As relações e funções não podem ser definidas na teoria de quase- conjuntos do mesmo modo como são feitas na matemática padrão. Isto por- que se tivermos tratando com m-átomos, devido à falta de identidade para tais objetos nos conjuntos domínio e imagem, a função acaba por não poder distinguir entre argumentos e valores. Além disso, devido a essa falta de iden- tidade e diferença para tais elementos em Q, relações de ordem não podem ser adequadamente definidos sobre um qset que tem m-átomos indistinguíveis como elementos. Isso será de suma importância para nós no futuro (quando
estivermos tratando de estruturas rígidas), mas por hora nos ateremos apenas às definições que é o objetivo do presente capítulo. Abaixo, trabalharemos apenas com relações binárias, apesar de que as definições podem ser genera- lizadas para relações de qualquer aridade.
Definição: Um q set w é uma quase-relação (iremos chamar
simplesmente de relação quando não houver possibilidade de confu- são) entre x e y se satisfaz o seguinte predicado:
R(w) =d f Q(w) ∧ ∀z(z ∈ w → ∃u∃v(u ∈ x ∧ v ∈ y ∧ z =Ehu, vi)). Como se sabe, relações são importantes para se caracterizar os atributos de elementos de certas coleções de objetos. Na teoria de conjuntos padrão, são importantes as ordens parciais (que são reflexivas, anti-simétricas e transiti- vas) e as ordens totais ou lineares (se, além disso, a relação for conectada). Tais relações, todavia, não podem ser definidas sobre um qset nos quais os elementos são m-átomos indistinguíveis devido à falta da noção de identi- dade (de modo que, assim, não podemos falar que u e v são distintos e que estão em alguma ordem linear, por exemplo). Não obstante, ainda podemos definir uma relação de ordem estrita parcial e de ordem estrita total. No pri- meiro caso, tal relação é uma relação binária S sobre um conjunto A tal que S é irreflexiva (isto é, ∀x¬(xSx)) e transitiva. No segundo caso, quando é uma relação irreflexiva, transitiva e conectada.
Quando consideramos conjuntos clássicos podemos sempre (no mí- nimo, em princípio) rotular qualquer elemento por associar sua classe unitária a ele: por exemplo, associar {x} com x. Em teorias extensionais onde vale a identidade, esta classe unitária pode ser vista como uma ‘propriedade’ de x somente. Desta forma, em ZF, todos os objetos podem ser distinguidos um dos outros (entre outros motivos) porque sempre existe um conjunto no qual apenas um objeto pertence: a saber, a sua correspondente classe unitária. É neste sentido que na teoria clássica de conjuntos, tomada a partir da Lei de Leibniz, os elementos de um conjunto são em certo sentido ‘indivíduos’ bem definidos: como podemos sempre tomar a classe unitária de um elemento (que é a classe a qual só ele pertence), podemos sempre ter um indivíduo bem estabelecido por identificá-lo com essa classe. Além disso, como vimos num exemplo dado no capítulo 2, tal classe unitária também pode ser usada no intuito de rigidificarmos uma estrutura que não se mostre rígida e, assim, novamente apontarmos o ‘elemento-indivíduo’. Em resumo, de um modo ou de outro, sempre nos comprometemos com a individualidade em ZF. Todavia, em Q, se x for um m-átomo isso não pode ser afirmado: a partir da axiomática de Q, não se pode provar que em uma ‘classe unitária forte’ de [x] (isto é, no
subqset que tem quase-cardinal 1) esteja o indivíduo (ressalta-se: indivíduo) xem particular. Novamente, tais características serão importantes a partir do próximo capítulo, exatamente por serem úteis para mostrar que na teoria de quase-conjuntos não podemos ter estruturas rígidas e, assim, paralelo ao que foi discutido no capítulo 2, não podemos identificar os m-átomos de forma alguma (o que mostrará que esta teoria conjuntista alternativa é realmente eficiente para alicerçar a teoria quântica, nos moldes discutidos no capítulo anterior).
Outrossim, quando dizemos que hu, vi ∈ w, devemos lembrar que pela definição de par ordenado dada acima, isso significa [[u], [u, v]]. Todavia, desde que u ≡ v, este par é indistinguível (a partir do “Axioma da Exten- sionalidade Fraca” a ser apresentado abaixo) de [[v], [v, u]], o qual é o ‘par ordenado’ hv, ui. Além do mais, este qset é também indistinguível de [[u]], isto é, do par hu, ui. A teoria não implica que hv, ui (ou hu, ui) também per- tençam a w, mas o que importa é que a relação w é indistinguível das relações w0e w00as quais têm esses pares como elementos. Isso significa que qualquer ordem estrita total w sobre um qset x de m-átomos indistinguíveis, tal que hu, vi ∈ w, é confundida na teoria com qualquer outra w0, tal que hv, ui ∈ w0 (o mesmo acontece para w00). Assim, como afirmado, nenhuma ordem podem fazer sentido para os m-átomos de Q, já que a teoria não pode distinguir uma ordem definida em uma direção de qualquer outra que tem seus elementos em ordem ‘reversa’. No próximo capítulo isto também nos será importante, e falaremos mais sobre tal característica dos m-átomos.
Definição: [Quase-funções] Se x e y são qsets, e R é um
predicado para ‘relação’ definida acima, dizemos que f é uma quase- função (q-função) com domínio x e contra-domínio y se satisfaz o se- guinte predicado:
QF( f ) =d fR( f ) ∧ ∀u(u ∈ x → ∃v(v ∈ y ∧ hu, vi ∈ f ))∧
∀u∀u0∀v∀v0(hu, vi ∈ f ∧u0, v0 ∈ f ∧ u ≡ u0→ v ≡ v0). Podemos a partir disso definir quase-funções ‘tipo’ q-injetoras e q-sobrejetoras, de modo a assim também podermos definir funções q-bijetivas. Além disso, pode-se provar um teorema, como já aludido acima, no qual se mostra que nem relações de ordem totais e nem parciais podem ser definidas sobre um qset puro nos quais seus elementos são indistinguíveis uns dos outros (FRENCH e KRAUSE, 2006, p. 284). No próximo capítulo, exploraremos mais esse ponto quando estivermos tratando da questão de similaridade, isomorfismos e automorfismos entre estruturas quase-conjuntistas.