Attracteurs. Un autre point de vue pour étudier la dynamique des SDD est celui des attracteurs,i.e.
les ensembles qui attirent les orbites des points.
1.10. ENSEMBLES LIMITES 29 – L’ensemble limited’un sous-espaceX′⊂X est ΩF(X′) =T
j∈◆OF(Fj(X′)). – Un attracteurest l’ensemble limite d’un ensemblerentrant.
– Un point z∈X est attractif si le singleton{z}est unattracteur.
– Un quasi-attracteurest une intersection d’attracteurs qui n’en est pas un.
En tant qu’intersections de fermés emboîtés, les ensembles limites de fermés non vides sont des fermés non vides. Si X′ est un ferméF-invariant, la définition se simplifie enΩF(X′) =T
j∈◆Fj(X′).
Hurley a été le premier à proposer, dans [35], une classification des automates cellulaires basée sur la structure de l’ensemble des attracteurs (cf section 4.7). Celle-ci a été raffinée par Kůrka dans [43] et généralisée aux SDD, les séparant en cinq grandes classes, basées sur le fait qu’une union de deux attracteurs en est un et qu’une intersection non vide de deux attracteurs en contient un.
La terminologie d’«attracteur» vient de ce qu’ils attirent vers eux les points de leur voisinage ; on a ainsi une caractérisation métrique.
Proposition 1.10.2 ([67]). Soit (X, F)un SDD et Y ⊆X. AlorsY est un attracteur si et seulement s’il est non vide, fermé,F-invariant et pour toutε >0, il existeδ >0 tel que pour tout pointx∈X avec
❞(x, Y)< δ, on alimj→∞❞(Fj(x), Y) = 0et pour toute génération j∈◆,❞(Fj(x), Y)< ε.
La notion d’attracteur est fortement liée à la chaîne-transitivité.
Proposition 1.10.3 ([67]).
– Unattracteurest minimalsi et seulement s’il est chaîne-transitif.
– Les SDD surjectifssont chaîne-transitifsou admettent deux attracteursdisjoints. Remarque 1.10.4. Bien sûr, unattracteur est son propreensemble limite.
ΩF(X′) = ΩF(Fj(X′))pourj∈◆
= ΩF(ΩF(X′)).
Ensemble limite.
Définition 1.10.5 (Ensemble limite).
– L’ensemble limite du SDD (X, F) est l’attracteur maximal ΩF = ΩF(X) = T
j∈◆Fj(X); le
système limite est le sous-systèmeF|Ω induit.
– (X, F)eststables’il existe une générationj∈◆telle queFj(X) = ΩF. – (X, F)estz-limite-nilpotent, avecz∈X, siΩF est réduit au singleton{z}. – (X, F)estp-limite-périodique, avecp∈◆∗, si F|Ω estp-périodique.
Notons que F|Ω est unsous-système surjectif et queΩF(X) =X si et seulement si F est surjectif. Le système limite représente donc le plus grand sous-système surjectif deX.
C’est également le plus petit ensemble Y ⊂X tel quemaxx∈X❞(Fj(x), Y)−−−→
j→∞ 0. Tout voisinage de l’attracteur est donc atteint en temps fini.
Grâce à la proposition 1.10.3, on peut caractériser les systèmes dont l’ensemble limite est l’unique attracteur.
Fait 1.10.6.
– Un SDD (X, F)admet un unique attracteurX= ΩF plein si et seulement s’il est chaîne-transitif. – Il admet un uniqueattracteurΩF si et seulement s’il estlimite-chaîne-transitif, i.e. sonsystème
limiteF|Ω estchaîne-transitif.
Nilpotence limite. La nilpotence limite n’est pas toujours équivalente à la nilpotence, mais représente néanmoins une très grande stabilité.
Proposition 1.10.7. Tout SDDlimite-nilpotent estéquicontinu.
Preuve. Soit (X, F) un SDDz-limite-nilpotent, avec z ∈ X, et ε > 0. Il existe une génération J ∈ ◆
telle que ∀j ≥ J,maxx∈X❞(Fj(x), z) < ε
2. Ainsi, pour tout point x ∈ X et tout point y de l’ouvert T
0≤j<JF−j(Bε(Fj(x))), on a par construction ❞(Fj(x), Fj(y))< ε pour j < J et ❞(Fj(x), Fj(y))<
ε
2+ε
2. Il résulte donc quexestε-stable.
Remarque 1.10.8. Bien sûr, si un SDD(X, F)estnilpotent (resp.prépériodique), alors toutsous-système
(Fj(X), F)l’est également, pourj∈◆, etF estlimite-nilpotent (resp.limite-périodique).
