Exercice 52 : applications aux ellipsoïdes
5. Endomorphismes antisymétriques
5.1. Définitions, premiers résultats.
Définition : L’endomorphisme u est dit antisymétrique ou antiautoadjoint si u* = − u, i.e. si : ∀(x, y) ∈ E2 (x | u(y)) = − (u(x) | y) .
Proposition 1 : correspondance endomorphismes et matrices antisymétriques.
On a l’équivalence des trois propriétés : i) u est antisymétrique ;
ii) La matrice de u dans toute base orthonormée est antisymétrique ; iii) La matrice de u dans une base orthonormée est antisymétrique.
Proposition 2 : correspondance endomorphismes antisymétriques-formes bilinéaires antisymé-triques. Soit u ∈LLLL(E). On a l’équivalence :
i) u est antisymétrique ;
ii) Φu : (x, y) ∈ E2 → Φu(x, y) = (x | u(y)) est une forme bilinéaire antisymétrique (≡ alternée).
L’application u → Φu est un isomorphisme de l’espace vectoriel réel A(E) des endomor-phismes symétriques sur l’espace A2(E) des formes bilinéaires antisymétriques.
Propostion 3 : LLLL(E) = S(E) ⊕ A(E) , et dim A(E) = dim An(R) = 2
) 1 (n− n .
Exercice 1 : Soit u ∈ LLLL (E). Montrer que u est antisymétrique ssi : ∀x ∈ E (x | u(x)) = 0 . Géométriquement, cela signifie que u(x) est toujours orthogonal à x.
Exercice 2 : Soit u une application de E dans E telle que : ∀(x, y) ∈ E2 (x | u(y)) = − (u(x) | y) . Montrer que u est linéaire.
Exercice 3 : Montrer que A(E) est stable pour le crochet de Lie [ u, v ] = u o v − v o u.
C’est donc une algèbre (non associative) pour cette loi.
Exercice 4 : Soient u, v dans A(E). Montrer que u o v ∈ A(E) ⇔ v o u = − u o v.
5.2. Exemples.
− En dimension 1, la seule application antisymétrique est l’application nulle.
− En dimension 2, les applications antisymétriques sont les similitudes d’angle ±
π
2.− En dim 3, orientons E, munissons-le du produit vectoriel x∧y et du produit mixte [ x,y,z]. Proposition 4 : i) Pour tout vecteur
ω
, l’application u : x→ω
∧ x est antisymétrique ; Siω
≠ 0, son noyau est la droite D = R.ω
, son image le plan P = D⊥.ii) Réciproquement, toute application antisymétrique est de cette forme.
Exercice 5 : Montrer que, pour toute base orthonormée directe BBBB = (i, j,k), on a :
ω
=2
1
[
i ∧∧∧∧ u(i) + j ∧∧∧∧ u( j) + k ∧∧∧∧ u(k)]
.Exercice 6 : Montrer qu’avec les notations de l’ex 3, si u et u' sont antisymétriques de vecteurs
ω
etω
', alors [u, u'] est antisymétrique de vecteurω
∧∧∧∧ω
'.5.3. Dévissage des endomorphismes antisymétriques.
Théorème 5 : Si u est un endomorphisme antisymétrique, il existe une base orthonormée BBBB = (e1, ..., en) de E telle que Mat(u, BBBB) = diag(0, ..., 0, J1 , ..., Jr) , où Jk =
− 0 0
k k
a
a ( a
k ∈ R* ).
Corollaire : Si A est une matrice antisymétrique réelle, il existe une matrice orthogonale P, telle que : P−1.A.P = tP.A.P = diag(0, ..., 0, J1 , ..., Jr) , où Jk =
− 0 0
k k
a
a
( ak ∈ R* ).
Preuve : Elle repose sur deux lemmes déjà rencontrés, et sur une récurrence sur n.
Lemme 1 : Tout f ∈LLLL(E) admet une droite ou un plan stable.
Lemme 2 : L’orthogonal de tout sous-espace u-stable est u-stable.
Ce théorème est à la base de la géométrie symplectique, c’est-à-dire de l’étude des R-ev munis d’une forme bilinéaire alternée.
Exercice 7 : Soient E un espace euclidien, a et b deux vecteurs libres de E.
Etudier et réduire l’endomorphisme u(x) = (a | x) b – (b | x) a.
Exercice 8 : Réduire dans C et dans R la matrice A ∈ Mn(R) définie par : aii = 0 , aij = 1 si i > j , aij = −1 si j > i .
Exercice 9 : 1) Montrer que toute matrice antisymétrique réelle est de rang pair.
