Entropie de queue des applications C r

notons gnun prolongement Cr de hnà Tfn−1_(x)M. Il existe une constante D dépendant uniquement de (M, kkM) telle que |||(expx)/TxM (R)|||1 < D et |||(exp

−1

x )/BM(x,R0)|||1 < D. On a alors pour tout n ∈ N − {0} et tout 0 < r ≤ R :

|||(g_n)/T_{f n−1(x)}M (r)|||1 ≤ D2|||(fn)/BM(fn−1(x),r)|||1

Enn on pose g0 = IdTxM et on note G := (gk)k∈N. Remarquons alors que par dénition de l'application exponentielle, on a alors BF_{(x, n, ) = B}G_{(x, n, )pour  ≤ R.}

On conclut la preuve en appliquant le théorème précédent à la suite de fonctions G := (gk)k∈N

pour 1= R.

 Si (fn)n∈N est une suite de fonctions de M dans lui-même, alors pour tout entier p on note

(f_kpp )_k∈N la suite de fonctions dénie par f_kpp := fkp+p−1◦ fkp+p−2◦ ... ◦ fkp. On applique maintenant

le théorème précédent à la suite (fp

kp)k∈N an de supprimer la constante algébrique dans l'estimée

logarithmique en n du nombre de reparamétrisations.

Théorème 4.1.6 Soit M une variété Cr _{compacte riemanienne et soit F = (f}

n)n∈N: M → M une

suite de fonctions de classe Cr_{, telle que sup} k∈N

|||f_k|||r < ∞. Pour tout l ∈ N, on munit ] − 1, 1[l de la

norme kk2.

Pour tout entier p, il existe un réel 0 > 0 dépendant continûment de sup k∈N

|||f_k|||r satisfaisant la

propriété suivante. Pour tout  < 0, pour toute application σ :]−1, 1[l→ M de classe Cravec |||σ|||r <

+∞, pour tout n ∈ N et tout x ∈ M, il existe une famille nie Ψnd'applications ψ :]−1, 1[l→]−1, 1[l,

telle que :

 ψ est une application de Nash de degré fonctionnel deg∗_{(ψ) < C}np ;  ψ et fk_{◦ σ ◦ ψ sont C}r _{unitaires pour k = 0, ..., n − 1 ;}

 BF_{(x, n, )T Image(σ) ⊂ S} ψ∈ΨnImage(σ ◦ ψ);  ]Ψn≤ (D2C)np l |||σ||| l r rk sup k∈N  |||f_k|||2pl_r  [n/p] Y k=1 max(|||(f_kpp )_/B(fkp_x,)|||l/r₁ , 1).

avec C une constante dépendant uniquement de r, l, d et D une constante dépendant uniquement de (M, kk).

Preuve : Soit m ∈ N. Clairement la boule de Bowen d'ordre mp pour (fk)k∈N est incluse dans la

boule de Bowen d'ordre m pour (fp

kp)k∈N. On applique le théorème précédent à la suite (f p kp)k∈N

et on obtient ainsi un reparamétrage Ψp

m de la boule de Bowen d'ordre m pour (f_kpp )k∈N. De plus

quitte à composer les reparamétrisations ψ ∈ Ψp

m par des homothéties de rapport (sup k∈N

|||fk|||r)−p,

les applications fk _{◦ σ ◦ ψ sont C}r _{unitaires pour tout entier k < mp. Ceci conclut la preuve du}

théorème pour les entiers n multiples de p. On en déduit facilement le cas général en remarquant que BF_{(x, n, ) ⊂ B}F_(x,hn

p

i

p, ). 

4.2 Entropie de queue des applications C

r

Soit M une variété compacte de dimension d et T : M → M une application de classe C1_{. Pour}

alléger les notations dénies p. 104, pour tout entier n et tout x ∈ M, on note kDxTnk := |||DxTn|||xla

norme subordonnée à kkxet kkTn_x. On écrit aussi kDTnk_∞= |||Tn|||₁ = sup_x∈MkD_xTnk. Rappelons que si ν est une mesure ergodique, la fonction x 7→ lim

n→+∞

1

nlog kDxT

n_{k est presque partout égale}

à lim

n→+∞

R

x∈Mlog kDxT

n_kdν(x)

