El´ements de base

6.2.1 Equations de la MHD

6.2.1.1 L’´equation d’induction

Nous pr´esentons ici tr`es rapidement les ´equations de base de la magn´eto-hydrodynamique (MHD) dont on trouve des descriptions plus compl`etes par Moffat [72] et Fauve et Petrelis [34]. Les champs ´electriques ~E et magn´etique ~B sont r´egis par les ´equations de Maxwell, et dans le cadre de l’approximation MHD, on n´eglige les courants de d´eplacement et tout effet relativiste associ´e. On a alors :

∇ × B = µ0j avec ∇ · B = 0 (6.1)

∂B/∂t = −∇ × E (6.2)

j = σ(E + v × B) (6.3)

avec µ0 la perm´eabilit´e du vide constante ´egale `a 4π × 10−7 SI, σ la conductivit´e ´electrique du fluide et v(x, t) le champ de vitesse. Notons que σ varie avec la temp´erature. A partir de ces ´equations, on obtient imm´ediatement l’´equation d’induction r´egissant l’´evolution du champ magn´etique quand le champ de vitesse est connu :

∂B

∂t = ∇ × (v × B) + η∇

2_{B (6.4)}

o`u η = (µ0σ)−1 est la “diffusivit´e magn´etique” du fluide. On note que l’´equation d’induction est lin´eaire en B pourvu que le champ de vitesse soit donn´e.

6.2.1.2 L’´equation de Navier-Stokes

Pr´ecisons l’´equation r´egissant les mouvements du fluide. Ceux-ci sont bien d´ecrits dans un m´etal liquide par les ´equations de Navier-Stokes incompressibles [45] :

ρ ∂v

∂t + (v · ∇)v 

= −∇p + ρν∇2v + j × B (6.5)

∇ · v = 0 (6.6)

dans lesquelles ρ est la densit´e du fluide, ν sa viscosit´e cin´ematique et p le champ de pression. Le dernier terme de cette ´equation est la force de Lorentz qui traduit la r´etroaction du champ magn´etique sur l’´ecoulement et couple l’´equation de Navier-Stokes `a celle de l’induction.

6.2.1.3 Nombres sans dimensions pertinents

Comparant les termes d’advection ((v · ∇)v) et de diffusion (ν∇2_{v) de l’´equation 6.5, on} construit le nombre de Reynolds cin´etique Re :

Re = V L

´equivalent du nombre de Reynolds cin´etique pour l’´equation d’induction : Rm=

V L

η (6.8)

Le rapport de ces deux nombres est une caract´eristique intrins`eque du fluide conducteur consid´er´e, le nombre de Prandtl magn´etique :

Pm= Rm

Re = ν

η (6.9)

Il compare les temps de diffusion respectifs des champs de vitesse et magn´etique.

Enfin, on peut introduire le rapport entre la force de Lorentz et le terme d’advection du champ de vitesse, d´efinissant ainsi le param`etre d’interaction :

N = σ(v × B) × B ρ(v · ∇)v =

σB2_L

ρV (6.10)

Le tableau 6.1 donne quelques valeurs typiques de ces nombres sans dimensions dans des situa- tions pertinentes du point de vue de l’effet dynamo.

6.2.2 Cons´equence des ´equations de la MHD 6.2.2.1 M´ecanisme dynamo

L’´equation d’induction ´etant lin´eaire, tout champ magn´etique induit par le champ de vitesse `

a partir d’un champ initial B0 est susceptible d’amorcer un m´ecanisme d’instabilit´e permettant au champ magn´etique induit de croˆıtre `a l’infini. La saturation de ce m´ecanisme d’instabilit´e apparait dans le couplage entre l’´equation de Navier-Stokes et l’´equation d’induction via la force de Lorentz. Quand le champ magn´etique est suffisamment intense pour rendre le param`etre d’in- teraction assez grand, la force de Lorentz n’est plus n´egligeable et modifie de fa¸con cons´equente le champ de vitesse de telle sorte que les effets d’induction diminuent, assurant par l`a mˆeme la saturation du champ dynamo. Une autre fa¸con de voir cette comp´etition entre effet dissipatifs et effets d’induction consiste `a reprendre l’´equation d’induction (´equation 6.4) et `a la multiplier sca- lairement par B/µ0 avant de l’int´egrer sur l’espace entier. On obtient alors l’´equation d’´evolution de l’´energie magn´etique : ∂ ∂t Z Z Z B2 2µ0 d3r = 1 µ0 Z Z Z B · ∇ × (V × B)d3_{r + σ} Z Z Z B · ∇2_Bd3_{r (6.11)} Utilisant les ´equations de Maxwell, on montre que cette ´equation peut se r´e´ecrire de la fa¸con suivante : ∂ ∂t Z Z Z _B2 2µ0 d3_{r = −} Z Z Z V · J × Bd3 r − Z Z Z _J2 σ d 3_{r (6.12)}