2) Montrer qu’une matrice antisymétrique d’ordre impair a un déterminant nul, et qu’une matrice antisymétrique d’ordre pair a pour déterminant 0 ou un carré du corps K.
3) Calculer le déterminant de la matrice antisymétrique générique d’ordre 4 ; qu’observe-t-on ? [ Ceci est le point de départ de la théorie du pfaffien.]
Exercice 10 : Soit E un espace euclidien. Caractériser les endomorphismes à la fois orthogonaux et antisymétriques de E.
Exercice 11 : Soient E un espace euclidien, f ∈ LLLL(E). Montrer que deux des trois propriétés entraînent la troisième : a) f2 = − IdE ; b) f est une isométrie ; c) ∀x ∈ E (x | f(x)) = 0 . Dévisser ces endomorphismes.
Exercice 12 : Soient (x1, ..., xk) des vecteurs de E ; trouver dim{ f ∈LLLL(E) ; (∀i) f(xi) = f*(xi) }.
Exercice 13 : Soit M ∈ Mn(R) telle que S = 2
M M+t
soit positive. Montrer que det M ≥ det S.
[ Indication : utiliser le théorème spectral des matrices antisymétriques.] Exercice 14 : Coordonnées de Plücker des plans de R4.
Soit P un plan de R4. A toute base BBBB = (u, v) de ce plan, que l’on représente comme une matrice à 4 lignes et 2 colonnes, on associe la matrice carrée A = A(P, BBBB) = (aij), où aij =
j j
j i
v u
u u . 1) Montrer que A est antisymétrique, non nulle, et de rang 2.
2) Soient BBBB et BBBB’ deux bases de P. Montrer que A(P, BBBB’) = λ.A(P, BBBB), où λ∈ R*.
3) Soient P et P’ deux plans de R4 . Montrer que A(P, BBBB) = A(P’, BBBB’) ⇒ P = P’.
4) Montrer que toute matrice antisymétrique d’ordre 4 et de rang 2 est de la forme A(P, BBBB).
Exercice 15 : Autre preuve du théorème 5.
1) Si u ∈LLLL(E) est antisymétrique, montrer que u2 est symétrique négatif. Conséquences ? 2) Soit x un vecteur propre de u2 associé à une valeur propre < 0 ; que dire de Vect(x, u(x)) ?
3) Conclure.
Exercice 16 : Soit A ∈ An(R) considérée comme élément de Mn(C). Montrer que les valeurs propres de A sont imaginaires pures, et que, si Z = X + iY est un vecteur propre complexe, X et Y étant réels, alors X et Y sont ortogonaux. Exemple : A =
− − − 0 0 0
a b
a c
b c
.
5.4. Lien entre matrices antisymétriques et matrices de rotation.
Entre A(E) et O+(E) existent des liens profonds : théories du repère mobile, et des algèbres de Lie, qui sont ici abordés en exercices.
Exercice 17 : Montrer que l’application u → exp u de LLLL(E) dans Gl(E) induit une surjection continue de l’espace vectoriel A(E) des endomorphismes antisymétriques sur le groupe compact SO(E) = O+(E) des rotations de E.
Application : retrouver les connexité par arcs de O+(E) et O−(E).
Exemple : Soit E un espace euclidien orienté de dimension 3, u : x → ω ∧ x (ω unitaire).
Reconnaître u o u et exp(θu).
Exercice 18 : Sous-groupes à un paramètre de O(E) et GO(E).
Déterminer les homomorphismes de groupes continus ϕ de (R , +) dans O(E), puis dans GO(E).
On pourra commencer par démontrer que de tels morphismes sont de classe C1.
Exercice 19 : 1) Soit γ : t ∈ R → M(t) ∈ O(E) un arc paramétré de classe C1, tracé dans O(E), et tel que M(0) = I. Montrer que
dt
dM (0) = M'(0) ∈ A(E).
2) Réciproquement, montrer que toute matrice antisymétrique A est le vecteur tangent en I à un arc paramétré de classe C1 tracé dans O(E).
Remarque : Il découle de ces résultats que SOn(R) est un sous-groupe à n(n−1)/2 paramètres (on dit aussi une variété différentiable de dimension n(n−1)/2), de Mn(R). En effet, pour se donner une matrice anti-symétrique A, il faut se donner les aij (i < j). De plus, si l’on note Aij = Eij – Eij (i < j), les arcs paramétrés t
→ exp(t.Aij) sont tous tracés sur SOn(R), passent par I à l’instant 0 et ont pour vecteur dérivé Aij à cet instant. Ainsi, l’espace tangent en I à SOn(R) est I + An(R).
