O método de ajustamento mais utilizado para estimar os parâmetros de um modelo de regressão logística é o método da Máxima Verosimilhança. Este método estima os coeficientes de regressão que maximizam a probabilidade de encontrar as realizações da variável dependente da amostra. Como a variável tem uma distribuição de Bernoulli,
As observações são independentes. Logo, a função distribuição de probabilidade conjunta de será:
, com . Então a função de verosimilhança será dada por:
O princípio da máxima verosimilhança consiste em estimar o valor de β que maximiza a função de verosimilhança. A aplicação do logaritmo natural ajuda no processo de manipulação algébrica.
donde podemos obter (#) O valor de que maximiza é encontrado após derivar-se em relação aos parâmetros .
Igualando as equações das funções derivadas, em relação aos parâmetros a zero obtemos
e que são equações não lineares nos parâmetros e requerem o emprego de processo interativo na sua solução.
Odds ratio
O odds é a medida de ocorrência que substitui a proporção quando esta não é aplicável. O odds ratio (or), é uma medida de efeito que compara a probabilidade de determinada condição ocorrer entre grupos. Dados dois grupos distintos pela presença/ausência de uma determinada caraterística ( e ), a ocorrência de uma determinada condição comparada pela razão das probabilidades em contra as probabilidades em e designando por a presença da condição e a ausência, o or é dado por
ou
Tratando-se de uma medida contínua independente segue um modelo logístico, onde
Onde: é uma constante
coeficiente da iésima variável independente valor da iésima variável independente indica mudança de um atributo Assim para uma variação de atributo ∆ temos:
Ou seja, o or é a exponencial do produto do coeficiente de regressão pela variação da variável independente.
Na área da saúde (campo do nosso estudo) o or, como definida anteriormente permite-nos relacionar a ocorrência de um evento entre indivíduos expostos ( ) e não expostos ( ) a determinado fator de risco.
O intervalo de confiança para o or de é obtido calculando o intervalo de confiança de e aplicando a exponencial.
Tem-se: , onde é o erro padrão de .
Inferência
Após estimar os coeficientes de regressão, a significância da variável é o primeiro aspeto a observar antes de progredir com a análise. Tal envolve testes de hipóteses para saber se a variável é ou não significativamente correlacionada com a saída. Na regressão logística, a comparação dos valores observados com os preditos é baseada na função logaritmo da verosimilhança, apresentada na equação (#).
Segundo Hosmer e Lemeshow (1989), a estatística é chamada deviance, e desempenha um papel fundamental em algumas aproximações para verificar o bom ajuste.
Seja (Verosimilhança do modelo ajustado)
A comparação da estatística deviance do modelo com e sem variável conduz-nos a
No caso da regressão logística simples, a verosimilhança do modelo pode ser testada se a inclusão de uma variável independente melhoraria o ajuste do modelo sem a variável, ou seja, se o modelo apenas com a interseção descreveria melhor o comportamento dos dados observados. Isso pode ser encarado como fazer , a estatística segue uma distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade.
E segundo Maroco (2007) a estatística do teste G2 para testar a significância do modelo é dada por:
Onde: é o modelo nulo ou reduzido
é o modelo completo
Assim o valor de G2, obtém-se a partir do rácio das verosimilhanças de dois modelos e é uma medida de incremento da qualidade do modelo nulo por adição das variáveis independentes. Logo o modelo completo é estatisticamente significativo apenas quando a adição de uma ou mais variáveis independentes ao modelo, reduz significativamente o valor de -2LL.
È de realçar que concluir que o modelo completo é significativo, permite apenas afirmar que pelo menos uma variável independente incluída no modelo influencia significativamente a variável dependente como ajustado pelo modelo.
Também podemos recorrer à formulação de um teste de hipóteses que permita afirmar se uma variável é ou não significante no modelo de regressão, além de permitir calcular o p- valor de tal variável.
O teste de Wald, compara o valor de obtido da estimação de máxima verosimilhança e o seu erro padrão ( ).
Sob a hipótese de que , segue a distribuição normal padrão.
Já o teste de Score tem como principal vantagem o uso de pequeno esforço computacional no seu cálculo. Este teste é baseado na teoria da distribuição das derivadas do log da máxima verosimilhança.
O teste de Score é dado por :
Sob a hipótese de que , a estatística Score tem distribuição normal padrão.
As estimativas do modelo de regressão logística são estimativas de máxima verosimilhança que se determinam através de um processo iterativo. Elas não são calculadas para minimizar a variância, logo as técnicas utilizadas para avaliar a qualidade do ajuste não se aplicam.
Quadro síntese dos pseudo-r2
Pseudo-R2 Fórmula Descrição
Pseudo-R2 de McFadden
Mcompleto = Modelo com preditores
Minterc.= Modelo sem preditores
A verosimilhança do modelo de interceção é tratada como uma soma total de quadrados, e a verosimilhança do modelo completo é a soma dos erros quadrados.
A razão das probabilidades sugere o nível de melhoria em relação ao modelo de interceção oferecida pelo modelo completo.
A probabilidade de se situar entre 0 e 1, de modo que o log da probabilidade é menor do que ou igual a zero. Se um modelo tem uma probabilidade muito baixa, então o log da probabilidade terá uma magnitude maior do que o log de um modelo mais provável. Assim uma pequena proporção das probabilidades de log indica que o modelo é um ajuste completo muito melhor do que o modelo de interseção.
Se quisermos comparar dois modelos com os mesmos dados, o será maior para o modelo
com a maior probabilidade.
Pseudo-R2 de Cox& Snell
O rácio das probabilidades reflete a melhoria do modelo completo sobre o modelo de interceção (a uma menor proporção corresponde uma melhoria). Definindo L (M) como a probabilidade condicional da variável dependente dadas as variáveis independentes. Se houver N observações no conjunto de dados, então L(M) é o produto de N tais probabilidades. Assim, tomando a raiz índice n do produto L (M) obtemos uma estimativa da probabilidade de cada valor de Y. obtém-se
como uma transformação da -
2ln[L(MInterc.)/L(MCompleto)] da estatística que é
utilizada para determinar a convergência de uma regressão logística.
Note-se que tem um valor máximo que não é
1: se o modelo completo, prediz perfeitamente e tem uma probabilidade de 1, é então 1-
L(MInterc.) 2/N
, que é sempre menor que um.
Pseudo-R2 de Nagelkerke
Este pseudo-r2 ajusta o de modo que varie entre 0 e 1.
Para alcançar este objetivo, o é dividido pelo seu valor máximo, 1-L (Mnterc) 2 / N. Então, se o
modelo completo prediz perfeitamente e tem uma probabilidade de 1, = 1.
Se L(MCompleto) = 1, então = 1;