3 D´ emonstration des propri´ et´ es des cat´ egories C T

a celle des morphismes g´eom´etriques

(f^∗, f_∗) :E → E_T [resp. (f^∗, f_∗) :E → E^reg

T ].

On sait d´ej`a qu’elle est ´equivalente `a la cat´egorie des morphismes g´eom´etriques [resp. r´eguliers]

C_T→ E [resp.C_T^reg→ E].

Le toposE_T [resp. E_T^reg] est par d´efinition le topos des faisceaux sur la cat´egorieC_T [resp. C_T^reg] munie de la topologie de GrothendieckJ_T [resp.J_T^reg].

La conclusion r´esulte de la proposition suivante puisque toute cat´egorie r´eguli`ere (et a fortiori g´eom´etrique) est cart´esienne et que tout foncteur r´egulier (et a fortiori g´eom´etrique) est cart´esien :

Proposition II.14.– SoitE un topos.

SoitCune cat´egorie cart´esienne (c’est-`a-dire qui admet des limites finies) munie d’un foncteur cart´esien (c’est-`a-dire qui commute aux limites finies)

C → E.

Soient enfin J une topologie de Grothendieck sur C,EJ le topos associ´e et le foncteur canonique C → E_J

compos´e du foncteur de Yoneda et du foncteur de faisceautisation.

Alors le foncteur

C → E

se factorise en le compos´e deC → EJ et de l’image r´eciproque f^∗ d’un morphisme g´eom´etrique (f^∗, f_∗) :E → E_J

si et seulement si l’image parC → E de tout crible couvrant deJ est une famille couvrante deE (c’est-`a-dire dont la r´eunion des images est ´egale `a tout).

3 D´ emonstration des propri´ et´ es des cat´ egories C

Nous devons parcourir `a nouveau les ´etapes successives de la construction des cat´egoriesCT au paragraphe I.2.

Rappelons que son point de d´epart consiste en la donn´ee d’un carquoisD, d’un anneau (unitaire)R et d’une repr´esentation

T :D→R-mod deDdans la cat´egorie desR-modules.

Etape 1 :´

On associe `aT sa th´eorie r´eguli`ereTde signature Σ.

La signature Σ consiste en

• des sortes associ´ees `a chaque objetddeD,

• des symboles de fonctionsd−→^f d⁰ associ´es `a chaque fl`echef deD,dd→det∅ →dassoci´es `a chaque objetddeD (qui d´esigneront les lois d’addition et les ´el´ements 0) etd→dassoci´es `a chaquedet `a chaque scalaire a∈R(qui d´esigneront les lois de multiplication par les scalaires),

• aucun symbole de relation.

Les axiomes de la th´eorieTsont par d´efinition les s´equents r´eguliers de la signature Σ ϕ ~x ψ

qui sont v´erifi´es par la repr´esentationT. Etape 2 :´

On associe `aTsa cat´egorie syntactique r´eguli`ereC^reg

T .

On sait d’apr`es le th´eor`eme II.11(i) que C_T^reg est une cat´egorie r´eguli`ere. Elle est munie d’une structure additive etR-lin´eaire d´efinie par les symboles de fonctionsdd→dpour l’addition,∅ →dpour les ´el´ements 0 et d → d pour la multiplication par les scalaires a ∈ R. Les axiomes de commutativit´e, associativit´e, distributivit´e et d’´el´ements neutres sont v´erifi´es puisqu’ils le sont dans la cat´egorie des R-modules et que tout s´equent r´egulier v´erifi´e parT est un axiome deT.

Ainsi, le lemme I.7 est d´emontr´e.

On sait aussi d’apr`es le th´eor`eme II.11(i) que la cat´egorie C^reg

T repr´esente le 2-foncteur covariant des mod`eles

C →T-mod (C) sur la 2-cat´egorie des cat´egories r´eguli`eres et des foncteurs r´eguliers.

Plus pr´ecis´ement, on a : Proposition II.15.–

(i) Un mod`ele universel deTdans la cat´egorie syntactique r´eguli`ereC_T^reg est d´efini en associant

• `a chaque objet d de D l’objet x<sup>d</sup> de C<sub>T</sub><sup>reg</sup> (o`u x^d d´esigne une variable de sorte d) muni de sa loi d’addition, de son ´el´ement neutre et de ses lois de multiplication par les scalaires,

• `a chaque fl`eche f : d → d⁰ de D le symbole de fonction correspondant ´ecrit comme un terme x^{d f(x}

d) =y^d0

−−−−−−−−→y^d0.

(ii) Pour tout mod`eleM deTdans une cat´egorie r´eguli`ereC, il existe un unique foncteur r´egulier, additif et R-lin´eaire

C_T^reg→ C

qui transforme le mod`ele universel deC<sup>reg</sup><sub>T</sub> en le mod`eleM deT dansC.

Ce foncteur envoie toute formule r´eguli`ere ϕsur son interpr´etation dans M.

