observe alors des franges color´ees.
On peut effectuer l’exp´erience d’Young en envoyant directement un fais-ceau laser sur les trous (ou fentes) O1 et O2. Par contre, avec une source de lumi`ere non coh´erente comme le soleil, le trou quasi-ponctuel S joue un rˆole essentiel dans l’exp´erience. Environ cent cinquante ans avant Young, Grimaldi2 pensait que la lumi`ere ´etait de nature ondulatoire et qu’il devait ˆ
etre possible d’observer des interf´erences. En 1665, il d´ecrivit une exp´erience o`u il ´eclairait directement par le soleil deux trousO1 etO2 perc´es dans les murs d’une chambre noire. Il observa les ondes diffract´ees par les deux trous mais pas d’interf´erence dans leur recouvrement. Nous expliquerons dans la section 4.5pourquoi l’exp´erience de Grimaldi ´echoua.
4.2 Th´eorie scalaire
Dans cette section on calcule l’´eclairement pour la superposition de deux ondes de mˆeme fr´equence, mˆeme vecteur d’onde et mˆeme polarisation recti-ligne.
4.2.1 Calcul de l’´eclairement
Soient deux ondes lumineuses 1 et 2 de mˆeme fr´equence qui se super-posent en un point M. ´Ecrivons les champs ´electriques (en repr´esentation complexe) des ondes 1 et 2 au pointM, en faisant l’hypoth`ese que ces deux champs sont parall`eles au vecteur unitaireux:
ˆ E1(t) = A1uxei(ωt+φ1) (4.2) ˆ E2(t) = A2uxei(ωt+φ2) (4.3)
o`u A1 ≥0 et A2≥0. Ces hypoth`eses sont le point de d´epart de lath´eorie scalaire des interf´erences. Le caract`ere vectoriel du champ ne joue plus qu’un rˆole tr`es secondaire. Cette th´eorie scalaire des interf´erences s’applique aussi, avec peu de changements, `a tout type d’ondes d´ecrit par un champ scalaire, comme la surpression pour les ondes acoustiques. Elle permettra de d´ecrire approximativement les interf´erences de deux ondes lumineuses se propageant de fa¸con para-axiale (leurs rayons sont peu inclin´es par rapport `
a Oz) et polaris´ees rectilignement suivant Ox. Le champ ´electrique r´esultant au pointM est
ˆ
E =Eˆ1+Eˆ2= ˆA uxeiωt (4.4)
o`u ˆA est l’amplitude complexe ˆ
A=A eiψ=A1eiφ1 +A2eiφ2, A≥0. (4.5)
En n´egligeant l’inclinaison des rayons par rapport `a Oz, le champ magn´ e-tique en M est parall`ele `a Oy et le vecteur de Poynting parall`ele `a Oz:
B ≈ nuz
c ∧E, P = E ∧B
µ ≈ nE2
µc uz. (4.6)
Supposons qu’on observe sur un ´ecran perpendiculaire `aOz. L’´eclairement (cf. section 3.2.3) au pointM est
I = P·uz = nE2 µc = nA2 µc cos 2(ωt+ψ) = n 2µcAˆ2 . (4.7)
Dans la th´eorie qui suit, la valeur du facteurγ =n/2µcest sans importance. Il suffit de retenir que l’´eclairement est proportionnel au carr´e du module de l’amplitude :
I =γAˆ2
. (4.8)
S’il n’y avait que l’onde 1 (resp. 2), l’´eclairement vaudrait I1 = γA21 (resp. I2=γA22). L’´eclairement I s’exprime en fonction dud´ephasage
φ=φ2−φ1 (4.9)
entre les ondes 1 et 2 et des ´eclairements I1,I2:
Aˆ2 =A 1eiφ1+A2eiφ22 =A 1+A2ei(φ2−φ1)2 = A1+A2eiφ A1+A2e−iφ =A21+A22+A1A2(eiφ+e−iφ) ; (4.10) Aˆ2 =A21+A22+ 2A1A2cosφ; (4.11) I =I1+I2+ 2 I1I2cosφ. (4.12)
Dans le cas particulier o`u les ondes 1 et 2 ont mˆeme ´eclairementI1=I2 =I0, on peut mettre cette expression sous la forme
I = 2I0(1 + cosφ) = 4I0cos2 φ
2. (4.13)
Lorsqu’on superpose deux ondes qui n’interf`erent pas entre-elles (par exem-ple deux ondes de fr´equences diff´erentes), l’´eclairement est additif. Au lieu de l’´equation (4.12) on a :
I =I1+I2 (sans interf´erence). (4.14)
Dans la somme (4.12), le terme 2√
I1I2cosφ est par cons´equent appel´e terme d’interf´erence.