4.2. Entropie de queue des applications Cr

cette dernière quantité est aussi égale à inf

n∈N

R

x∈Mlog kDxTnkdν(x)

n . C'est l'exposant de Lyapounov maximal χ(ν) de ν. On note χ+= max(χ, 0) et log+ = max(log, 0). La fonction χ+est ainsi dénie

sur l'ensemble Me(M, T )des mesures ergodiques T invariante. Rappelons que le prolongement ane

d'une fonction dénie sur l'ensemble extrémal d'un simplexe de Choquet a été déni p. 40. Proposition 4.2.1 Le prolongement ane χaf f

+ de χ+ est une fonction harmonique s.c.s. sur

M(M, T ). Pour tout µ ∈ M(M, T ), on a : χaf f₊ (µ) = inf n∈N R x∈Mlog+kDxTnkdµ(x) n

Preuve : Si ν est une mesure ergodique, χ+(ν) coïncide avec la limite ν presque sûre de

lim

n→+∞

1

nlog+kDxT

n_{k, qui toujours d'après le théorème ergodique sous additif est égale à}

inf n∈N R x∈Mlog+kDxTnkdν(x) n =n→+∞lim R x∈Mlog+kDxTnkdν(x) n Pour tout entier n, la fonction fn: M(M, T ) → R dénie par fn(µ) =

R

x∈Mlog+kDxTnkdµ(x)

n

pour tout µ ∈ M(M, T ) est continue et ane ; elle est donc aussi harmonique. Remarquons aussi que pour tout µ ∈ M(M, T ), la suite (fn(µ))n∈N est sous-additive.

Soit µ ∈ M(M, T ), on note Mµ la décomposition ergodique de µ, c'est à dire l'unique mesure de

probabilité borélienne supportée par les mesures ergodiques ayant µ pour barycentre (Dénition p. 39). On a : χaf f₊ (µ) := Z Me(M,T ) χ+(ν) dMµ(ν) χaf f₊ (µ) = Z Me(M,T ) lim n→+∞fn(ν) dMµ(ν)

Clairement fn(ν) ≤ log+kDT k∞ pour tout ν ∈ M(M, T ). On obtient donc par convergence

dominée : χaf f₊ (µ) = lim n→+∞ Z Me(M,T ) fn(ν) dMµ(ν)

puis par harmonicité de fn :

χaf f₊ (µ) = lim

n→+∞fn(µ)

Enn par sous-additivité de la suite (fn(µ))n∈N, la limite ci dessus est aussi un inmum :

χaf f₊ (µ) = inf

n∈Nfn(µ)

La fonction χaf f

+ est donc s.c.s. comme inmum de fonctions continues. Elle est aussi ane par

construction. Or les fonctions anes s.c.s. sont harmoniques. 

Dans le cas d'une application f : [0, 1] → [0, 1], T. Downarowicz et A. Maass utilisent un argument plus sophistiqué pour montrer la semi-continuité supérieure de χ+. En eet, dans ce cas, l'exposant

d'une mesure ergodique µ vérie χ(µ) = R log |f0_{|dµ. La fonction ψ}

+(µ) = max(R log |f0|dµ, 0)est

une fonction convexe s.c.s. dénie sur tout M([0, 1], f). En appliquant la Proposition 1.4.5, on ob- tient que l'extension harmonique de ψ+ /Me([0,1],f ) qui n'est rien d'autre que χ

af f

4.2. Entropie de queue des applications Cr

Théorème 4.2.2 Avec les notations précédentes, on a pour tout µ ∈ M(M, T ) : u(µ) ≤ dχ

af f + (µ)

r

Preuve : Soit α > 0 et µ ∈ M(M, T ). Considérons un entier p tel que χaf f + (µ) ≥ R Mlog+kDx(Tp)kdµ(x) p − α d et log(D2C)

p < α, où D et C sont les constantes dans le théorème 4.1.6.

