S´eparation MIMO par d´eflation

La s´eparation MIMO a ´et´e test´ee avec 3 sources, 4 capteurs, des filtres de m´elange tir´es al´eatoirement de longueur 3 et des sources i.i.d. PAM4. Les sources ont ´et´e extraites en utilisant la m´ethode de maximisations successives d’un contraste avec r´ef´erence d´ecrite au paragraphe pr´ec´edent. Le passage `a l’extraction MIMO a ´et´e men´e par des ´etapes de d´eflation successives d´ecrites au paragraphe 3.2.1 et en prenant en compte la remarque du paragraphe 5.3.4.

Les r´esultats provenant de 100 r´ealisations de Monte-Carlo sont regroup´es dans les tableaux 5.5, 5.6 et 5.7. Nous pouvons constater que la m´ethode offre des r´esultats satis-faisants.

Num´ero EQM % de r´ealisations avec une EQM : source moyenne < 5.10−2 < 10−2 < 5.10−3

1 0.0006 100 100 100

2 0.0569 96 95 87

3 0.0251 96 91 30

Tab. 5.5 – EQM moyenne sur chacune des 3 sources extraites. r´esultats pour 5000 ´echan-tillons et, pour chaque extraction, 15 it´erations de maximisation d’un contraste avec r´ef´e-rence.

Num´ero EQM % de r´ealisations avec une EQM : source moyenne < 5.10−2 < 10−2 < 5.10−3

1 0.0003 100 100 100

2 0.0145 98 98 97

3 0.0251 98 98 93

Tab. 5.6 – EQM moyenne sur chacune des 3 sources extraites. r´esultats pour 10000 ´echan-tillons et, pour chaque extraction, 10 it´erations de maximisation d’un contraste avec r´ef´e-rence.

Num´ero EQM % de r´ealisations avec une EQM : source moyenne < 5.10−2 < 10−2 < 5.10−3

1 3.0512e-5 100 100 100

2 0.0095 99 99 99

3 0.0053 99 99 99

Tab. 5.7 – EQM moyenne sur chacune des 3 sources extraites. r´esultats pour 100000 ´echantillons et, pour chaque extraction, 5 it´erations de maximisation d’un contraste avec r´ef´erence.

5.5 Conclusion

Partant de la notion de signal de r´ef´erence, nous avons introduit une classe de contrastes MISO utilisables a priori dans un cas semi-aveugle. La validit´e de ces crit`eres de contraste a ´et´e ´etablie aussi bien dans le cas de sources i.i.d. que dans le cas non i.i.d. Compte tenu des conditions de validit´e de ces contrastes, les connaissances n´ecessaires `a l’obtention d’un signal de r´ef´erence se sont r´ev´el´ees cependant relativement faibles. Les simulations ont ainsi mis en ´evidence la possibilit´e d’utiliser ces contrastes dans un cadre aveugle. Enfin, l’avantage majeur des crit`eres introduits r´eside dans leur d´ependance quadratique vis `a vis des param`etres. Il en r´esulte la possibilit´e de les optimiser par une m´ethode rapide et efficace. Ainsi, ces contrastes MISO offrent une m´ethode performante d’extraction d’une source. Combin´es avec des ´etapes de d´eflations, nos simulations laissent augurer d’excellentes perspectives pour la s´eparation de m´elanges MIMO.

Chapitre 6

Conclusion

6.1 R´esum´e des travaux r´ealis´es

Les travaux que nous avons men´es ont concern´e la s´eparation de sources dans le cadre des m´elanges convolutifs. Parmi les principales difficult´es que soul`eve cette probl´ematique nous pouvons citer :

– la recherche de crit`eres de s´eparation et leur ´etude, en particulier en ce qui concerne l’existence et les propri´et´es des maxima locaux ;

– la recherche de proc´edures d’optimisation efficaces, qui permettent le cas ´ech´eant de s’affranchir des maxima locaux ind´esirables ;

– l’extension au cas non i.i.d. des m´ethodes existantes, g´en´eralement propos´ees dans le cadre i.i.d. ;

– la recherche de m´ethodes de s´eparation conjointes offrant une alternative aux m´e-thodes s´equentielles, notamment `a la d´eflation.

Ce travail s’est d’abord concentr´e sur les m´ethodes conjointes et l’´etude des contrastes qui leur sont associ´es. Par le biais d’une approche fr´equentielle, une famille de contrastes temporels, valables pour des sources non i.i.d. a ´et´e mise en ´evidence. L’optimisation de ces crit`eres est toutefois d´elicate en raison de l’existence de maxima locaux non s´eparants. D’autre part, l’´etape n´ecessaire de pr´eblanchiment peut soulever des difficult´es suppl´emen-taires.

Les m´ethodes s´equentielles pr´esentent pour leur part des avantages non n´egligeables. D’abord, l’avantage d´ecisif de ces approches r´eside en la possibilit´e de choisir des contrastes de telle sorte que tout maximum local soit s´eparant. Ensuite, les contrastes MISO auxquels font appel ces approches demeurent valables dans le cas non i.i.d. ce qui permet d’´elargir l’horizon des applications potentielles. Enfin, l’absence de pr´eblanchiment facilite une mise en œuvre concr`ete.

L’approche s´equentielle que nous avons propos´ee apparaˆıt comme une alternative `a l’approche dite par d´eflation. Comme pour l’ensemble des m´ethodes s´equentielles, on peut observer un ph´enom`ene gˆenant d’accumulation des erreurs au fur et `a mesure que les sources sont extraites. La possibilit´e de mise en œuvre d’une post-optimisation locale et sans contraintes a ainsi ´et´e justifi´ee. Ce post-traitement permet de r´etablir une sym´etrie dans le traitement des sources et ainsi de limiter le probl`eme de d´egradation des r´esultats au cours des extractions.

Deux applications des m´ethodes s´equentielles ont pu ˆetre envisag´ees en faisant appel `a des connaissances ext´erieures au domaine intrins`eque de la s´eparation de sources. Des r´esultats sur la d´emodulation aveugle de signaux CPM ont permis, en liaison avec les

nˆotres, d’obtenir la s´eparation et la d´etection de plusieurs signaux CPM. D’autre part, la s´eparation de sources a ´et´e g´en´eralis´ee aux m´elanges convolutifs multidimensionnels et aux images en particulier, par le recours `a des r´esultats sur les matrices polynomiales `a plusieurs ind´etermin´ees.

L’optimisation des contrastes utilis´es dans les approches MISO se r´ealise en g´en´eral par une m´ethode it´erative, qui conduit `a une importante charge de calcul. La possibilit´e d’utiliser une connaissance a priori suppl´ementaire a men´e `a la notion de contrastes avec r´ef´erence. Ces derniers combinent `a eux seuls la plupart des atouts souhaitables : la facilit´e d’optimisation permet surtout d’obtenir ais´ement et en un nombre fini d’op´erations le maximum global. De ce fait, le probl`eme de l’existence de maxima locaux ne se pose pas. De plus, ces crit`eres restent valables dans le cas de sources non i.i.d. Mˆeme si de tels crit`eres ont ´et´e envisag´es initialement dans un cadre semi-aveugle, les connaissances requises pour leur utilisation sont en r´ealit´e faibles et leur ´etude a fait ´egalement apparaˆıtre leur grand int´erˆet dans le cadre aveugle.