elastique et inextensible dans l’espace

On pourra consulter [7], [8], [13], [20], [32], [33], [34], [36], [37], [47], [62], [63], [64], [66] et [71].

On suppose qu’il s’agit d’une tringle ´elastique de Kirchhoff inextensible empoign´ee `a ces deux extr´emit´es par deux pinces qui lui imposent des efforts (forces et couples-efforts).

Soient ξ= (T_gL_g⁻¹)( ˙g)∈se(3) et donc ˙g = (T_eL_g)(ξ).

On suppose que ξ = u₁e₁ + u₂e₂ +u₃e₃ + e₄ o`u u₁, u₂, u₃ sont des commandes scalaires. Soit :

ξe=u₁ee₁+u₂ee₂+u₃ee₃+ee₄ =









0 −u₃ u₂ 1 u₃ 0 −u₁ 0

−u₂ u₁ 0 0

0 0 0 0







 ou :

JξK =u₁Je₁K+u₂Je₂K+u₃Je₃K+Je₄K= u₁ u₂ u₃ 1 0 0 T

. On a JξK =Mq˙ et ˙q=M⁻¹JξK.

SoitT = ¹₂(c₁u²₁+c₂u²₂+c₃u²₃) l’´energie ´elastique de la tringle o`uc₁, c₂, c₃ sont des constantes strictement positives.

Pour trouver la forme spatiale de la triangle il faut r´esoudre le probl`eme de commande optimale :

D´eterminer l’application [0 1]⊂R

t

−→q 7−→ R⁶

q(t) par r´esolution de l’´equation d’´etat :

˙

q =M⁻¹JξK =M⁻¹ u₁ u₂ u₃ 1 0 0 T

, avec q(0) = 0 et q(1) =b (impos´e) et en mimimisantR1

0 T(t)dt.

Soit p = p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ T

∈ R⁶ l’´etat adjoint et H l’hamilto-nien de ce probl`eme de commande :

H=p^T q˙−T =p^T M⁻¹ u₁ u₂ u₃ 1 0 0 T

−T. Etant donn´´ e que :

H= (p₁m¯⁻¹₁₁ +p₂m¯⁻¹₂₁ +p₃m¯⁻¹₃₁)u₁+ (p₁m¯⁻¹₁₂ +p₂m¯⁻¹₂₂ +p₃m¯⁻¹₃₂)u₂ + (p₁m¯⁻¹₁₃ +p₂m¯⁻¹₂₃ +p₃m¯⁻¹₃₃)u₁+ (p₄r₁₁+p₅r₂₁+p₆r₃₁)

− ¹₂(c₁u²₁+c₂u²₂+c₃u²₃) les conditions n´ecessaires de mimimisation sont :

∂H

Consid´erons l’application moment : T^∗G

(q, p) Equation de r´´ eduction de Lie-Poisson

Etant donn´´ e que :

Jad^∗_ξK=

Il s’agit de l’´equation de r´eduction de Lie-Poisson ´ecrite sous la forme d’un syst`eme diff´erentiel.

Remarque : on a aussi :

on retrouve, grˆace `a la valeur des coeffi-cients de structure donn´es pr´ec´edemment :

dζ^∗₁

Premi`ere ´equation de reconstruction de Lie-Poisson

Une foisζ^∗obtenu par r´esolution du syst`eme diff´erentiel pr´ec´edent `a partir de conditions initiales ζ^∗(0) impos´ees on d´etermine q – et donc la forme de la tringle – grˆace `a la r´esolution de la premi`ere ´equation de reconstruction de Lie-Poisson qui s’´ecrit :

˙

δζ^∗ K soit, plus explicitement :

˙

Il s’agit tout simplement de la moiti´e des ´equations de Hamilton³⁷⁷ :

˙

Remarque : cette premi`ere ´equation de reconstruction de Lie-Poisson est en g´en´eral pr´esent´ee par les diff´erents auteurs qui traitent de ce probl`eme ou d’un probl`eme voisin sous la forme :

377. l’autre moiti´e ´etant ˙p1=−^{∂H(q, p)}_∂q

1 , ... et ˙p6=−^{∂H(q, p)}_∂q

6

gg⁻¹eg˙ =ξeoueg˙ =egξ, soit, plus explicitement :e

La r´esolution de la seconde ´equation de reconstruction de Lie-Poisson est inutile pour d´eterminer la forme de la tringle.

Remarque : on peut r´esoudre le syst`eme diff´erentiel qui correspond `a l’´equation de r´eduction grˆace aux fonctions elliptiques pour d´eterminer ana-lytiquement ζ^∗(t). Par contre la r´esolution de la premi`ere ´equation de recons-truction pour d´etermineranalytiquement q(t) est visiblement hors de port´ee ; la d´etermination de la forme de la tringle doit donc se faire num´eriquement.

Cependant dans le cas d’une tringle plane la r´esolution analytique est possible [62] et [63].

