|||<1 et |||π(1−b?a)|||<1. (b) Montrer que aest inversible dans A1.

D. Ideaux bilateres et representations On suppose que λ n’est pas une racine de 1.

1. Pour n∈_N^∗ et a∈A₁ on pose τ_n(a) = n^{−2 X}

06j,k<n

U^j ? V^k?a? V^−k? U^−j.

(a) Montrer que pour touta∈A₁, la suiteτ_n(a) converge dansA₁ versτ(a)1(on pourra commencer par traiter le cas o`u a∈ A).

(b) Soit a ∈ A₁ non nul. Montrer qu’il existe n ∈ _N^∗ tel que τ_n(a^∗ ?a) soit inversible dans A1.

2. Montrer que tout id´eal bilat`ere non nul de A<sub>1</sub> est ´egal `a A₁.

3. Soient H un espace hilbertien complexe non nul et u, v ∈ L(H) des endomorphismes unitaires tels que vu = λuv. On note σ_u,v : A₁ → L(H) l’homomorphisme continu d’alg`ebres satisfaisant σ_u,v(U) =u et σ_u,v(V) =v.

(a) Montrer que pour touta∈A₁ on a |τ(a)|6|||σ_u,v(a)|||. (b) Montrer que, pour touta∈A₁, on a |||σ_u,v(a)|||=|||π(a)|||. IV. Une egalite de norme

On consid`ere les espaces hilbertiens suivants :

• H_Rd´esigne l’espaceL²(_R) des classes de fonctionsξ :_R→_Cmesurables et de carr´e int´egrable pour la mesure de Lebesgue dans _R (modulo les fonctions n´egligeables), muni de la norme

ξ7→ Z R |ξ(t)|2 dt 1/2 .

• H_U d´esigne l’espace des classes de fonctions ξ : _R → _C mesurables p´eriodiques de p´eriode 1 telles que

Z 1 0

|ξ(t)|2 dt < +∞ (modulo les fonctions n´egligeables), muni de la norme

ξ7→ Z 1 0 |ξ(t)|² dt 1/2 .

• H_Z d´esigne l’espace `²(_Z) des fonctions ξ : _Z → _C telles que ^X n∈Z |ξ(n)|2 < +∞, muni de la norme ξ7→   X n∈Z |ξ(n)|2   1/2 .

On ne demande pas de v´erifier que ce sont des espaces hilbertiens.

Soit θ ∈_R\_Q.

Soit N ∈ _N. On se donne des fonctions (f_k)−_N6k6N, de classe C¹ sur _R `a valeurs dans _C, p´eriodiques de p´eriode 1.

On consid`ere les op´erateurs T<sub>R</sub> ∈ L(H<sub>R</sub>) et T<sub>U</sub> ∈ L(H<sub>U</sub>) d´efinis de la mani`ere suivante : si ˜

ξ ∈ H_R (resp. ξ^˜∈ H_U) est la classe d’une fonction mesurable ξ : _R → _C, on note T_Rξ^˜(resp.

T_Uξ^˜) la classe dans H_R (resp. dans H_U) de la fonctiont7→

N X k=−N f_k(t)ξ(t−kθ). Si ξ∈H_Z, on pose T_Zξ(n) = N X k=−N f_k t θ ξ(n−k). Montrer que |||T_R|||=|||T_U|||=|||T_Z|||.

Corrige

I. Algebres de convolution «tordue»

A. La convolution tordue

1. (a) Soienta∈_AetJ une partie finie de_Z². Posons ∆ ={(i, i), i∈J}. Puisque ∆⊂J²

et que |a_i||a_j|>0 (pour (i, j)∈J²), on a X i∈J |a_i|2 = ^X (i,j)∈∆ |a_i||a_j|6 ^X (i,j)∈J2 |a_i||a_j|= ^X i∈J |a_i|².

(b) De (a) on d´eduit que, pour tout a ∈ _A et toute partie finie J de _Z², on a l’enca-drement :^X

i∈J

|ai|² 6 ^X i∈J

|ai|² 6kak²₁. Prenant le sup de ces quantit´es, on trouve donc kak²₂ 6kak²₁, d’o`u l’in´egalit´e kak₂ 6kak₁.

Sia∈A₁, alors kak₂ 6kak₁ <+∞, donca∈A₂. 2. Pour a ∈ A, posons σ(a) = ^X

(m,n)∈Z2

am,n = ^X (m,n)∈Suppa

am,n, o`u l’on a not´e Suppa le support de a. Il est clair que σ est lin´eaire et que σ(W_m,n) = 1.

