Pour finir, nous abordons le cas de la diffusion par des ellipso¨ıdes di´electriques aplatis, mod`eles canoniques des feuilles. Nous avons repris les caract´eristiques des
0 20 40 60 80 -100 -90 -80 -70 -60 -50 Backscattering coefficient (dB) VV HH 0 20 40 60 80 -2,0 ×10 -4 -1,5 ×10 -4 -1,0 ×10 -4 -5,0 ×10 -5 0,0
Imaginary part of the forward scattering matrix
Mangroves leaves - P Band
a=4.7 cm, b=2.85 cm, c=0.23 mm 0 20 40 60 80 -100 -90 -80 -70 -60 -50 Specular coefficient (dB)
Fig. IV.7 – Mod´elisation du comportement angulaire de la diffusion par une feuille de dimensions typiques d’une forˆet de mangroves : variation du coefficient de r´etrodiffusion (`a gauche) ; variation de la partie imaginaire de la matrice de diffusion dans la direction avant (au centre) ; variation du coefficient de diffusion sp´eculaire (`a droite).
feuilles de la forˆet des mangroves, en respectant `a chaque fois les conditions d’ob- servation radar. On pr´ecise que les simulations de la figure (IV.7) ont ´et´e r´ealis´ees avec α = β = γ = 0◦. Il est int´eressant de noter que les variations observ´ees sont tout `a fait comparables, en fr´equence et suivant l’angle d’incidence, avec les r´esultats obtenus pour les cylindres. En effet, que ce soit `a basse ou haute fr´equence, les com- portements en HH et VV sont sym´etriques, au niveau diffus´e pr`es. Cela s’explique simplement par le fait que, quand α = β = γ = 0◦, les axes principaux de la feuille sont suivant ˆx et ˆy, alors que, dans le cas du cylindre, son axe principal est align´e avec ˆz.
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Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons ´etudi´e la mod´elisation des ellipso¨ıdes di´electriques au moyen de l’approximation g´en´eralis´ee de Rayleigh-Gans (GRG). Cette approxi- mation suppose que dans une direction au moins, le diffuseur puisse ˆetre consid´er´e comme transparent. On peut alors d´eterminer de mani`ere approch´ee le champ in- terne de l’ellipso¨ıde, qu’il faut n´eanmoins corriger en tenant compte de sa g´eom´etrie particuli`ere. Cette mod´elisation, faute de pouvoir comparer les simulations `a des
mesures, est consid´er´ee dans des cas particuliers pour lesquels les r´esulats peuvent ˆetre comment´es : les simulations r´ealis´ees pour la sph`ere ainsi que pour l’ellipso¨ıde allong´e permettent de valider en partie la mod´elisation de la diffusion par GRG.
Chapitre V
Mod´elisation de la diffusion par
une surface rugueuse
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Introduction
Ce chapitre concernant la diffusion par des surfaces rugueuses vient clore cette premi`ere partie consacr´ee `a la diffusion par des ´el´ements canoniques. La diffusion par le sol peut-ˆetre consid´er´ee comme la somme pond´er´ee d’une diffusion de surface et d’une diffusion de volume. Dans ce dernier cas, on mod´elise le sol comme un milieu semi-infini pouvant contenir des inclusions participant `a la diffusion de volume. Bien que de nombreuses travaux aient ´et´e et sont encore d´edi´es au calcul de la diffusion par des surfaces rugueuses, les mod`eles simulant le champ diffus´e ne sont pas beaucoup ´etudi´es. Bien sˆur des m´ethodes num´eriques peuvent ˆetre employ´ees pour calculer la solution exacte mais le temps de calcul et la place m´emoire n´ecessaires les rendent inappropri´ees pour des mod`eles de diffusion par la v´eg´etation. On peut cependant citer les m´ethodes des moments [43], des ´el´ements finis et des diff´erences finies [44,45] qui ont commenc´e `a apparaˆıtre au milieu des ann´ees 90, faute d’arriver `a trouver une expression analytique du champ diffus´e en zone de r´esonance. On s’int´eressera donc dans ce chapitre aux mod`eles approch´es de la diffusion par des surfaces rugueuses en haute et basse fr´equence.