Exercice 20 : Soit A ∈ An(R), Y' = A.Y le système différentiel linéaire associé.
Montrer que
||
Y(t)||
est constant, donc que l’arc t → Y(t) est tracé sur une sphère. Réciproque ? Exercice 21 : Repère mobile.1) Soit I un intervalle de R, t → BBBB(t) = (e1(t), ..., en(t)) une application de classe C1 de I dans l’ensemble des bases orthonormées de E. On note
dt d e
j(t) =
∑
= n
i j
i t
1 ,()
ω .ei(t) (∀j).
Montrer que pour tout t, la matrice Ω(t) = (ωij(t)) est antisymétrique.
En particulier, si n = 3, il existe un vecteur
ω
(t) tel que (∀j) dtd e
j(t) =
ω
(t) ∧ ej(t).On l’appelle vecteur rotation instantanée du repère à l’instant t.
2) Exemples : comment se traduisent ces propriétés dans le cas :
− du repère radial θ→ (u(θ),v(θ)) ,
− du repère de Frénet d’une courbe plane de classe C2 ,
− du repère de Serret-Frénet d’une courbe gauche ,
− du repère de Darboux-Ribaucour d’une surface...
3) Soit t → Ω(t) une application de classe C1 de I dans l’ensemble des matrices antisymé-triques. Montrer qu’existe une unique application t → BBBB(t) = (e1(t), ..., en(t)) de classe C1 de I dans l’ensemble des bases orthonormées de E, telle que (t)
dt
Exercice 22 : transformation de Cayley (1846).
Montrer que A → R = ( I − A) o ( I + A)−1 met en bijection l’ensemble des matrices antisymé-triques réelles d’ordre n et l’ensemble des rotations n’admettant pas −1 comme valeur propre.
6. Norme subordonnée, norme euclidienne sur LLLL(E).
Soit E un espace euclidien. Toutes les normes sur LLLL(E) sont équivalentes, mais deux d’entre elles sont particulièrement intéressantes : la norme subordonnée à la norme euclidienne, dite « norme spectrale », et la norme dite « de Frobenius », qui a le triple avantage d’être euclidienne, plus facile à calculer, et plus fine : ainsi les orthoprojecteurs ont pour norme spectrale 0 ou 1, tandis que leur norme de Frobenius dépend de leur rang.
6.1. Norme triple, ou norme spectrale.
1) Soit u un endomorphisme symétrique positif ; exprimer ||| u ||| à l’aide des valeurs propres de u. Même question pour un endomorphisme symétrique quelconque.
2) Soit f un endomorphisme quelconque. base orthonormée propre adaptée. Alors x =
∑
=
après un instant de réfléxion sur les propriétés de la parabole y = x2.
2) Si f est quelconque, || f(x) ||2 = ((f* o f)(x) | x) ≤λ1.||x||2 , en notant λ1≥λ2≥ ... ≥λn≥ 0 les valeurs propres de f* o f, et B = (e1, ..., en) une base orthonormée propre adaptée.
Par Rayleigh-Ritz, ||| f ||| = λ1(f*of) où λ1( f* o f ) est la plus grande valeur propre de f*o f . La deuxième assertion est laissée en exercice.
3) ||x|| ≤ 1 et ||y|| ≤ 1 impliquent |(f(x) | y)| ≤ ||f(x)||.||y|| ≤ |||f|||.||x||.||y|| = |||f |||, par Cauchy-Schwarz.
Donc m = sup { | (f(x) | y) | ; ||x|| ≤ 1 et ||y|| ≤ 1 } ≤ ||| f |||.
De plus, par homogénéité, ∀(x, y) |(f(x) | y)| ≤ m.||x||.||y||. Prenons pour x un vecteur de norme 1 tel que || f(x) || = ||| f ||| (par compacité de la boule unité, ou par 2), et choisissons y = x.
Alors ||| f |||2 ≤ m.||| f |||, d’où, en simplifiant ||| f ||| ≤ m (si f non nul, sinon…).
4) ||| f* ||| = sup{ | (f*(x) | y) | ; ||x|| ≤ 1 et ||y|| ≤ 1} = sup{ | (x | f(y)) | ; ||x|| ≤ 1 et ||y|| ≤ 1 } = ||| f |||.
La deuxième assertion découle de 1) et 2).
5) La réponse est non, en dimension ≥ 2.