On travaille avec l'entropie à la Misiurewicz (Dénition p.70). D'après le Théorème 4.1.6 appliqué à la suite constante égale à T et à un atlas ni Σ de M constitué d'applications σ :] − 1, 1[d_{→ M de}

classe Cr _{avec |||σ|||}

r< +∞, il existe 0 > 0, tel que pour tout 0 >  > δ > 0et pour tout x ∈ M :

h(δ|x, ) ≤ d rlim supn→+∞ 1 n [n/p] X i=1 log+ sup y∈B(Tip_x,) kDyTpk ! +log(D 2_C) p

En eet, avec les notations du Théorème 4.1.6, si Eδ ⊂]0, 1[d est le réseau de taille 1_δ, i.e.

l'ensemble des points de ]0, 1[d_{de la forme} k

δ pour k ∈ N, alors

[

ψ∈Ψn

σ ◦ ψ(Eδ)est un ensemble (n, δ)

couvrant de B(x, n, ), car fk_{◦ σ ◦ ψest C}1 _{unitaire et donc contractante pour tout k = 0, ..., n − 1}

et tout ψ ∈ Ψn.

Si ν est une mesure ergodique pour Tp_{, le terme} d

rlim supn→+∞ p n [n/p] X i=1 log+ sup y∈B(Tip_x,) kDyTpk ! est égal pour ν presque tout x à d

r

R

Mg(x)dν(x)d'après le théorème ergodique avec

g(x) := log+ sup y∈B(x,)

kDyTpk

!

. On obtient donc pour ν presque tout x : h(δ|x, ) ≤ d R Mg(x)dν(x) pr + α Z M h(δ|x, )dν(x) ≤ d R Mg(x)dν(x) pr + α

Puis par harmonicité, on a pour tout ξ ∈ M(M, Tp_{) et donc pour tout ξ ∈ M(M, T ) :}

Z M h(δ|x, )dξ(x) ≤ d R Mg(x)dξ(x) pr + α

De plus l'inégalité ci-dessus étant vériée pour δ arbitrairement petit, on en déduit que hM is(ξ, ) ≤ d

R

Mg(x)dξ(x)

pr + α

Enn la fonction de M(M, T ) dans R dénie par ξ 7→ R_Mg(x)dξ(x)étant continue, on a :

 ^ hM is_{(., )}_{(µ) ≤} d R Mg(x)dµ(x) pr + α

Par convergence monotone, R_Mg(x)dµ(x) tend vers R log+kDx(Tp)kdµ(x), quand  tend vers 0.

D'après le choix de p, on obtient donc en passant à la limite : uM is

1 (µ) ≤ d χaf f+ (µ)

r + 2α. Ceci étant

vrai pour tout α > 0, on a nalement :

uM is₁ (µ) ≤ dχ

af f + (µ)

r

Rappelons enn que le candidat de Misiurewicz n'est pas en général une structure d'entropie (Exemple 2.7.3) mais qu'on a toutefois uM is

1 = u1= u(Théorème 2.7.9).

4.2. Entropie de queue des applications Cr

Question 4.2.3 Si µ est une mesure ergodique, notons χ1(µ) ≥ ...χd(µ)ses d exposants de Lyapou-

nov. On considère la somme

d

X

i=1

χi+ des exposants positifs. Peut-on alors remplacer le terme dχaf f+

par d X i=1 χi+ !af f

dans la proposition précédente, i.e. a-t-on u(µ) ≤  Pd i=1χi+ af f (µ) r ?

Soient M une variété compacte munie d'une structure riemannienne kk et T : M → M une fonc- tion de classe C1_{. La suite (log}

+kDTnk∞)n∈Nest clairement sous-additive. On note R(T ) := lim_n→+∞

1 nlog+kDT n_k ∞= inf n∈N 1 nlog+kDT n_k ∞≤ log+kDT k∞.

Remarquons que R(T ) est en fait indépendant de la structure riemannienne choisie. De plus, pour tout p ∈ N, on a R(Tp_{) = pR(T ). La quantité R(T ) est en fait reliée à l'exposant de Lyapounov des}

mesures ergodiques par le principe variationnel suivant : Lemme 4.2.4 Avec les notations ci-dessus,

R(T ) = sup

µ∈Me(M,T ) χ+(µ)

Preuve : Il est clair que sup

µ∈Me(M,T )

