Entrelacement entre des opérateurs de Toeplitz 27

Toe-plitz

Définition 3.2. Soient A, B∈ B(H2) et X ∈ B(H2)\{0}. On dit que

A s’entrelace avec B, et on le note A ∝ B s’il existe un opérateur

28 3.1. OPÉRATEURS DE TOEPLITZ

X ∈ B(H2)\{0} tel que XA = BX.

Remarque 3.3. Soit λ∈ C. En remplaçant A par λB dans la défini-tion précédente, on retrouve la définidéfini-tion du spectre étendu de l’opéra-teur B. D’où l’intérêt de cette notion pour notre étude.

Dans [18] et [19], J. A. Deddens a étudié l’entrelacement entre deux opérateurs de Toeplitz bornés de symboles analytiques, et il a donné des résultats qui seront très utiles par la suite pour déterminer le spectre étendu de tels opérateurs.

Commençons par le lemme fondamental suivant.

Lemme 3.4. Soit Λ un sous-ensemble non-dénombrable de D. Alors

l’ensemble {kλ : λ ∈ Λ} engendre l’espace H2_.

Démonstration. Soit f ∈ H2, et supposons que f soit orthogonale à l’ensemble {kλ : λ ∈ Λ}. Alors, pour tout λ ∈ Λ

f(λ) =< f, kλ >= 0.

Or Λ est non-dénombrable, et f est analytique, donc f ≡ 0 d’après le principe des zéros isolés, ce qui achève la preuve.

Théorème 3.5. Soient ϕ, ψ ∈ H∞_{, et supposons que Im}(ϕ)  σ(Tψ).

Alors X = 0 est l’unique solution de l’équation XTψ = TϕX.

Démonstration. Posons N = Im(ϕ) ∩ (C\σ(Tψ)). On va alors distin-guer les deux cas suivants :

- N est un singleton, lorsque ϕ est constante.

- N est un ouvert non-vide, quand ϕ n’est pas constante.

Dans les deux cas, ϕ⁻¹(N) est un ensemble ouvert non-vide de D, et donc non-dénombrable. D’après le lemme précédent, {kλ : λ ∈

ϕ⁻¹(N)} engendre H2. Supposons dès à présent que X ∈ B(H2) vérifie

XT_ψ = TϕX. Alors, T_ψ^∗X^∗ = X∗_T∗

ϕ. On en déduit que pour tout λ∈ D T_ψ^∗X^∗k_λ = X∗_T∗

ϕk_λ = ϕ(λ)X∗_k λ.

Par conséquent, pour tout λ ∈ D, ou bien ϕ(λ) est une valeur propre

3.1. OPÉRATEURS DE TOEPLITZ 29

encore ϕ(λ) /∈ σ(T∗

ψ). On en conclut que si λ ∈ ϕ−1(N), ϕ(λ) ne peut pas être une valeur propre de T_ψ^∗. Ce qui implique que X^∗k_λ = 0 pour tout λ ∈ ϕ−1(N). D’après le lemme 3.4, X∗ = 0 de fait X = 0, ce qui achève la preuve du théorème.

Remarque 3.6. Rappelons que dans le cas général, si T ∈ B(H) σ_ext(T ) ⊂ {λ ∈ C, σ(T ) ∩ σ(λT ) = ∅}.

En posant ψ= λϕ dans le dernier théorème, et vu que σ(Tϕ) = Im(ϕ)

la fermeture de l’image de ϕ, on obtient l’inclusion suivante σ_ext(Tϕ) ⊂ {λ ∈ C, Im(ϕ) ⊂ λIm(ϕ)}.

Ainsi, dans le cas des opérateurs de Toeplitz analytiques bornés, on obtient un résultat sur les valeurs propres étendues, beaucoup plus fort que dans le cas général.

Corollaire 3.7. Soient ϕ ∈ H∞\{0} et |α| > 1. Alors X = 0 est l’unique solution de l’équation XT_ϕ = TαϕX. En particulier, σ_ext(S) ⊂ C\D.

Démonstration. Remarquons que Im(αϕ)  σ(Tϕ), le résultat découle alors immédiatement du théorème précédent.

La proposition suivante va nous fournir une condition suffisante pour que T_ψ s’entrelace avec T_ϕ. On aura d’abord besoin du lemme suivant, dû à J. Ryff. Pour la preuve on renvoie à [41].

Lemme 3.8. Soient f ∈ Hp et Φ : D → D une fonction analytique.

Alors f ◦ Φ ∈ Hp, et si λ:= Φ(0) = 0, on a f ◦ Φp ≤ 1 + |λ| 1 − |λ| _1/p fp.

Proposition 3.9. Soient ϕ, ψ ∈ H∞_{. Supposons que ψ soit injective,}

30 3.1. OPÉRATEURS DE TOEPLITZ

Démonstration. Par hypothèses, la fonction F(z) = ψ−1(ϕ(z)) est une fonction analytique deD dans D. Définissons alors l’opérateur Xf(z) =

f(F (z)). Alors clairement X = 0, et d’après le lemme précédent X ∈

B(H2). De plus, pour tout f ∈ H2, on a

XT_ψf(z) = X(ψf) = (ψ ◦ F )Xf = TϕXf.