On voit alors apparaitre le bilan d’´energie magn´etique que l’on peut r´esumer : ∂Em

∂t = −PL+ PJ (6.13)

La dissipation ohmique (PJ) est toujours n´egative et contribue donc toujours `a diminuer l’´energie magn´etique, au contraire, l’action des forces de Lorentz (−PL) peut ˆetre de signe quelconque,

124 CHAPITRE 6. L’EFFET DYNAMO

Fig._{6.3: Effet Ω}

et si elle est positive, elle assure la transformation d’´energie m´ecanique en ´energie magn´etique. L’expression de ce terme mˆele vitesse, champ magn´etique et des d´erivations spatiales. Il faudra donc une certaine topologie relative de ces deux champs pour rendre ce terme positif. En outre, mˆeme positif, il faudra qu’il soit en amplitude assez important pour contrer la dissipation joule. Cette amplitude est gouvern´ee par la valeur du nombre de Reynolds magn´etique, param`etre de contrˆole naturel de l’instabilit´e dynamo. Au-del`a d’une certaine valeur seuil du nombre de Rey- nolds magn´etique, un champ magn´etique initial pourra ˆetre amplifi´e et entretenu par l’´ecoulement sous-jacent `a sa valeur de saturation. Ce seuil sera d´enomm´e nombre de Reynolds magn´etique critique et not´e Rmc.

6.2.2.2 Th´eor`eme anti-dynamo

Partant des ´equations de la MHD, un certain nombre de th´eor`emes d´efinissent un ensemble de g´eom´etries du champ de vitesse ou magn´etique excluant la possibilit´e d’apparition d’un champ dynamo. Nous en citons pour m´emoire quelques uns car ils constituent parfois les premi`eres avanc´ees historiques dans la compr´ehension de l’effet dynamo.

– Le th´eor`eme de Cowling [23] interdisant `a un ´ecoulement axisym´etrique stationnaire de g´en´erer un champ magn´etique ayant la mˆeme sym´etrie.

– Un ´ecoulement dont une composante cart´esienne est nulle exclu toute possibilit´e d’effet dynamo.

– Un champ magn´etique ayant une de ses coordonn´ees cart´esiennes nulle ne peut ˆetre induit par effet dynamo.

– Si un ´ecoulement dans une sph`ere est purement radial ou n’a pas de composante radiale, il ne peut entretenir un champ magn´etique.

6.2.2.3 Effets d’induction

L’effet Ω C’est un m´ecanisme lin´eaire assurant la conversion d’un champ polo¨ıdal en champ toro¨ıdal. Pla¸cons nous dans le cadre du th´eor`eme du flux gel´e, le champ magn´etique ´etant alors simplement advect´e par le champ de vitesse (ceci est vrai si la conductivit´e du m´etal liquide est infinie, soit η = 0). Imaginons un champ magn´etique polo¨ıdal dans un ´ecoulement purement toro¨ıdal. Les lignes de champ sont d´eform´ees par le champ de vitesse et le champ r´esultant a d´esormais une composante toro¨ıdale (voir figure 6.3). Dans un milieu ´electrique de conductivit´e finie, cet effet reste observable, d’autant plus que la conductivit´e est grande. Notons que le champ induit par cet effet est proportionnel au champ appliqu´e mais aussi au nombre de Reynolds de l’´ecoulement toro¨ıdal. Cet effet a ´et´e mis en ´evidence exp´erimentalement `a de nombreuses reprises dans le gallium [82] et le sodium [9; 67; 116].

V1

B0

V2

B1

Bf

Effet Parker ou effet α C’est un m´ecanisme quadratique cette fois, un peu plus complexe que le pr´ec´edent. On doit son introduction `a Parker [85]. Il requiert que le champ de vitesse soit h´elicitaire, ie que l’h´elicit´e du champ de vitesse soit localement non nulle (~v · ~ω 6= 0). Le champ de vitesse a alors localement deux composantes, l’une en translation, l’autre en rotation autour de l’axe de translation. L’induction se fait en deux temps. Dans un premier temps, un champ magn´etique perpendiculaire `a la translation est d´eform´e par celle-ci puis par la rotation. Une ligne de champ originellement rectiligne a alors une forme de α (voir figure 6.4). Le courant engendr´e par cette boucle de champ magn´etique est parall`ele au champ appliqu´e. Consid´erons les champs de vitesse et magn´etique comme somme de leur partie moyenne et fluctuante : ~v =< ~v > +~v′ <sub>et</sub> ~b =< ~b > +~b′<sub>. On a alors < ~v × ~b >=< ~v > × < ~b > + < ~v</sub>′<sub>× ~b</sub>′ <sub>>. On voit apparaitre d’une</sub> part l’induction li´ee aux deux champs moyens et d’autre part l’induction due `a la ”coop´eration” des fluctuations des deux champs. Au premier ordre, ce terme peut ˆetre proportionnel au champ magn´etique moyen. La dynamo de Roberts [104] est principalement bas´ee sur cet effet pour un ´ecoulement laminaire. Ce m´ecanisme a n´eanmoins ´et´e observ´e dans des exp´eriences turbulentes : VKS1 [89] au CEA Cadarache et le tore de Perm [35].

