D´ emonstration du th´ eor` eme d’inversion de Jacobi via la topologie combinatoire

Diversas t´ecnicas em vis˜ao computacional e computac¸˜ao gr´afica est˜ao relacionadas `a maneira como a luz se propaga em dado meio, que ´e discutida pela Teoria do Transporte Radiativo [Chandrasekhar, 1960]. Um caso especial dessa teoria ´e a forma como a luz incide e reflete em um dado material com caracter´ısticas que influenciam a propagac¸˜ao da luz.

Isto nos leva `a Radiometria, que ´e a medida de como os materiais refletem a luz em uma parcela do espectro eletromagn´etico. Na pr´atica, o termo ´e geralmente limitado `a medida do espectro eletromagn´etico vis´ıvel, infravermelho e ultravioleta.

2.1 Conceitos de Radiometria e Reflectˆancia 20

A luz ´e um tipo de energia, conhecida como energia radiante. Quando a luz ´e absorvida por um objeto, a mesma ´e convertida em outras formas de energia, como o calor, um caso bastante conhecido. A energia radiante por unidade de tempo ´e o que chamamos de fluxo radiante , cuja unidade ´e o Watt (W). Como exemplo, um feixe laser possui uma certo fluxo radiante de energia.

Em termos de fotometria, o que se mede de uma superf´ıcie ´e o fluxo radiante em uma certa ´area, que relaciona a quantidade de energia por unidade de tempo irradiando em uma superf´ıcie determinada. Essa energia ´e denominada irradiˆancia (E) e medida em W/m2_, dada por:

E(θi, φi) =

dΦi(θi, φi)

dA . (2.1)

SendoΦio fluxo radiante incidente na superf´ıcie de ´areaA na direc¸˜ao especificada pelas coordenadas de elevac¸˜ao-azimute(θi, φi).

Para entender melhor os pr´oximos conceitos, considere a Figura2.1. Pode-se definir a irradiˆancia como sendo um fluxo de luz que incide sobre um elemento de ´area, vinda de todas as direc¸˜oes de uma semi-esfera, cuja base coincide com uma superf´ıcie considerada.

d_wr qi Fi Fr fi fr qr

dA

Figura 2.1: Aspectos geom´etricos da radiometria em uma esfera unit´aria. Um fluxo de luz in- cidenteΦiatinge um elemento de superf´ıciedA pela direc¸˜ao especificada pelas coordenadas

de elevac¸˜ao-azimute (θi,φi), gerando um fluxo de luz refletidoΦrem um ˆangulo s´olidodwr

em uma direc¸˜ao de sa´ıda arbitr´aria especificada pelas coordenadas (θr,φr). Figura obtida de

[Barros, 2004].

A irradiˆancia, ap´os refletir na superf´ıcie, ´e conhecida como emitˆancia radiante ou sim- plesmente radiˆancia, que ´e definida como um fluxo de luz refletido que emana de uma de-

2.1 Conceitos de Radiometria e Reflectˆancia 21

terminada superf´ıcie em direc¸˜ao a uma semi-esfera, a partir de um dado ˆangulo s´olido, dada emW/(m2_sr)1_conforme:

L(θr, φr, θi, φi) =

dΦi(θr, φr, θi, φi)

dAcosθrdwr

. (2.2)

O conceito de ˆangulo s´olido pode ser dado da seguinte forma: quando se refere a um ˆangulo plano, ´e poss´ıvel medir o mesmo em radianos e dizer que um ˆangulo tem um radiano quando delimita um arco cujo comprimento ´e igual ao raio da circunferˆencia que cont´em esse arco; quando se refere a um ˆangulo s´olido, tem-se uma abertura espacial em trˆes dimens˜oes, onde a forma de um cone (vide Figura 2.1) facilita a abstrac¸˜ao, e pode-se definir que um ˆangulo s´olido de um steradian ´e aquele que delimita uma ´area de esfera igual ao quadrado do raio dessa esfera [McCluney, 1994].

A luz incidente em um num ponto de uma dada superf´ıcie pode ser ser refletida, inter- namente dispersa e re-emitida, absorvida ou transmitida [Carceroni, 2001], o que vem a ser uma caracter´ıstica pr´opria de cada material. Para simplificar o entendimento, considere o caso onde a luz ´e parcial ou totalmente refletida, e essa caracter´ıstica do material ´e chamada de reflectˆancia e dada pela raz˜ao entre a radiˆancia e a irradiˆancia [Oren e Nayar, 1995], ou seja, a frac¸˜ao da luz incidente que ´e efetivamente refletida pelo ponto. Um modelo de re- flectˆancia ´e utilizado para obter esta raz˜ao atrav´es de uma equac¸˜ao anal´ıtica que depende do tipo de material da superf´ıcie. Mais especificamente, a reflectˆancia ´e uma func¸˜ao com cinco graus de liberdade (depende do comprimento de onda eletromagn´etico λ) que quantifica a

raz˜ao da radiˆancia ao longo de cada direc¸˜ao (θr, φr) `a irradiˆancia ao longo de cada direc¸˜ao (θi, φi) (Figura2.1), conforme a Equac¸˜ao (2.3).

f (θr, φr, θi, φi, λ) =

L(θr, φr, θi, φi)

E(θi, φi).