D’où le résultat.

Cette dernière proposition, avec le corollaire 3.7 nous permettent d’obtenir le corollaire suivant.

Corollaire 3.10. On a T_λz ∝ Tz si et seulement si |λ| ≥ 1. En parti-culier, σ_ext(S) = C\D.

Remarque 3.11. Dans [19], J. A. Deddens a montré que la réciproque

de la proposition 3.9 reste valable. En particulier, il a montré que si ψ est injective, alors T_ψ ∝ Tϕ si et seulement si Im(ϕ) ⊂ Im(ψ). Ainsi,

on obtient le spectre étendu d’un opérateur de Toeplitz de symbole ϕ analytique borné et injectif. En effet, on a

σ_ext(Tϕ) = {λ ∈ C, Im(ϕ) ⊂ λIm(ϕ)}.

Une formule qui donne directement le dernier corollaire.

Dans [5] A. Biswas et S. Petrovic ont traité le problème des sous espace propres étendus de l’opérateur shift S. En particulier, ils ont décrit de manière complète, l’ensemble E_ext(λ) pour chaque |λ| ≥ 1.

3.1.2 Spectre étendu du Shift

Dans ce paragraphe, on donne la description complète des sous-espaces propres étendus de l’opérateur shift unilatéral S, défini sur l’espace de Hardy H². On aura d’abord besoin de la proposition sui-vante (cf. [5]).

Proposition 3.12. Soient λ ∈ C\D, φ ∈ H2_{, et définissons sur}

H² l’opérateur de composition à poids X_φ,λg(z) := φ(z)g(z/λ), i.e.,

3.1. OPÉRATEURS DE TOEPLITZ 31

1. Si λ∈ T alors Xφ,λ est borné si et seulement si φ∈ H∞_.

2. Si λ /∈ T alors Xφ,λ est borné pour tout φ.

Démonstration. 1. Puisque |λ| = 1, l’opérateur C1/λ est donc unitaire sur H². En multipliant alors par M_φ, on obtient un opérateur borné si et seulement si φ∈ H∞.

2. Considérons le polynôme g(z) = N

n=0a_nzn. Par calcul simple on montre que SX_φ,λg = λXφ,λSg, d’où :

X_φ,λg = Xφ,λ N  n=0 a_nSⁿ1= N  n=0 a_n λnSⁿX_φ,λ1= N  n=0 a_n λnSⁿφ. Ainsi Xφ,λg ≤ N  n=0 |an| |λ|nSnφ ≤ φ  _N  n=0 1 |λ|2n 1/2 _N  n=0 |an|2 1/2 ,

Par conséquent, si |λ| > 1 et φ ∈ H2 alors X_φ,λ est borné avec

Xφ,λ ≤ φ |λ|2 |λ|2− 1 _1/2 .

Cette proposition nous permet de décrire exactement les vecteurs propres étendus de S, par le théorème suivant.

Théorème 3.13. Soit |λ| ≥ 1. Alors l’opérateur X ∈ B(H2) vérifie

SX = λXS si et seulement s’il existe une fonction φ de H2 _{(de H}∞

lorsque |λ| = 1) telle que X = X_φ,λ.

Démonstration. Soit |λ| ≥ 1, on vérifie alors facilement que Xφ,λ est, pour tout φ de H² (de H^∞ lorsque |λ| = 1) une solution de l’équation SX = λXS, appartenant à B(H2). Montrons alors la réciproque. Sup-posons que X ∈ B(H2) vérifie l’équation SX = λXS. Cela implique que

32 3.1. OPÉRATEURS DE TOEPLITZ

Cette dernière relation signifie que

SⁿXf = λnXSⁿf, ∀f ∈ H2 _et ∀n ∈ N. En particulier, si f = 1, on obtient Xzⁿ= (^z λ)nX1, ∀n ∈ N, ce qui implique Xp(z) = p(^z λ)X1, ∀p ∈ C[X].

Comme l’ensemble des polynômes définis sur D est dense dans H2, en posant X1= φ on obtient

Xf(z) = φ(z)f(^z

λ), ∀f ∈ H2_.

On en déduit que X = Xφ,λ avec φ ∈ H∞ si |λ| = 1, d’après la

proposition précédente. Ainsi, le théorème est prouvé.

Remarque 3.14. En revenant à l’entrelacement entre les opérateurs

de Toeplitz, P. S. Bourdon et J. H. Shapiro ont déterminé dans [6] l’opérateur d’entrelacement entre T_ψ et T_ϕ dans le cas où ψ est une fonction injective de H^∞. Plus précisément, ils ont montré la proposi-tion suivante.

Proposition 3.15. Soit ψ ∈ H∞ _{une fonction injective, et supposons}

que l’opérateur X entrelace T_ψ avec T_ϕ. Alors X est un opérateur de composition à poids.

Pour la preuve on renvoie à [6, Corollaire 4.3].

Remarque 3.16. Notons que la proposition 3.12 est un cas particulier

de la dernière proposition. En revanche, le cas général où la fonction ψ n’est pas injective, est loin d’être réglé. Dans [6], les auteurs consi-dèrent la fonction ϕ(z) = z2+ z, et ils déterminent le spectre étendu