6.2.3 Ordres de grandeurs et questions ouvertes

Le tableau 6.1 pr´esente les ordres de grandeurs de quelques grandeurs pertinentes du point de vue de l’effet dynamo pour divers objets astrophysiques permettant de les comparer aux valeurs que l’on peut atteindre dans les simulations num´eriques ou les exp´eriences de laboratoire. L’´etude de ce tableau, renforc´ee par la figure 6.5, montre `a quel point les simulations num´eriques tout comme les exp´eriences sont ´eloign´ees dans l’espace des param`etres (Rm, Pm) des situations astrophysiques. Notons toutefois que les exp´eriences sont toujours plus proches de ces objets que les simulations, d’o`u leur int´erˆet particulier.

Questions ouvertes : Pour r´esumer un peu ce qui pr´ec`ede, disons que dans le cadre d’un ´ecoulement de fluide conducteur, si la topologie de l’´ecoulement le permet et si le nombre de Reynolds magn´etique est assez grand, il est possible d’observer un effet dynamo. Nous avons ´egalement vu que les dynamos naturelles poss`edent des dynamiques riches qui ont lieu sur des temps diff´erents des temps typiques du probl`eme. Bien que la figure 6.5 montre `a quel point les simulations num´eriques, comme les exp´eriences resteront a priori toujours loin dans l’espace des param`etres des dynamos naturelles, le recours aux simulations et `a l’exp´erimentation reste `

a ce jour le meilleur moyen d’´etudier l’effet dynamo. Les connaissances que nous avons des objets astrophysiques et mˆeme de ce qui se passe au centre de la Terre sont encore trop limit´ees

126 CHAPITRE 6. L’EFFET DYNAMO

Tab. _{6.1: Ordres de grandeur du champ magn´etique, du nombre de Rossby, des nombres de Reynolds} cin´etique et magn´etique, du nombre de Prandtl magn´etique et du param`etre d’interaction dans quelques situations exp´erimentales ou naturelles.

B(T ) Ro Re Rm Pm N terre 10−4 ₁₀−6 ₁₀9 _{4 × 10}2 _{3 × 10}−7 ₂₅₀₀ soleil 10−4 _{1 6 × 10}15 _{2 × 10}8 _{3 × 10}−8 ₂ galaxie 10−10 _{− 2 × 10}9 ₁₀6 _{5 × 10}−4 ₁₀−37 Exp´eriences Na 10−2 _{1 − ∞ 5 × 10}6 _{50 6 × 10}−6 _0.25 Exp´eriences Ga 10−3 _{1 − ∞ 4 × 10}5 _{1 1.5 × 10}−6 ₁₀−4

Fig._{6.5: Localisation dans le plan nombre de Prandtl magn´etique / nombre de Reynolds magn´etique des} simulations num´eriques, des exp´eriences et de quelques objets astrophysiques.

dynamo dans une d´emarche physique, via des simulations num´eriques ou des exp´eriences peut permettre d’identifier certains m´ecanismes de base jouant un rˆole clef dans le probl`eme de la dynamo fluide. Quels sont les ingr´edients minima permettant l’observation d’une dynamo fluide ayant une dynamique aussi riche que celle de la Terre par exemple ? Comment des temps longs devant tous les temps magn´etohydrodynamiques peuvent-ils apparaˆıtre dans ces dynamiques ? Comment l’interaction entre modes hydrodynamiques et magn´etiques peut-elle faire ´emerger une telle richesse de comportements ? Quel rˆole joue la turbulence dans l’´etablissement et dans la nature de l’effet dynamo ? Chercher `a r´epondre `a l’ensemble de ces questions dans les syst`emes physiques plus simples que constituent les exp´eriences et les simulations num´eriques constitue une ´etape vers la compr´ehension globale des champs magn´etiques naturels. Les deux sections suivantes sont d´edi´ees `a la pr´esentation de ces approches physiques.