χ+(µ) ≤ R(T ). Montrons l'inégalité inverse. On peut supposer

que R(T ) > 0 et donc que R(T ) = lim

n→+∞

1

nlog kDT

n_k

∞. Fixons un entier p. Pour tout n ∈ N, on

choisit xp

n ∈ M, tel que kDxpnT

np_{k = kDT}np_k

∞. On considère les suites de mesures de probabilité

(µpn)n≥2et (νnp)n≥2dénies par µpn:= 1 n − 1 n−2 X k=0 δ_Tkp_(xp n)et ν p n:= 1 p p−1 X l=0 T∗lµp_n= 1 (n − 1)p (n−1)p−1 X k=0 δ_Tk_(xp n) pour tout entier n ≥ 2. Toute limite faible de (νp

n)n∈N est T -invariante. Pour p ∈ N et l ∈ [[0, p − 1]],

on a : Z M log kDyTpkd(T∗lµpn)(y) = 1 n − 1 n−2 X k=0 log kD_Tkp+l_(xp n)T p_k ≥ 1 n − 1log kDTl(xpn)T (n−1)p_k ≥ 1 n − 1  log kD_xp nT np_{k − log kD} xpnT l_{k − log kD} T(n−1)p+l_(xp n)T p−l_k ≥ 1 n − 1  log kDTnpk∞− 2 max l0_{∈[[0,p−1]]}log kDT l0_k ∞ 

Notons P(M) l'ensemble des mesures de probabilité de M muni de la topologie faible *. Quitte à extraire une sous-suite, on peut supposer que (µp

n)n∈N converge. Notons µp sa limite et soit

νp= 1 p

p−1

X

l=0

T∗lµp ∈ M(M, T ). La fonction fp: P(M ) → R qui à ξ ∈ P(M ) associe

R

Mlog+kDyTpkdξ(y)

étant continue, on obtient en passant à la limite quand n tend vers l'inni : 1 p Z M log₊kD_yTpkdνp(y) ≥ 1 p p−1 X l=0  lim n→+∞ 1 (n − 1)p  log kDTnpk∞− 2 max l0_{∈[[0,p−1]]}log kDT l0 k∞  ≥ R(T p₎ p = R(T )

4.2. Entropie de queue des applications Cr

La suite de fonctions (fp)p∈N est sous-additive. En particulier, la suite (fpp)p∈N converge simplement

vers inf

p∈N

fp

p. De plus si (pn)n∈N est une suite divergente d'entiers telle que pn divise pn+1 pour tout entier n, la suite (fpn

pn)n∈N est décroissante. Considérons une telle suite (pn)n∈N. D'après la Proposition 1.1.4 (4) appliquée à la suite de fonctions s.c.s. (fpn

pn )n∈N et d'après la Proposition 4.2.1, on a : sup µ∈M(M,T ) χaf f₊ (µ) = sup µ∈M(M,T ) lim n→+∞ 1 pn Z M log₊kD_yTpn_kdµ(y) = lim n→+∞_{µ∈M(M,T )}sup 1 pn Z M log kDyTpnkdµ(y) ≥ R(T ) La fonction χaf f

+ étant harmonique, on en déduit que :

sup

µ∈Me(M,T )

χ+(µ) ≥ R(T )

 Le théorème suivant dû à J. Buzzi [19] borne supérieurement l'entropie de queue des applications de classe Cr _:

Théorème 4.2.5 (Buzzi) Soit M une variété compacte de dimension d et soit T : M → M une application de classe Cr_{, alors}

h∗(T ) ≤ dR(T )

r (4.2)

On peut reprendre directement la preuve du Théorème précédent 4.2.2. Ici nous allons voir l'inégalité (4.2) comme une conséquence du Théorème 4.2.2 et du principe variationnel pour l'entropie de queue.

Preuve : D'après le principe variationnel pour l'entropie de queue (Théorème 2.8.1), on a sup

µ∈M(M,T )

u(µ) = h∗(T )

Puis d'après le théorème 4.2.2, on a pour toute mesure invariante µ : u(µ) ≤ dχ

af f + (µ)

r

On conclut nalement d'après le lemme 4.2.4 (on utilise uniquement l'inégalité triviale) que h∗(T ) ≤ dR(T )

r

 Corollaire 4.2.6 Soit M une variété C∞ _{compacte de dimension d et soit T : M → M une appli-}

cation de classe C∞_{, alors}

h∗(T ) = 0

En particulier d'après le théorème 2.8.3, l'entropie métrique h : M(M, T ) → R est une fonction s.c.s.

Dans le document Entropie et complexité locale des systèmes dynamiques différentiables (Page 108-113)