O mpc est´a dentro da fam´ılia de controladores ´otimos, isto ´e, aqueles em que a seq¨uˆencia de a¸c˜oes de controle correspondem `a otimiza¸c˜ao de um determinado crit´erio (Camacho e Bordons 2004). O crit´erio, ou fun¸c˜ao custo, a otimizar est´a relacionado com o comportamento futuro do sistema, o qual ´e predito utilizando o modelo dinˆamico deste. O intervalo de tempo futuro que se considera na otimiza¸c˜ao ´e denominado de horizonte de predi¸c˜ao.
Dado que o comportamento futuro do sistema depende das a¸c˜oes de controle que s˜ao aplicadas ao longo do horizonte de predi¸c˜ao, s˜ao estas as vari´aveis de decis˜ao que s˜ao utilizadas para otimizar o crit´erio. A aplica¸c˜ao da seq¨uˆencia das a¸c˜oes de controle sobre o sistema conduzem a um controle em malha aberta. A poss´ıvel diferen¸ca entre o comportamento predito e o comportamento real, cria a necessidade de impor certo grau de robustez ao sistema incorporando realimenta¸c˜ao do mesmo. Esta realimenta¸c˜ao ´e poss´ıvel gra¸cas `a estrat´egia de horizonte deslizante que consiste em aplicar apenas as a¸c˜oes de controle do instante presente. Logo ap´os o sistema ´e amostrado e ´e resolvido um novo problema de otimiza¸c˜ao. Desta forma, o horizonte vai sendo deslocado para frente ao longo do tempo.
Uma das propriedades mais importantes do mpc ´e sua formula¸c˜ao aberta, que permite a incorpora¸c˜ao de diferentes modelos de predi¸c˜ao, sejam estes lineares ou n˜ao lineares, monovari´aveis ou multivari´aveis e a considera¸c˜ao de restri¸c˜oes sobre o sistema. O primeiro grupo de controladores preditivos que surgiu e teve aplica¸c˜ao inmediata na ind´ustria, ´e constituido pelos controladores: “dinamic matrix control” (dmc), que foi desenvolvido por engenheiros da Shell Oil, no in´ıcio da d´ecada de 70, com a primeira aplica¸c˜ao no ano 1973 e que logo ap´os foi apresentada na literatura por Cutler e Ra- maker (1979) e; o “model predictive heuristic control”(mphc) que teve sua primeira aplica¸c˜ao reportada em Richalet et al. (1976). Posteriormente esta estrat´egia foi de- nominada na literatura como “model algorithmic control” (mac). Estes algoritmos baseiam-se em modelos lineares de resposta ao degrau ou ao impulso respectivamente, para descrever a planta, e as perturba¸c˜oes s˜ao consideradas como as diferen¸cas entre a sa´ıda do processo real e a sa´ıda de predi¸c˜ao (Lee et al. 1994).
Por outro lado, existe outro grupo de algoritmos mpc lineares que surgiram no meio acadˆemico, geralmente relacionados ao controle adaptativo e possuem uma s´erie de caracter´ısticas que os diferenciam do dmc e mac. Neste grupo, podem ser inclu´ıdos o “generalized predictive controller” (gpc, (Clarke et al. 1987)), o “extended predictive
self adaptive control” (epsac, (Keyser e Cuawenberghe 1985)) e o “extended horizon adaptive control” (ehac, (Ydstie 1984)). Neste grupo, a planta e as perturba¸c˜oes s˜ao representadas por um modelo autoregressivo integrado de m´edia m´ovel, denominado na literatura inglesa de modelo carima (Goodwin e Sin 1984). As predi¸c˜oes da sa´ıda do processo calculam-se usando preditores ´otimos. Uma das vantagens do modelo usado neste segundo grupo de controladores ´e que este ´e mais geral que os de resposta impulsiva e de resposta ao degrau. Isto permite obter uma representa¸c˜ao com menor n´umero de parˆametros, principalmente em caso de sistemas com atraso. Al´em disso, com este tipo de controladores a robustez frente aos erros de modelagem e ru´ıdo de medi¸c˜ao pode ser considerada no algoritmo, por meio do uso de polinˆomios de filtragem (Clarke et al. 1987).
Finalmente, existem controladores que usam modelos n˜ao lineares. Neste grupo, podem ser inclu´ıdos o “extended predictive self adaptive control” (nepsac, (Keyser e Lazar 2003)) e o “Nonlinear generalized predictive control” (ngpc, (Chen et al. 1999)). O nepsac combina o modelo carima e o modelo n˜ao linear, na forma entrada−sa´ıda, para aproximar a a¸c˜ao do controle ao ´otimo. No ngpc usa-se, somente o modelo n˜ao linear para calcular as predi¸c˜oes das sa´ıdas e a fun¸c˜ao custo minimiza a diferen¸ca entre a sa´ıda e a referˆencia.