On a X (m,n)∈Suppa a_m,n 6 ^X (m,n)∈Suppa

|a_m,n|, donc |σ(a)|6kak₁.

En particulier,σest une forme lin´eaire continue sur l’espace norm´e (A,k k₁) (et|||σ|||= 1). Par densit´e, elle admet un unique prolongement lin´eaire et continu σ :A₁ →_C.

Soit σ⁰ : A₁ → _C une autre forme lin´eaire continue v´erifiant σ⁰(W_m,n) = 1. Soit a ∈ A. On a a = ^X

(m,n)∈Suppa

a_m,nW_m,n, donc σ⁰(a) = ^X (m,n)∈Suppa

a_m,nσ⁰(W_m,n) = σ(a). Ainsi, les

formes lin´eaires continues σ et σ⁰ co¨ıncident sur A; par densit´e elles sont ´egales.

3. (a) Pour (p, q) ∈ _Z², posons dp,q = λ^q(m−p)ap,qbm−p,n−q; posons d = (dp,q). D’apr`es l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, on a

kdk₁ = ^X (p,q)∈Z² |d_p,q|6 ^X (p,q)∈Z² λ^q(m−p)a_p,q 21/2 _X (p,q)∈Z² b_m−p,n−q 21/2 =kak₂kbk₂, donc d∈A1.

(b) On a, par d´efinition, c_m,n =σ(d). Il vient,|c_m,n|6|||σ|||kdk₁ 6kak₂kbk₂. Supposons que a,b∈ A; posons

M = sup{|p+p⁰|+|q+q⁰|; (p, q)∈Suppa; (p⁰, q⁰)∈Suppb}.

Comme Suppa×Suppb est fini, ce «sup» est atteint, donc M 6= +∞.

Soit (m, n)∈_Z2 tel que|m|+|n|> M. Pour tout (p, q)∈Suppaet (p⁰, q⁰)∈Suppb, on a (p + p⁰, q +q⁰) 6= (m, n). Donc, pour tout (p, q) ∈ _Z2, on a a_p,q = 0, ou

bm−p,n−q = 0. La famille

λ^q(m−p)ap,qbm−p,n−q

(p,q)∈Z²

Passons au cas g´en´eral. Soitε >0, il existe (par densit´e deAdans A₂) des ´el´ements a⁰,b⁰ ∈ A tels que kak₂kb−b⁰k₂+ka−a⁰k₂kb⁰k₂ 6ε. Posons

M = sup{|p+p⁰|+|q+q⁰|; (p, q)∈Suppa⁰; (p⁰, q⁰)∈Suppb⁰}.

Soit (m, n)∈_Z2 tel que |m|+|n|> M. Pour tout (p, q)∈_Z2, on a a⁰_p,qb⁰_m−p,n−q = 0, donc a_p,qb_m−p,n−q=a_p,q(b_m−p,n−q−b_m⁰ _−p,n−q) + (a_p,q−a⁰_p,q)b⁰_m−p,n−q. On trouve alors c_m,n = ^X p,q λ^q(m−p)a_p,q(b_m−p,n−q−b⁰_m−p,n−q)+ ^X p,q λ^q(m−p)(a_p,q−a⁰_p,q)b⁰_m−p,n−q.

Or par ce qui pr´ec`ede,

X p,q λ^q(m−p)a_p,q(b_m−p,n−q−b⁰_m−p,n−q) 6kak₂kb−b⁰k₂ et X p,q λ^q(m−p)(a_p,q−a⁰_p,q)b⁰_m−p,n−q 6ka−a⁰k₂kb⁰k₂. Alors, il vient |c_m,n| 6 X p,q λ^q(m−p)a_p,q(b_m−p,n−q−b⁰_m−p,n−q) + X p,q λ^q(m−p)(a_p,q−a⁰_p,q)b⁰_m−p,n−q 6kak₂kb−b⁰k₂+ka−a⁰k₂kb⁰k₂ 6ε. (c) ´Ecrivonsa?_λb= (c_m,n)_(m,n)∈Z2, on a |c_m,n|6^X p,q |a_p,q||b_m−q,n−p|. Donc ka?λbk1 6^X m,n X p,q |ap,q||bm−q,n−p|=kak1kbk1. (d) On a (W_m,n?_λW_m0,n0)?_λW_m00,n00 =λ^nm0W_m+m0,n+n0 ?_λW_m00,n00 =λ^{nm0+(n+n0)m00}W_m+m0+m00,n+n0+n00 et W_m,n?_λ(W_m0,n0 ?_λ W_m00,n00) =λ^n0m00W_m,n?_λW_m0+m00,n0+n00 =λ^{n(m0+m00)+n0m00}W_m+m0+m00,n+n0+n00 = (W_m,n?_λW_m0,n0)?_λW_m00,n00

Par lin´earit´e, on trouve (a?λb)?λc=a?λ(b?λc) poura,b,c∈ A. A l’aide de (c), on en d´eduit l’´egalit´e (a?_λb)?_λc=a?_λ(b?_λc) pour a,b,c∈A₁ - par densit´e de A dans A₁.