Les premiers mod`eles ont ´et´e d´edi´es `a la simulation de la diffusion par des surfaces peu rugueuses. Les mod`eles les plus couramment utilis´es sont :
– l’approximation haute-fr´equence de Kirchhoff(KA1) dont [46] a montr´e qu’elle simulait correctement la r´etrodiffusion par des surfaces rugueuses pour de faibles angles d’incidence.
– Concernant les forts angles d’incidences, la m´ethode la mieux adapt´ee semble ˆetre la m´ethode des petites perturbations(SPM2), approximation basse fr´equence [47].
La m´ethode de Kirchhoff suppose qu’au point o`u l’on consid`ere la diffusion, le sol peut-ˆetre approch´e par une surface plane infinie. La m´ethode des petites perturba-
1. Kirchhoff Approximation. 2. Small Perturbation Method.
tions suppose elle que les variations de la hauteur et de la longueur de corr´elation sont faibles devant la longueur d’onde. Bien que ces m´ethodes soient couramment utilis´ees, elles pr´esentent un domaine de validit´e r´eduit. En 1987, Fung et Pan font l’inventaire des questions qui restent encore en suspens `a l’´epoque et la premi`ere d’entre elles concerne bien sˆur le probl`eme de la diffusion par des surfaces rugueuses aux fr´equences interm´ediaires. Des m´ethodes visant `a calculer la diffusion par une surface rugueuse avec un domaine de validit´e plus ´etendu ont ´et´e propos´ees par Watson et al. en 1984 [48] (Smoothing Method) et Thorsos et al. en 1989 [49] (Phase Perturbation Method). En 1987, Fung et Pan proposent un mod`ele de dif- fusion par des surfaces al´eatoires parfaitement conductrices [50,51]. Leur but est de proposer un mod`ele permettant d’unifier les deux approximations de Kirchhoff et des petites perturbations. En 1992, avec chen et li, fung reformule sa mod´elisation et l’applique aux surfaces di´electriques [52]. Les auteurs montrent que les termes de polarisation crois´ee sont dus majoritairement aux diffusions multiples. Cette for- mulation va ˆetre `a la base de la m´ethode de l’´equation int´egrale ou IEM (Integral Equation Method) [25]. Cette m´ethode a connu de nombreuses corrections dont une des plus r´ecentes est due `a Alvarez-Perez en 2001 [53]. Il montre que IEM ne se r´eduit pas `a SPM lorsque l’on consid`ere des surfaces peu rugueuses en configura- tion bistatique. koudogbo a ´egalement montr´e les limites d’IEM, notamment en mettant en ´evidence des probl`emes li´es `a la conservation de l’´energie totale [54].
L’´etude de la diffusion par les sols ne se r´esume ´evidemment pas `a ces trois formulations. De nombreux travaux ont ´et´e consacr´es `a la diffusion par des surfaces mod´elis´ees au moyen de plusieurs ´echelles de rugosit´e [55] ou alors en utilisant une description fractale [56, 57, 58, 59,60].
On peut regretter, dans le cadre de la mod´elisation coh´erente par la v´eg´etation, que parmi ces nombreuses ´etudes aucune ne nous permettent de simuler l’amplitude et la phase des composantes en copolarisation et en polarisation crois´ee du champ diffus´e par une surface rugueuse di´electrique. Ne disposant donc pas de mod`eles suffisamment satisfaisants pour ˆetre int´egr´es dans un code coh´erent, nous avons choisi dans le cadre de cette th`ese, pour les applications radiom´etriques, de nous restreindre aux approximations les plus simples, `a savoir KA et SPM. Dans le cas d’applications n´ecessitant la connaissance de la phase du sol, nous ferons l’hypoth`ese que la contribution du sol est n´egligeable.
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Description d’une surface rugueuse
La rugosit´e d’une surface, ou son degr´e de rugosit´e, se d´efinit par rapport aux caract´eristiques du syst`eme d’observation, et principalement la fr´equence et l’angle d’incidence. La connaissance de la rugosit´e d’une surface se ram`ene aux donn´ees d´efinissant sa variation verticale (loi statitistique d´ecrivant la variation de la hauteur des rugosit´es) et sa variation horizontale (densit´es des irr´egularit´es dans le plan horizontal). La fa¸con la plus simple de prendre cela en compte est de mod´eliser la surface rugueuse par une surface al´eatoire gaussienne.