Le mod`ele universel deC_T^reg peut ˆetre vu comme une repr´esentation

D→ C_T^reg. D’autre part, la repr´esentation

T :D→R-mod peut ˆetre vue comme un mod`ele deTdansR-mod.

D’apr`es la proposition II.15 ci-dessus, il existe donc un unique foncteur r´egulier, additif etR-lin´eaire C^reg

T →R-mod qui rende commutatif le triangle :

D

##

C^reg

T

{{R-mod

Etape 3 :´

Ayant construit la cat´egorie syntactique r´eguli`ereC^reg

T , on lui associe son effectivisation CT au sens de la d´efinition I.8 :

Pour toute cat´egorie r´eguli`ereC, son effectivisationC^eff est la cat´egorie dont

• les objets sont les paires (X, E) constitu´ees d’un objetX de C et d’une relation d’´equivalenceE X×X,

• les fl`eches (X, E)→ (Y, F) sont les relationsR X×Y telles que RE =R =F R, E ≤R⁰R et RR⁰≤F.

Voici les propri´et´es principales de ce proc´ed´e de construction : Proposition II.16.–

SoientC une cat´egorie r´eguli`ere etC^eff son effectivisation.

Alors :

(i) La cat´egorieC^eff est r´eguli`ere. Elle est aussi effective au sens que toute relation d’´equivalence y poss`ede un quotient.

(ii) Le foncteur canonique

C → C^eff est r´egulier.

De plus, il est universel au sens que tout foncteur r´egulier C → C⁰

vers une cat´egorie r´eguli`ere effective C⁰ se factorise en un unique foncteur C^eff → C⁰

r´egulier et effectif au sens qu’il pr´eserve les quotients des relations d’´equivalence.

Etape 4 :´

Il s’agit de v´erifier les propri´et´es de la cat´egorieC_T.

Elles vont r´esulter des propri´et´es d´ej`a connues deC_T^reg et du corollaire suivant de la proposition II.16 : Corollaire II.17.–

SoitC une cat´egorie additive, R-lin´eaire et r´eguli`ere. Alors :

(i) La cat´egorieC^eff est ab´elienne etR-lin´eaire.

(ii) Le foncteur canonique

C → C^eff est additif,R-lin´eaire et r´egulier.

Il est universel au sens que tout foncteur R-lin´eaire r´egulier C → C⁰

vers une cat´egorie ab´elienneR-lin´eaireC⁰ se factorise en un unique foncteur R-lin´eaire exact C^eff → C⁰.

D’apr`es ce corollaire, l’effectivisationCT deC_T^reg est une cat´egorie ab´elienneR-lin´eaire.

Le foncteur

C^reg

T →R-mod

construit `a l’´etape 2 estR-lin´eaire et r´egulier donc se factorise en un unique foncteurR-lin´eaire exact CT →R-mod.

Par cons´equent, la repr´esentation

T :D→R-mod se factorise comme le compos´e de

D→ C_T^reg→ CT

et de

C_T →R-mod. Consid´erons une autre factorisation deT en

D−−→ C^S −−→^F R-mod

o`uC est une cat´egorie ab´elienneR-lin´eaire et F un foncteurR-lin´eaire, exact et fid`ele.

CommeF est R-lin´eaire, exact et fid`ele,S d´efinit un mod`ele deT dansC. D’apr`es la proposition II.15, S se factorise comme le compos´e de

D→ C^reg

T

et d’un foncteurR-lin´eaire r´egulier

C^reg

T → C

qui, d’apr`es le corollaire II.17(ii), se factorise lui-mˆeme en un unique foncteurR-lin´eaire exact CT → C.

Il ne reste plus qu’`a d´emontrer que le foncteurR-lin´eaire exact CT →R-mod

est fid`ele. Comme il est exact, il suffit de d´emontrer qu’il est conservatif au sens qu’un monomorphisme de CT est un isomorphisme s’il en est ainsi de son image dansR-mod.

Or on a le lemme g´en´eral suivant :

Lemme II.18 ([SCNM], §1.3).–

SoientC une cat´egorie r´eguli`ere,C^eff son effectivisation et F :C → C⁰

un foncteur r´egulier vers une cat´egorie r´eguli`ere effective C⁰, factoris´e en le foncteur r´egulier effectif Fe:C^eff → C⁰.

Alors, si le foncteur F est conservatif au sens ci-dessus, il en est de mˆeme deF.e

D’apr`es ce lemme, on est r´eduit `a prouver que le foncteurR-lin´eaire r´egulier

C_T^reg→R-mod

est conservatif. Cela r´esulte de ce que son compos´e avec le mod`ele universelD→ C^reg

T deT, qui estT :D→ R-mod, est un mod`ele conservatif de T au sens qu’un s´equent r´egulier de Σ est d´emontrable dansT si et seulement si il est v´erifi´e par T.