B. Fonctions periodiques de classe C¹.

1. (a) Pour toutt ∈_R, on a (f g)⁰(t) = f(t)g⁰(t) +f⁰(t)g(t), donc

|(f g)(t)|+|(f g)⁰(t)| 6|f(t)||g(t)|+|f(t)||g⁰(t)|+|f⁰(t)||g(t)|

6 |f(t)|+|f⁰(t)|

|g(t)|+|g⁰(t)| 6N(f)N(g).

Agr´egation externe de math´ematiques analyse et probabilit´es : corrig´e Rapport du jury pour la session 2005

(b) Soientf ∈B et ε >0. D’apr`es le th´eor`eme de Stone-Weierstrass, il existe n∈_N et des nombres complexes a_k pour −n6k 6n tels que sup{|f⁰(t)−P(t)|; t∈_R}6ε

o`u l’on a pos´e P(t) = n X k=−n a_ke^2iπkt. Puisque Z 1 0 f⁰(t)dt= 0, il vient |a₀|= Z 1 0 P(t)dt 6ε. Pourt∈_R, posons Q(t) =f(0) + Z t 0

(P(s)−a₀)dt; la fonctionQ est p´eriodique de p´eriode 1 et appartient `a l’espace vectoriel engendr´e parz^k pour−n 6k 6n. Pour

t∈[−1/2,1/2], on a|f(t)−Q(t)|= Z t 0 (f⁰(s)−P(s) +a0)ds 6ε. On trouve alors N(f−Q)63ε.

2. (a) Notons F : f 7→ fbde B dans `<sup>1</sup>(<sub>Z</sub>) la transformation de Fourier et i: `¹(_Z) → A1 l’application qui `a une suite (a_m)_m∈Z associe la famille (b_m,n)_(m,n)∈Z2 d´efinie par

b_m,n =

(

0 si n 6= 0

a_m si n = 0

On a ψ = i◦ F. L’application F est continue et on a f gc = f ?b _bg. De plus, i est continue car isom´etrique et l’on a clairement i(a?b) =i(a)?_λ i(b).

(b) Sif =zⁿ, on ag =λⁿzⁿ, donc ψ(g)?_λV =λⁿψ(f)?_λV =λⁿUⁿ?_λV =V ?_λUⁿ=

V ?_λψ(f). Le cas g´en´eral en r´esulte par lin´earit´e et continuit´e de ψ.

II. Un calcul d'image et de noyau

A. Approximation des reels par des rationnels

1. (a) Quitte `a r´eordonner les s_i, on peut supposer que la suite s_i est croissante. On a

n

X

k=0

sk+1−sk =sn+1−s0 61−0. Il existe donc k tel que sk+1−sk 6 ¹

n+ 1^. (b) Pour i = 0, . . . , n, posons si = ti−t0 −E(ti −t0) o`u E d´esigne la partie enti`ere ;

posons aussi s_n+1 = 1. Par (a), il existe i, j avec 0 6 i < j 6 n + 1 tels que |s_i−s_j|6 ¹

n+ 1^{. Si j} 6=n+ 1, on trouve |(t_i−t_j)−p|6 ¹

n+ 1^{, o`u p est un entier} (p = E(t_i −t₀)−E(t_j −t₀)). Si j = n + 1, on trouve |t_i −t₀ −p| 6 ¹

n+ 1 ^avec

p=E(ti−t0) + 1. Remarquons que dans ce cas i6= 0 puisque 1> ¹ n+ 1^. (c) Posonst_i =it; il existe i, j avec 06i < j 6n tels que δ(t_i−t_j)6 ¹

n+ 1^{. On pose} alors k =j−i; on trouve δ(kt)6 ¹

n+ 1^. 2. (a) Soit t ∈ _R. Si t = ^p

q ^{est rationnel, alors t} ∈ U_α(nq) pour tout n ∈ _N^∗ et tout

α. Donc t ∈ Y_α pour tout α. Supposons que t soit irrationnel. Soit n₀ ∈ _N^∗ et notons ε = inf{δ(kt); 1 6 k 6 n0}. Soit n ∈ _N tel que (n+ 1)ε > 1. Par 1.(c), il

existe q 6 n tel que δ(qt) 6 ¹

n+ 1 ^{< ε. Par d´efinition de ε, on a q > n0; de plus}

δ(qt)6 ¹

n+ 1 ^< 1

q^{, donc t}∈U₁(q). Cela montre que t ∈Y₁. (b) On a U_α(q) = ^[ p∈Z ip q −q^−α−1,^p q ^+q −α−1^h . Si 2q^−α > 1, on a U_α(q) = _R; sinon,