Ensemble asymptotique.
Définition 1.10.9(Ensemble asymptotique). L’ensemble asymptotique(appelé ensemble ultime
dans [68, 51]) d’un ensembleX′ ⊂X est l’ensemble ωF(X′) =S
x∈X′ΩF({x})des valeurs d’adhérence
d’orbites. On utilisera, là aussi, le raccourciωF =ωF(X).
Pour X′ 6=∅, ωF(X′) n’est jamais vide, comme union de fermés non vides ; il estF-invariant, mais pas toujours fermé. On peut caractériserωF comme union de tous lessous-systèmes minimauxde(X, F). La définition nous donneωF(X′)⊂ΩF(X′).
Remarque 1.10.10. Les ensembles asymptotiques d’un SDD F et de son système limite sont égaux :
ωF(ΩF) =ωF.
Comme l’ensemble limite, l’ensemble asymptotique peut être caractérisé métriquement : c’est le plus petit ensembleY ⊂X tel que pour toutx∈X,❞(Fj(x), Y)−−−→
j→∞ 0.
Fait 1.10.11. Si (X, F) est un SDD, alors pour tout voisinage U deωF et tout point x∈X, il existe une générationJ ∈◆telle que l’orbite est aspirée : ∀j≥J, Fj(x)∈U.
On peut voir facilement que l’ensemble asymptotique contient tous les points périodiques, dont les points de l’orbite sont tous des valeurs d’adhérence. La proposition suivante va même plus loin.
Proposition 1.10.12. x est un pointrécurrent du SDD F si et seulement si x est valeur d’adhérence
de sa propre orbiteOF(x). Preuve.
– Soitxun point récurrent deF,i.e.il existe une suite(kj)j∈◆∈◆∗◆de générations telles que pour tout j ∈ ◆, ❞(Fkj(x), x) ≤ 1
j, de telle sorte que la suite (Fkj(x))j∈◆ tend versx. Si cette suite est bornée parJ ∈◆, alors(Fkj(x))j<J est un compact et contient donc x, qui est alors un point périodique. Sinon, on peut en extraire une sous-suite croissante et on obtient le résultat.
– La réciproque est immédiate.
L’ensemble asymptotique contient donc tous les points récurrents, mais peut éventuellement en conte-nir d’autres. En revanche, ils sont tous autotransitifs.
Proposition 1.10.13. Tout point de l’ensemble asymptotiqued’un SDD estautotransitif.
Preuve. Soit (X, F) un SDD, ε > 0 et x ∈ ωF, i.e. il existe un point y ∈ X dont l’orbite admet x
comme valeur d’adhérence ; en particulier elle passe une infinité de fois dans la boule Bε(x). On a bien Bε(x)99KBε(x).
En particulier, on note que l’ensemble des points autotransitifs contient la clôture de l’ensemble asymptotique.
On déduit de la proposition 1.6.10 une caractérisation de l’autotransitivité.
Corollaire 1.10.14. Un SDD (X, F)estautotransitifsi et seulement si sonensemble asymptotique ωF
1.10. ENSEMBLES LIMITES 31
Nilpotence et périodicité asymptotiques. L’ensemble asymptotique est un objet qui représente ce vers quoi tendent les orbites à l’infini. Les orbites vont donc avoir tendance à ressembler de plus en plus à celles des points asymptotiques. À ce titre, il peut s’avérer pertinent de s’intéresser à son comportement vis-à-vis du système.
Définition 1.10.15 (SDD asymptotiquement nilpotent).
– Un SDD (X, F) estasymptotiquement z-nilpotentsi tous ses points convergent vers la même limite z∈X,i.e.ωF ={z}.
– Un SDD (X, F) est asymptotiquement p-périodique, avec p ∈ ◆∗, si F|ωF est une fonction
p-périodique.