Entre as vantagens e desvantagens em se usar modelos lineares e n˜ao lineares no mpcpodem ser citadas as seguintes:
• modelos lineares podem ser identificados de forma relativamente simples;
• em muitas das aplica¸c˜oes o objetivo principal ´e manter a sa´ıda desejada num determinado ponto em regime permanente. Neste caso, o modelo linear representa bem o sistema;
• o uso de um modelo linear e uma fun¸c˜ao objetivo quadr´atica levam a um problema de programa¸c˜ao quadr´atica convexa. Neste caso, existem solu¸c˜oes anal´ıticas e num´ericas que podem ser facilmente encontradas;
• existem situa¸c˜oes importantes em que as n˜ao linearidades s˜ao severas, inclusive na vizinhan¸ca do ponto de opera¸c˜ao. Neste caso, o uso de um modelo n˜ao linear pode ser importante para garantir a estabilidade do sistema em malha fechada; • do ponto de vista aplicativo a falta de t´ecnicas de identifica¸c˜ao n˜ao linear bem
2.7.1
Formula¸c˜ao do controle preditivo baseado em modelo
O controle preditivo (mpc) cujo esquema est´a ilustrado na Figura 2.14 ´e formado pelos seguintes elementos:
de predi¸c˜ao Modelo Planta Otimizador Fun¸c˜ao objetivo Restri¸c˜oes Sequencia de a¸c˜oes de controle futuro y(t) Trajet´oria de referˆencia w(t + k) u(t + k|t) − +
Sa´ıdas futuras preditas u(t)
Figura 2.14: Estrutura geral do MPC
1. Modelo de predi¸c˜ao: ´E o modelo matem´atico que descreve o comportamento esperado do sistema. Este modelo pode ser linear ou n˜ao linear, em tempo con- t´ınuo ou em tempo discreto, em vari´aveis de estado ou entrada−sa´ıda;
2. Fun¸c˜ao custo: ´E a fun¸c˜ao que indica o crit´erio a otimizar. ´E uma fun¸c˜ao definida positiva, usualmente quadr´atica, que expressa o custo associado a uma determinada evolu¸c˜ao do sistema ao longo do horizonte de predi¸c˜ao N;
3. Restri¸c˜oes: Indicam os limites dentro dos quais deve permanecer a evolu¸c˜ao das vari´aveis do sistema. A evolu¸c˜ao destas vari´aveis n˜ao deve exceder deter- minadas restri¸c˜oes que, por limites f´ısicos ou por motivos de seguran¸ca, devem ser impostas ao sistema. A necessidade, geralmente por motivos econˆomicos, de trabalhar em pontos de opera¸c˜ao pr´oximos aos limites f´ısicos admiss´ıveis do sis- tema tem provocado a necessidade de incorporar as restri¸c˜oes no algoritmo dos controladores.
4. Otimizador: ´E um algoritmo que minimiza a fun¸c˜ao custo sujeita `as restri¸c˜oes das vari´aveis do sistema.
A descri¸c˜ao geral da seq¨uˆencia de controle do mpc (Figura 2.14) ´e apresentada a seguir:
1. usando o modelo do processo, estima-se a sa´ıda futura do sistema, a cada instante de tempo discreto, no horizonte de predi¸c˜ao N. Estas predi¸c˜oes s˜ao representadas por ˆy(t + k|t) para k = 1, ..., N e dependem de entradas e sa´ıdas passadas, e das a¸c˜oes futuras de controle u(t+k|t), k = 0, ..., N −1 que ser˜ao calculados e enviados ao sistema;
2. define-se a trajet´oria de referˆencia futura w(t + k), k = 1, ..., N;
3. calcula-se a seq¨uˆencia de a¸c˜oes ´otimas do controle futuro u(t+k|t), k = 0, ..., N −1 minimizando a fun¸c˜ao custo;
4. somente o primeiro elemento da seq¨uˆencia de controle u(t|t) deve ser enviado ao processo, desprezando o restante dos valores, o que caracteriza a estrat´egia como de horizonte deslizante. Para o pr´oximo per´ıodo de amostragem os dados devem ser atualizados e o algoritmo deve retornar ao passo 1.
2.7.2
Vantagens e desvantagens do controle preditivo baseado
em modelo
As principais raz˜oes da aceita¸c˜ao do mpc no meio industrial, s˜ao as seguintes: • o ajuste dos parˆametros ´e intuitivo o que simplifica a compreens˜ao pelos opera-
dores;
• possui uma estrat´egia flex´ıvel e pode ser usado para controlar uma grande vari- edade de processos, lineares e n˜ao lineares, nonovari´aveis e multivari´aveis, com restri¸c˜oes, com longos atrasos, est´aveis, de fase n˜ao m´ınima, integradores ou ins- t´aveis;
• a lei de controle corresponde a crit´erios ´otimos.
Entre as desvantagens desta t´ecnica podem ser citadas as seguintes:
• requer o conhecimento de um modelo dinˆamico do sistema, suficientemente pre- ciso;
• requer um elevado custo computacional o que torna dif´ıcil a sua aplica¸c˜ao em sistemas r´apidos;
• em caso de modelos n˜ao lineares ou com restri¸c˜oes a an´alise de estabilidade e robustez torna-se complexa.