U_α(q)∩[0,1] est r´eunion disjointe de [0, q^−α−1[ de ]1−q^−α−1,1] et des intervalles

ip

q −q^−α−1,^p q ^+q

−α−1^h

pour 16p6q−1. Sa mesure est donc inf(1,2q^−α). (c) Notons µla mesure de Lebesgue sur _R.

Pour α > 1 on a ^X

q

µ(U_α(q)∩[0,1]) <+∞. Par le th´eor`eme de Borel-Cantelli, on a µ(Y_α∩[0,1]) = 0. Il est clair que Y_α∩[n, n+ 1] ={t+n; t ∈ Y_α∩[0,1]}, donc

µ(Yα∩[n, n+ 1]) = 0 (par invariance par translation de µ). On a µ(Y_α)6^Xµ(Y_α∩[n, n+ 1]) = 0. Pourα >β et q∈_N^∗, on a U_α(q)⊂U_β(q), doncY_α ⊂U_β. Il s’ensuit que ^[ α>1 Y_α = ^[ n∈N Yn+2

n+1. DoncY est une r´eunion d´enombrable d’ensembles n´egligeables : c’est une partie n´egligeable de_R.

3. (a) Par d´efinition, on aYα = ^\

n∈N [ q>n Uα(q)

. L’ensemble Yα est donc une intersection

d´enombrable d’ouverts de _R. De plus par ce qui pr´ec`ede X = ^\

α∈R^∗+

Yα = ^\

n∈N

Yn+1 est une intersection d´enombrable d’ouverts de _R. Enfin, on a d´ej`a not´e que _Q⊂X, donc X est dense dans_R.

(b) Soit t ∈ _R. Supposons que t ∈ X, et soit P un polynˆome (`a coefficients r´eels) ; soit

α∈_R+ strictement plus grand que le degr´e de P.

Pour n ∈ _N assez grand, P(n) < n^α. L’ensemble {n; δ(nt) < n^−α} ´etant infini, il existen ∈_N^∗ tel que P(n)< n^α et δ(nt)< n^−α, doncδ(nt)P(n)<1.

Supposons que t 6∈ X. Alors il existe q ∈ _R^∗₊, que l’on peut supposer entier tel que t 6∈ Yq; l’ensemble {n ∈ _N^∗; δ(nt) < n^−q} ´etant fini, il existe a ∈ _R^∗₊ tel que

aδ(nt) > 1 pour tout n dans cet ensemble. Posons alors P(t) = t^q +a. On a bien

P(n)δ(nt)>1 pour tout n∈_N^∗. B. Un calcul d'image et de noyau

1. On a V ?λU =λU ?λV. Donc, pour toutx∈A1, on a

(V ?_λU)?_λx ?_λ(V ?_λU)⁻¹ = (U ?_λ V)?_λx ?_λ(U ?_λV)⁻¹.

On en d´eduit queS◦T =T ◦S, doncM ◦L= 0.

2. Soita= (am,n)_(m,n)∈Z2 un ´el´ement de A1. ´Ecrivons L(a) = ((bm,n),(cm,n)).

On ab_m,n = (λ⁻ⁿ−1)a_m,n etc_m,n = (λ^m−1)a_m,n. Sia∈KerL, alors pour tout (m, n)∈_Z2, on a (λ⁻ⁿ−1)a_m,n = (λ^m−1)a_m,n = 0. Si m 6= 0 (resp. n 6= 0) alors λ⁻ⁿ−16= 0 (resp.

Agr´egation externe de math´ematiques analyse et probabilit´es : corrig´e Rapport du jury pour la session 2005

3. Puisqueτ(a?_λb) =τ(b?_λa), on aτ ◦S=τ ◦T = 0, donc τ◦M = 0.

Soit (m, n)∈_Z²\ {(0,0)}. Les ´el´ements S(Wm,n) etT(Wm,n) sont proportionnels `aWm,n

et l’un des deux au moins est non nul. Il en r´esulte que W_m,n ∈ ImM, donc l’adh´erence de ImM est Kerτ.