Remarque 1.10.16. Tout comme pour laz-nilpotence, laz-nilpotence asymptotique impose àzd’être un point fixe deF, puisqueωF est F-invariant ; en particulier,F estasymptotiquement périodique.
La nilpotence asymptotique est une propriété très particulière : chaque orbite converge vers le même point et l’on peut borner le temps qu’elle met pour s’en rapprocher à une distance donnée.
Proposition 1.10.17. Si(X, F)est un SDDasymptotiquementz-nilpotent, avecz∈X, etε >0, alors il existe une générationJ ∈◆telle que pour tout point x∈X,∃j < J,❞(Fj(x), z)< ε.
Preuve. Cela découle directement du fait 1.5.2, puisqueBε(z)est un ouvert mortel.
On peut donc déduire de la caractérisation métrique des attracteurs le corollaire suivant.
Corollaire 1.10.18. Si (X, F) est un SDD asymptotiquementz-nilpotent, avec z∈X attractif, alors
ΩF ={z}.
Bien sûr, les SDD faiblement nilpotents sont asymptotiquement nilpotents; la réciproque est fausse. Un exemple simple est la division par2 sur l’intervalle[0,1]. En revanche, les SDD asymptotiquement nilpotents ne peuvent pas non plus présenter de grande instabilité, comme nous le montre la proposition suivante.
Proposition 1.10.19. Un SDDasymptotiquement nilpotentn’est pas sensible.
Preuve. Soit(X, F)un SDD asymptotiquementz-nilpotent, avecz∈X etε >0. Par définition, l’espace
X, d’intérieur non vide, peut s’écrire sous forme d’une union S
J∈◆Tj>JF−j(B2ε(z)) de fermés. Par le théorème de Baire, il existe une génération J ∈ ◆ telle que le fermé T
j>JF−j(B2ε(z))contient un ouvert U. Soit x∈ X. L’intersection finie U ∩T
j≤JF−j(Bε(Fj(x))) est alors un ouvert contenant x; par conséquent, elle contient une boule ouverte Bδ(x), avec δ > 0. Pour tout point y ∈ Bδ(x) et toute génération j ≤J, on a bien par construction ❞(Fj(x), Fj(y))≤ε; pour toute génération j > J, on a l’inégalité triangulaire❞(Fj(x), Fj(y))≤❞(Fj(x), z) +❞(z, Fj(y))≤ε. On en déduit que le pointxest
ε-stable.
Ensembles limites et simulation. Les attracteurs et l’ensemble asymptotique sont très robustes : ils sont préservés par itération (donc passage à la racine) et par factorisation.
Proposition 1.10.20. SoitΦ :X →Y une simulation complètepar un SDD (X, F)d’un autre(Y, G). AlorsΦ(ΩF(X)) = ΩG(Y)etΦ(ωF(X)) =ωG(Y).
Preuve. Supposons queΦest une factorisation. – Pour toutj∈◆,ΦFj(X) =Gj(Y), doncΦ(T
j∈◆Fj(X)) =T
j∈◆Gj(Y)car c’est une intersection décroissante ; doncΦ(ΩF) = ΩG.
– Soit x ∈ ωG, i.e. x est la limite d’une suite (GkjΦ(y))j∈◆ où (kj)j∈◆ est une suite d’entiers croissante. Alors (Fkj(y))j∈◆ admet une valeur d’adhérence z, qui a pour image Φ(z) =x. Donc
Montrons maintenant que tout SDD Fk a les mêmes ensembles limite et asymptotique que F, pour
k∈◆∗, ce qui achèvera la preuve.
– Clairement, par décroissance de la suite, on aΩFk= ΩF etωFk⊂ωF.
– Soitx∈ωF,i.e.xest la limite d’une suite(Fkj(y))j∈◆où(kj)j∈◆est une suite d’entiers croissante. Il existe un entierr < ktel queJ={j∈◆|kjmodk=r}est infini. On voit alors que(Fkj−r(y)j∈J
est une sous-suite de l’orbite deFr(y)parFk qui axpour valeur d’adhérence. Doncx∈ωFk. Les ensembles limite et asymptotique d’un sous-système sont contenus dans les ensembles limite et asymptotique du système global. En particulier, tout comme la nilpotence et la périodicité, lesnilpotences
etpériodicités limites etasymptotiques se transmettent par simulation.