(2.3)

Um algoritmo de renderizac¸˜ao utiliza o modelo de reflectˆancia para calcular a intensidade da luz refletida em cada ponto da superf´ıcie, para todas as projec¸˜oes destes pontos em um plano de imagem, obtendo assim uma imagem foto-real´ıstica da cena, considerando todas as diferentes superf´ıcies de cada objeto [Hearn e Baker, 1994].

A func¸˜ao de reflectˆancia ´e complexa e dif´ıcil de determinar com precis˜ao, mas pode ser representada por um func¸˜ao conhecida como BRDF (Bidirectional Reflectance Distribution Function), que ´e uma descric¸˜ao simplificada de como uma superf´ıcie reflete a luz. Uma vez que a BRDF caracteriza a reflectˆancia de uma superf´ıcie em termos dos ˆangulos de incidˆencia, da luz incidente, e dos ˆangulos de reflex˜ao, e por ser uma propriedade do material,

2.1 Conceitos de Radiometria e Reflectˆancia 22

n˜ao depende de fatores externos como a iluminac¸˜ao.

Quando a BRDF em um dado ponto n˜ao muda `a medida que a superf´ıcie ´e rotacionada em torno do vetor normal neste ponto, esta superf´ıcie ´e chamada isotr´opica. Por outro lado, temos superf´ıcies denominadas anisotr´opicas, que se caracterizam por uma BRDF que ´e func¸˜ao da orientac¸˜ao da superf´ıcie ao longo de sua normal. De acordo com a forma da BRDF, as superf´ıcies podem ser divididas em dois tipos principais [Schlick, 1993]:

• Superf´ıcies difusas: A luz ´e refletida em todas as direc¸˜oes. No caso ideal, quando a superf´ıcie ´e perfeitamente difusa ou superf´ıcie Lambertiana, a BRDF se torna uma func¸˜ao constante.

• Superf´ıcies especulares: A luz ´e refletida somente em um pequena regi˜ao em torno da direc¸˜ao ideal de reflex˜ao geom´etrica. No caso ideal, onde a superf´ıcie ´e perfeitamente especular, a BRDF torna-se uma func¸˜ao que ´e n˜ao nula em uma ´unica direc¸˜ao.

Os modelos de BRDF que atualmente s˜ao utilizados em computac¸˜ao gr´afica e vis˜ao com- putacional podem ser divididos em duas classes principais: modelos sint´eticos [Blinn, 1977] [Phong, 1975] que possuem baixo custo computacional e s˜ao emp´ıricos, e modelos anal´ıticos [Cook e Torrance, 1981][Beckmann e Spizzichino, 1963][Torrance e Sparrow, 1967] com o custo computacional alto, por´em mais precisos por se basearem em modelos f´ısicos de interac¸˜ao da luz com a mat´eria.

Os modelos mais simples em geral s˜ao conhecidos pelos nomes de seus autores: o mo- delo de Lambert ou Lambertiano [Lambert, 1760] e o modelo de Phong [Phong, 1975]. O modelo de Lambert ´e aplicado `a superf´ıcies perfeitamente difusas; a BRDF ´e simplesmente uma constante para todas as direc¸˜oes, comprimento de onda e polarizac¸˜oes. O modelo de Phong expressa a BRDF como uma combinac¸˜ao linear de uma parte difusa e uma parte especular2, e introduz um termo cossenoidal com expoente para modelar os efeitos de espe- cularidade, em particular o specular highlight, que ´e a concentrac¸˜ao da luz em determinado ponto.

Para representar superf´ıcies mais complexas, outros modelos s˜ao utilizados. O modelo de Cook-Torrance [Cook e Torrance, 1981] ´e baseado na f´ısica da superf´ıcie e possui trˆes componentes principais: o modelo de micro-facetas da superf´ıcie, o termo coeficiente de Fresnel que descreve a reflectˆancia, e o termo de rugosidade que parametriza a distribuic¸˜ao das micro-facetas. O modelo de Kajiya [Kajiya, 1985], baseado na teoria de Kirchoff, e 2_{para algoritmos de renderizac¸˜ao leva-se em conta uma terceira componente correspondente `a luz proveni-} ente do ambiente em que os objetos da cena est˜ao inseridos

2.1 Conceitos de Radiometria e Reflectˆancia 23

o modelo de Poulin-Fournier s˜ao bastante utilizados em superf´ıcies anisotr´opicas. O mo- delo de Strauss, o modelo Program´avel [Glassner, 1995] e o modelo de Ward [Ward, 1992] s˜ao modelos baseados em simulac¸˜ao f´ısica da estrutura das superf´ıcies e geram uma boa aproximac¸˜ao para aplicac¸˜oes espec´ıficas.