Posons E = KerM ∩ (Kerτ ×Kerτ). On sait d´ej`a que ImL ⊂ KerM. Par ailleurs, si (a,b)∈ ImL, il est clair que a,b ∈Kerτ, donc ImL⊂ E. Comme E est un sous espace ferm´e deA₁×A₁, l’adh´erence de ImL est incluse dans E. Pour (m, n)∈_Z², posons aussi

E_m,n ={(aW_m,n, bW_m,n); (a, b)∈_C2} ∩E. Il est clair que, pour (m, n)6= (0,0), E_m,n est de dimension 1 et engendr´e par L(W_m,n). Par ailleurs, si x = (a_m,n),(b_m,n) ∈ E, alors

x est somme de la famille sommable x_m,n = (a_m,nW_m,n, b_m,nW_m,n). Comme x_m,n ∈E_m,n, il en r´esulte que x est adh´erent au sous-espace engendr´e par les E_m,n, lui-mˆeme contenu dans ImL, soit x∈ImL. Cela prouve que ImL=E

4. Remarquons que pour θ∈_R, on a |e^iθ−1|= 2|sinθ/2|, donc kT(U^k)k₁ =|e^2ikπθ−1|= 2 sinπδ(kθ).

Par A.1.(c), il existe k ∈ {1, . . . , n} tel que δ(kθ)6 ¹

n+ 1^{, donc} inf{kT(U^k)k₁; 16k 6n}62 sin ^π

n+ 1·

On peut d´emontrer que l’image de Ln’est pas ferm´ee par des calculs analogues `a ceux de la question suivante. Donnons une m´ethode bas´ee sur le th´eor`eme de Banach : Si l’image deL´etait ferm´ee, l’application lin´eaire continue Kerτ →E d´eduite deLserait bijective ; ce serait un hom´eomorphisme par le th´eor`eme de Banach. Il existerait donc une constante

c > 0 telle que l’on ait kL(x)k₁ >ckxk₁ pour tout x ∈ Kerτ. Ce n’est pas le cas par ce qui pr´ec`ede puisque U^k ∈Kerτ pour k ∈_N^∗ et kL(U^k)k₁ =kT(U^k)k₁.

5. Soit (a_m,n),(b_m,n)∈KerM⁰. Pour (m, n)∈_Z2, posons

c_m,n =          0 si (m, n) = (0,0) a0,n(λ⁻ⁿ−1)⁻¹ si m= 0 et n 6= 0 bm,0(λ^m−1)⁻¹ si n = 0 etm 6= 0 am,n(λ⁻ⁿ−1)⁻¹ =bm,n(λ^m−1)⁻¹ sinon Remarquons que (a_m,n),(b_m,n)∈ImL⁰ si et seulement si (c_m,n)∈ E.

Reprenons les notations de A.3. Si θ 6∈ X, il existe un polynˆome P `a coefficients positifs tel que |c_m,n| 6 P(|m| +|n|)(|a_m,n|+ |b_m,n|) ; il en r´esulte que (c_m,n) ∈ E pour tout

(a_m,n),(b_m,n)

∈KerM⁰, donc ImL⁰ = KerM⁰.

Dans ce cas, pour tout (a_m,n)∈ E, posons b_m,n = (1−λ^m)⁻¹a_m,n si m 6= 0 et b_0,n = 0 et

cm,0 = (λ⁻ⁿ−1)⁻¹a0,n si n 6= 0, cm,n = 0 dans tous les autres cas. On v´erifie sans peine que (b_m,n),(c_m,n)∈ E × E etM⁰ (b_m,n),(c_m,n)= (a_m,n), donc ImL⁰ =E.

Si θ∈X. Pour tout k ∈_N, il existe une infinit´e de n∈_N^∗ tel que n^kδ(nθ)<1. On peut construire une suite strictement croissante (n_k)_k∈N telle que, pour tout k on ait n_k ∈_N^∗ et δ(θn_k)n^k_k <1. Posons alors

a_m,n =

(

1−λⁿk si m= 0 et n =n_k

0 dans tous les autres cas et b_m,n = 0. Alors (a_m,n),(b_m,n)

∈KerM⁰ mais (a_m,n),(b_m,n)

6∈ImL⁰. De plus, (a_m,n)6∈ImM⁰, donc ImM⁰ 6=E.