Si Mat(f) = diag(1, 1, 0, …, 0) et Mat(g) = diag(1, −1, 0, … , 0) dans une base orthonormée,
||| f + g ||| = 2 = ||| f ||| + ||| g |||, alors que f et g ne sont pas liés.
Exercice 2 : Soit E euclidien. On dit que u ∈ LLLL(E) est une contraction large si ∀x || u(x) || ≤ ||x||.
a) Montrer que u est une contraction ssi u* est une contraction.
b) Soit u une contraction large. Pour k ≥ 1, soit pk = k
1
∑
−
≤
≤ 1 0 i k
ui . Limite de la suite (pk) ? Exercice 3 : Soient E et F deux espaces euclidiens.
1) Etendre les résultats précédents à la norme subordonnée : f ∈LLLL(E, F) → ||| f ||| = sup {
x x f )(
; x ≠ 0 }.
2) Soient u et v des endomorphismes symétriques définis positifs de E et F respectivement, (x | x’)u = (x | u(x’)) et (y | y’)v = (y | v(y’)) les produits scalaires associés, Eu et Fv les espaces euclidiens. Exprimer la norme triple de f considéré comme élément de LLLL(Eu, Fv) à l’aide de ||| f |||.
6.2. Norme de Frobenius.
Exercice 4 : 1) Montrer que ( f | g ) = tr( f* o g ) est un produit scalaire sur LLLL(E).
On note || f || = tr( off* ) la norme euclidienne associée. Est-ce une norme subordonnée ? Montrer que || f* || = || f || , || f o g || ≤ || f ||.|| g || et || u o f || = || f o u || = || f || ∀u ∈ O(E).
2) Comparer cette norme à la norme subordonnée ||| f |||, d’un double point de vue : i) trouver les meilleures constantes d’encadrement, et étudier les cas d’égalité.
ii) laquelle est la plus commode ?
3) Que dire de la somme directe LLLL(E) = SSSS(E) ⊕AAAA(E) relativement à ce produit scalaire ? Si f est élément de LLLL(E), quels sont les éléments de SSSS(E), resp. AAAA(E), les plus proches de f ? 4) Montrer que u ∈ O(E) ⇔ ||| u ||| = 1 et || u || = n.
5) Pour tout couple (a, b) de vecteurs ≠ 0, montrer que sa,b : x → (a | x).b est de rang 1.
Réciproque ? Obtenir une base orthonormée de L(E) formée d’endomorphismes de rang 1.
6) Soient u, v ∈ LLLL(E). A quelle condition les applications f → u o f , f → f o v et f → u o f o v sont-elles orthogonales pour le produit scalaire ( | ) ?
Solution : 1) 1ère méthode : ( f | g ) est une forme bilinéaire, symétrique car ( g | f ) = tr(g* o f ) = tr(( g* o f )*) = tr( f* o g ) = ( f | g ) Elle est positive car si (e1, ..., en) est une base orthonormée de E, ( f | f ) =
∑
((f*of)(ei)ei) =∑
f(ei)² ≥ 0, et ( f | f ) = 0 ⇒ (∀i) f(ei) = 0 ⇒ f = 0.2ème méthode : Soit BBBB une base orthonormée de E. Si A et B sont les matrices de f et g relative-ment à cette base, ( f | g ) = tr(tA.B) =
∑
j i
ij ijb a
,
. : ce n’est autre que le produit scalaire standard sur Mn(R) identifié à Rn².
La norme associée n’est pas subordonnée car || IdE || = n, et non || IdE || = 1. La suite est facile. carrée d’une plus grande valeur propre) ;
− parce qu’elle est euclidienne, et donc de géométrie simple ; cf d’ailleurs 3)…
3) SSSS(E) et AAAA(E) sont supplémentaires orthogonaux de LLLL(E) pour le produit scalaire ( | ) . En effet, si f est symétrique et g antisymétrique,
( f | g ) = tr( f* o g ) = tr( f o g ) = ( g | f ) = tr(g* o f ) = tr(− g o f ) = − tr(g o f) = − tr(f o g),
Exercice 5 : On munit R2 de la structure euclidienne standard.
Soit A =
Exercice 9 : On sait que la boule unité de l’espace euclidien usuel Rn a pour volume 2)
Calculer les volumes usuels, dans leurs espace respectifs, de :
{ A ∈ Mn(R) ; || A || ≤ 1 } , { A ∈ Sn(R) ; || A || ≤ 1 } et { A ∈ An(R) ; || A || ≤ 1 } . Remarque : le lecteur est convié à interroger Maple sur ces sujets : taper ?linalg[norm] ;