4.2. TH ´EORIE SCALAIRE 63
4.2.2 L’´eclairement en fonction du d´ephasage
Dans cette section nous ´etudions l’´eclairement en fonction du d´ephasage φ pour I1 et I2 donn´es. En comparant au cas sans interf´erence, on dit que les interf´erences de deux ondes sont constructives lorsque I > I1+I2 et destructiveslorsqueI < I1+I2. L’´eclairement est maximum (cf. figures4.3 et4.4) lorsque les ondes 1 et 2 sont en phase :
φ= 2pπ o`u p∈Z. (4.15)
Il vaut alors
Imax=γ(A1+A2)2=I1+I2+ 2
I1I2. (4.16)
Fig. 4.3 – Eclairement´ Ien fonction du d´ephasage φ. Cas I1=I2.
Fig. 4.4 – Eclairement´ Ien fonction du d´ephasage φ. Cas I1=I2. I Imax Imoy Imin 0 π/2 π 3π/2 2π φ Fig. 4.3. I Imax Imoy 0 π/2 π 3π/2 2π φ Fig. 4.4.
Pour I1 = I2 = I0, ce maximum vaut Imax = 4I0. L’´eclairement est minimum lorsque les ondes 1 et 2 sont en opposition de phase :
φ= (2q+ 1)π o`u q ∈Z. (4.17) Il vaut alors
Imin=γ(A1−A2)2 =I1+I2−2
I1I2. (4.18) Pour I1 =I2, ce minimum est nul. La moyenne de ces valeurs minimum et maximum est
Imoy=I1+I2 (4.19)
qui est la valeur de l’´eclairement lorsque les deux ondes lumineuses n’in-terf`erent pas.
4.2.3 Franges d’interf´erence
En pratique, sur l’´ecran d’observation, les ´eclairements I1 et I2 des deux ondes varient « lentement » alors que leur diff´erence de phase φ va-rie « rapidement ». Supposons que I1 etI2 sont uniformes sur tout l’´ecran d’observation. Les modulations d’´eclairement observ´ees sont alors dues aux variations du d´ephasageφd’un point `a l’autre.
D´efinition 4.1. On appelle franges d’interf´erence le lieu des points M de l’´ecran ayant un ´eclairement donn´e.
On observe sur l’´ecran desfranges brillanteso`u l’´eclairement est maxi-mum (I =Imax) lorsque les ondes sont en phase et desfranges sombreso`u l’´eclairement est minimum (I = Imin) lorsque les ondes sont en opposition de phase. On ditfranges noirespour l’´eclairement nul (I =Imin= 0). D´efinition 4.2. On appellecontraste(oumodulation,ouvisibilit´e) des franges le rapport
C= Imax−Imin
Imax+Imin. (4.20)
Remarque La d´efinition du contraste s’applique `a tout syst`eme d’in-terf´erence. Le contraste peut ˆetre consid´er´e comme une fonction C(M) du pointMde l’´ecran d’observation,ImaxetImind´esignant alors respectivement les ´eclairements des franges brillantes et sombres de l’´ecran qui encadrent le pointM.
Le contraste s’´ecrit en fonction de l’amplitude des variations de l’´ eclai-rement a = 12(Imax−Imin) (cf. figure 4.5) autour de sa valeur moyenne Imoy = 12(Imax+Imin) :
I 0 Imax Imin φ Imo y a a Fig. 4.5 – D´efinition de la
modulation (ou contraste ou visibilit´e).
C = Imax−Imin Imax+Imin
= a
Imoy. (4.21)
Pour les interf´erences de deux ondes, le contraste s’´ecrit en fonction de I1 etI2, suppos´es constants, en utilisant les ´equations (4.16) et (4.18) :
C= 2 √
I1I2
I1+I2. (4.22)
Quand les deux ondes ont le mˆeme ´eclairement (I1 = I2), les franges sont parfaitement contrast´ees (Imin = 0). Le contraste vaut alorsC= 1. Sinon, il y a perte de contraste (C <1). Le cas limite C = 0 correspond `a l’absence d’interf´erence.