III : Calcul de normes - stabilite par l'inverse A. La representation reguliere. 1. Soient a= (a_m,n)_(m,n) ∈ A₁ et b = (b_m,n)_(m,n) ∈ A₂. ´Ecrivons a?_λb = (c_m,n)_(m,n). On a ka?λbk2 = sup^{n X} m,n |cm,n||dm,n|; d= (dm,n)_(m,n) ∈ A; kdk2 61 o . Soit d= (d_m,n)_(m,n) ∈ A. Pour m, n∈_Z, on a c_m,n 6^X p,q |a_p,q||b_m−p,n−q|, donc X m,n |c_m,n||d_m,n| 6 ^X m,n,p,q |a_p,q||b_m−p,n−q||d_m,n| 6 ^X m,n,p,q |a_p,q||b_m−p,n−q|2^1/2 X m,n,p,q |a_p,q||d_m,n|2^1/2 d’apr`es l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz. Sommant d’abord par m, n, on trouve

X m,n,p,q |a_p,q||b_m−p,n−q|2 =kak₁kbk2 2, donc X m,n |c_m,n||d_m,n|6kak₁kbk₂kdk₂.

Cela ´etant vrai pour tout d, on trouve ka?λbk2 6kak1kbk2. 2. On a a=a?_λ1=π(a)(1), donckak₂ 6|||π(a)|||k1k₂ =|||π(a)|||. 3. Pour a,b,c∈A₁, on a

(a?_λb)?_λc=a?_λ(b?_λ c) par I.A.3.(d), doncπ(a?_λ b)(c) = (π(a)◦π(b))(c). Les applications lin´eaires continuesπ(a?_λb) et π(a)◦π(b) co¨ıncident sur le sous-espace dense A₁ de A₂. Elles sont donc ´egales.

Remarquons que π(1) = id_A2, donc π(U)◦π(U⁻¹) = π(U⁻¹)◦π(U) = id_A2.

Par ailleurs, comme kUk₁ =kU⁻¹k₁ = 1, on trouve |||π(U)|||61 et|||π(U⁻¹|||61. On en d´eduit que, pour tout a∈A₂, on a kπ(U)(a)k₂ 6kak₂.

Or a = π(1)(a) = π(U⁻¹) ◦ π(U)(a), donc kak₂ 6 kπ(U)(a)k₂. On en d´eduit que kπ(U)(a)k2

2 =kak2

2. Notons h | ile produit scalaire de A₂.

Par l’identit´e de polarisation, on trouvehπ(U)(a)|π(U)(b)i=ha|bipour touta,b∈A₂ce qui s’´ecrithπ(U)^∗◦π(U)(a)|bi=ha|bi. On en d´eduit queπ(U)^∗◦π(U)(a)−aest orthogonal `

aA₂ donc est nul. Cela ´etant vrai pour touta∈A₂, on trouveπ(U)^∗π(U) = id_A2. Comme

U est inversible, on trouve π(U)^∗ =π(U)⁻¹. De mˆeme, π(V) est unitaire.

B. Un calcul de norme

1. Il est clair que|||T^∗◦T|||6|||T|||². Pour tout x∈A₂ tel que kxk₂ = 1, on a kT(x)k2 =hx|T^∗◦T(x)i6kT^∗◦T(x)k₂ 6|||T^∗◦T|||.

Prenant le «sup» surx, on trouve |||T|||² 6|||T^∗◦T|||. Appliquant ceci `a (T^∗◦T)^2k, on trouve (par r´ecurrence) que|||(T^∗◦T)^2k|||=|||T|||^2k. La suite convergente ‘|||(T^∗◦T)ⁿ|||^1/n admet une sous-suite constante (pour n = 2^k) et |||T^∗◦T|||= lim|||(T^∗◦T)ⁿ|||^1/n.

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2. Pour n∈_N^∗, on note k_n le nombre d’´el´ements du support deaⁿ. (a) ´Ecrivonsaⁿ = (b_p,q)_p,q ∈_Z2.

Pour (p, q)∈ _Z2 posons c_p,q = 0 si b_p,q = 0 et b_p,qc_p,q = |b_p,q| pour tout (p, q). On a k(c_p,q)k₂ =^pk_n et, par l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz,

kak₁ =h(b_p,q)|(c_p,q)i6kak₂^pk_n.

(b) Il existe p₀, p₁, q₀, q₁ ∈ _Z tels que a_p,q 6= 0 ⇒ p₀ 6 p 6 p₁ et q₀ 6 q 6 q₁. Posons alors r = 1 + max(p₁−p₀, q₁ −q₀). Pour toutn ∈_N∗, le support de aⁿ est contenu dans {(p, q); np₀ 6p6np₁, et nq₀ 6q 6nq₁}, donc

k_n 6 n(p₁−p₀) + 1 n(q₁−q₀) + 16n²r². (c) Pour toutn ∈_N^∗, on a kaⁿk2 6|||π(aⁿ)|||6kaⁿk1 6rnkaⁿk2;

comme lim(rn)^1/n= 1, (c) en r´esulte.

(d) Appliquant les r´esultats de (c) `aa^∗?_λa, on trouve |||π(a)|||² = lim π (a^∗?_λa)ⁿ 1/n = lim a^∗?_λaⁿ 1/n 1 = lim (a^∗ ?_λa)ⁿ 1/n 2 . Or (a^∗?_λa)ⁿ 2

2 =τ (a^∗?_λa)²ⁿ, d’o`u l’on trouve|||π(a)|||= limτ (a^∗?_λa)²ⁿ 1/4n

. C. Deux applications

1. (a) Pour tout m, n ∈ _Z2, u^m◦vⁿ est un unitaire de L(H), donc |||u^m ◦vⁿ||| = 1. Soit a∈A₁. La famille (a_m,nu^m◦vⁿ)_(m,n)∈Z2 est normalement sommable donc sommable (puisque L(H) est un espace de Banach). Posons

σ_u,v(a) = ^X (m,n)∈Z² a_m,nu^m◦vⁿ. On a |||σ_u,v(a)||| = X a_m,nu^m ◦vⁿ 6 ^X|||a_m,nu^m◦vⁿ||| =kak₁. En particulier,

σ_u,v est continue.

Il est clair que σ_u,v(W_m,n) =u^m◦vⁿ. En particulier σ_u,v(U) =u, σ_u,v(V) = v. On aσ_u,v(W_m,n)σ_u,v(W_p,q) =u^m◦vⁿ◦u^p◦v^q =λ^npu^m+p◦v^n+q =σ_u,v(W_m,n?_λW_p,q). Par lin´earit´e et continuit´e, pour a,b ∈A₁ on a σ_u,v(a?_λb) =σ_u,v(a)σ_u,v(b).

Si σ⁰ : A₁ → L(H) v´erifie aussi ces propri´et´es, `a l’aide des propri´et´es 1?_λ U = U,

U⁻¹?_λU =1etV⁻¹?_λV =1on trouve successivement σ⁰(1) = id_H,σ⁰(U⁻¹) =u⁻¹,

σ⁰(V⁻¹) =v⁻¹, puisσ⁰(Wm,n) =σ⁰(U^m?λVⁿ) =u^m◦vⁿ. Il en r´esulte queσ⁰ co¨ıncide avecσ_u,v sur A (par lin´earit´e), donc surA₁ (par continuit´e).

(b) On a σ_u,v(a^∗) =σ_u,v(a)^∗ pour touta∈A₁. On en d´eduit que

|||σu,v(a)|||= lim|||σu,v a^∗?λa)ⁿ|||^1/2n 6limk(a^∗?λa)ⁿ)k₁^1/2n=|||π(a)|||.

2. (a) Soit x = π(a)⁻¹. Comme π est continue, A est dense dans A₁ et π(A₁) est dense dans A, π(A) est dense dans A. Il existe donc b ∈ A tel que |||π(b)−x|||kak₁ <1. On a alors |||π(a?_λb)−id_A2|||=|||π(a) π(b)−x)|||<1 et|||π(b?_λa)−id_A2|||<1.

(b) Posons x = 1− a?_λ b. On a limkxⁿk1/n = lim|||π(x)ⁿ|||^1/n 6 |||π(x)||| < 1. Par la r`egle de Cauchy, la s´erie de terme g´en´eral kx<sup>n</sup>k<sub>1</sub> est convergente, donc la s´erie de terme g´en´eral x<sup>n</sup> est convergente dans l’epace de Banach A1. On en d´eduit que a?<sub>λ</sub>b=1−xest inversible dansA<sub>1</sub> (d’inverse<sup>X</sup>x<sup>n</sup>). De mˆemeb?<sub>λ</sub>aest inversible dans A<sub>1</sub>. Il en r´esulte que a admet un inverse `a droite et un inverse `a gauche donc est inversible dans A₁.

D. Ideaux bilateres et representations

1. (a) Pour tout (p, q)∈_Z2 et 06j, k < n, on aU^j?_λV^k?_λW_p,q?_λV^−k?_λU^−j =λ^kp−jqW_p,q, doncτ_n(W_p,q) =¹ n n−1 X j=0 λ^−jq1 n n−1 X k=0 λ^kpW_p,q. Il en r´esulte que, si (p, q)6= (0,0), la suite τn(Wp,q) converge vers 0 dans A1. Par lin´earit´e, la suite τn(a) converge dans

A₁ vers τ(a)1 pour tout a ∈ A. Soient a ∈ A₁ et ε > 0 ; il existe b ∈ A tel que ka−bk₁ < ε/3. Par ce qui pr´ec`ede, il existe N ∈_N tel que pour toutn >N on ait kτn(b)−τ(b)1k1 < ε/3. Remarquons que, pour tout c ∈A1 on akτn(c)k1 6kck1, donc, pour n >N, on a

kτ_n(a)−τ(a)1k₁ 6kτ_n(a−b)k₁+kτ_n(b−τ(b)1k₁+kτ(b−a)1k₁ < ε.

(b) Puisquea6= 0, on a τ(a^∗?_λa) =kak2 2 >0.

Pourn ∈_Nassez grand, on akτ_n(a^∗?_λa)−τ(a^∗?_λa)1k₁ < τ(a^∗?_λa), doncτ_n(a^∗?_λa) est inversible dans A1.

2. Soit J un id´eal bilat`ere non nul de A₁ et a un ´el´ement non nul de J. Alors J contient tous les τn(a^∗ ?λa), donc un ´el´ement inversible de A1, donc J =A1.

3. (a) Pour toutn on a σ_u,v(τ_n(a)) =n^{−2 X}

06j,k<n

u^j◦v^k◦σ_u,v(a)◦v^−k◦u^−j, donc |||σ_u,v(τ_n(a))|||6|||σ_u,v(a)|||.

Or par 1.(a), on a lim|||σ_u,v(τ_n(a))|||=|τ(a)|, donc|τ(a)|6|||σ_u,v(a)|||. (b) Soit a ∈ A. Pour tout n ∈ _N∗, on a

σ_u,v (a^∗ ?_λa)²ⁿ 1/4n > τ (a^∗ ?_λ a)²ⁿ 1/4n . Dans cette in´egalit´e, le membre de gauche converge vers|||σ_u,v(a)|||et celui de droite vers |||π(a)|||. On en d´eduit |||σ_u,v(a)|||>|||π(a)|||, d’o`u l’´egalit´e.

L’´egalit´e|||σ_u,v(a)|||=|||π(a)||| s’en d´eduit par densit´e de A dans A₁. IV : Une egalite de norme

Notons v_R, v_U et v_Z les op´erateurs unitaires d´efinis de la mani`ere suivante : si ˜ξ ∈ H_R (resp.

˜

ξ ∈H_U) est la classe d’une fonction mesurableξ:_R→_C, on note v_R( ˜ξ) (resp.v_U( ˜ξ)) la classe dans H_R (resp.dansH_U) de la fonction t7→ξ(t+θ). Si ξ∈H_Z, on pose (v_Z(ξ))(n) =ξ(n+ 1). Reprenons les notations de la partie I.B. Si g ∈B, notons ρ_R(g),ρ_U(g) et ρ_Z(g) les op´erateurs d´efinis de la mani`ere suivante : si ˜ξ∈H_R (resp.ξ^˜∈H_U) est la classe d’une fonction mesurable

ξ : _R → _C, on note (ρ_R(g))( ˜ξ) (resp. (ρ_U(g))( ˜ξ)) la classe dans H_R (resp. dans H_U) de la fonction t 7→ g(t)ξ(t). Si ξ ∈ H_Z, on pose ((ρ_Z(g))(ξ))(n) = g(nθ)ξ(n). Posons u_R = ρ_R(z),

u_U =ρ_U(z) et u_Z =ρ_Z(z). On v´erifie imm´ediatement que l’on a

v_R◦u_R =λu_R◦v_R, v_U◦u_U=λu_U◦v_U et v_Z◦u_Z =λu_Z◦v_Z. Par III.C.1, il existe des homomorphismes

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σ_R :A₁ → L(H_R),σ_U :A₁ → L(H_U) et σ_Z :A₁ → L(H_Z)

tels que σ_R(U) = u_R, σ_R(V) =v_R, σ_U(U) =u_U, σ_U(V) = v_U et σ_Z(U) = u_Z, σ_Z(V) =v_Z. Les homomorphismesσ_R◦ψ etρ_R prennent la mˆeme valeuru_R enz, donc en zⁿ. Ils co¨ıncident par I.B.1.(b). De mˆeme, σ_U◦ψ =ρ_U et σ_Z◦ψ =ρ_Z.

Posons T = N X k=−N ψ(fk)V^k. On a σ_R(T) =T_R, σ_U(T) =T_U etσ_Z(T) =T_Z. Par III.D, on a |||T_R|||=|||T_U|||=|||T_Z|||=|||π(T)|||.

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