12.12.1 Cas d’utilisation des angles d’Euler classiques ψ, θ, ϕpour l’orientation et des coordonn´ees cartesiennes x, y, z pour la position

L’´equation de r´eduction de Lie-Poisson est celle du cas g´en´eral et la premi`ere ´equation de reconstruction de Lie-Poisson s’´ecrit :

ψ˙ = _c¹

12.12.2 Cas d’utilisation des angles de Bryantλ, µ, ν pour l’orien-tation et des coordonn´ees cartesiennes x, y, z pour la po-sition

L’´equation de r´eduction de Lie-Poisson est celle du cas g´en´eral et la premi`ere ´equation de reconstruction de Lie-Poisson s’´ecrit :

λ˙ = _c¹

1

cos(ν)

cos(µ)ζ₁^∗− _c¹

2

sin(ν) cos(µ)ζ₂^∗,

˙ µ= _c¹

1 sin(ν)ζ₁^∗+ _c¹

2 cos(ν)ζ₂^∗,

˙ ν=−_c¹

1

sin(µ) cos(ν)

cos(µ) ζ₁^∗+ _c¹

2

sin(µ) sin(ν)

cos(µ) ζ₂^∗+_c¹

3 ζ₃^∗,

˙

x= cos(µ) cos(ν),

˙

y= cos(λ) sin(ν) + sin(λ) sin(µ) cos(ν),

˙

z = sin(λ) sin(ν)−cos(λ) sin(µ) cos(ν).

Annexe : Les vari´et´es de Poisson et les diff´erents crochets Vari´et´es de Poisson

•T^∗M, T^∗N, T^∗P (et en particulier T^∗G) sont des vari´et´es de Poisson.

•g^∗ =T_e^∗G est une vari´et´e de Poisson.

Diff´erents crochets

Sur les alg`ebres de Lie de champs de vecteurs diff´erentiels

•[, ] crochet de Jacobi-Lie sur l’alg`ebre de Lie X(M) ou X(G)

•[, ] crochet de Jacobi-Lie sur l’alg`ebre de Lie X(T^∗M) ou X(T^∗G)

•[, ] crochet de Jacobi-Lie sur l’alg`ebre de Lie P(T^∗M) ou P(T^∗G)

•[, ] crochet de Jacobi-Lie sur l’alg`ebre de Lie H(T^∗M) ou H(T^∗G)

•[, ] crochet de Jacobi-Lie sur l’alg`ebre de Lie XL(G)

•[, ] crochet de Jacobi-Lie sur l’alg`ebre de Lie X_R(G)

•[, ] crochet de Jacobi-Lie sur l’alg`ebre de Lie X(g^∗)

Sur les alg`ebres de Lie de fonctions num´eriques diff´erentielles

• {, } crochet de Poisson quelconque sur F(T^∗M)

• {, }_can crochet de Poisson canonique sur F(T^∗M)

• {, } crochet de Poisson quelconque sur F(g^∗)

• {, } crochet de Poisson quelconque sur L(T^∗M)

• {, }₊ crochet de Lie-Poisson sur F(g^∗₊)

• {, }₋ crochet de Lie-Poisson sur F(g^∗₋) Sur l’alg`ebre de Lie g

•[, ]^L crochet de Lie sur l’alg`ebre de Lie g

•[, ]^R crochet de Lie sur l’alg`ebre de Lie g

•[, ] = [,]^L =−[, ]^R crochet de Lie sur l’alg`ebre de Lie g

Annexe : Principales notations et relations Vari´et´es quelconques

M, N, P vari´et´es diff´erentielles quelconques.

x∈M, y∈N, z ∈P.

T_xM, T_yN, T_zP espaces tangents `aM, N, P aux points x, y, z.

v_x ∈T_xM, w_y ∈T_yN, u_z ∈T_zP.

T M, T N, T P fibr´es tangents `aM, N, P. v ∈T M, w∈T N, u∈T P.

F(M), F(N) alg`ebres de Lie des applications num´eriques diff´erentielles sur M, N.

U, V ∈ F(M) ;U⁰, V⁰ ∈ F(N).

X(M),X(N) alg`ebres de Lie des champs de vecteurs sur M, N, dot´ees du crochet de Jacobi-Lie [, ].

X, Y, σM = C(σ), σ⁰_M = C(σ⁰), µM = C(µ), νM = C(ν) ∈ X(M) ; X⁰, Y⁰ ∈ X(N).

LXU =X[U]∈ F(M) d´eriv´ee de Lie deU selon X.

L_XY ∈ X(M) d´eriv´ee de Lie de Y selon X.

[X, Y] =L_XY ∈ X(M) crochet de Jacobi-Lie.

T_x^∗M, T_y^∗N, T_z^∗P espaces cotangents `a M, N, P aux points x, y, z.

v_x^∗ ∈T_x^∗M,w^∗_y ∈T_y^∗N, u^∗_z ∈T_z^∗P.

T^∗M, T^∗N, T^∗P fibr´es cotangents `aM, N, P ; vari´et´es de Poisson.

v^∗ ∈T^∗M, w^∗ ∈T^∗N, u^∗ ∈T^∗P.

F(T^∗M) alg`ebre de Lie des applications num´eriques diff´erentielles sur T^∗M, dot´ee du crochet de Poisson {, }.

L(T^∗M) alg`ebre de Lie des applications num´eriques diff´erentielles sur T^∗M lin´eaires sur les fibres de T^∗M, dot´ee du crochet de Poisson {, }.

F, G, H, {F, G}, · · · ∈ F(T^∗M).

P(X), P(σ_M), P(σ⁰_M),P(µ_M), P(ν_M)∈ F(T^∗M) fonctions moments.

X(T^∗M), X(T^∗N) alg`ebres de Lie des champs de vecteurs surT^∗M, T^∗N, dot´ees du crochet de Jacobi-Lie [,].

P(T^∗M) = {X ∈ X(T^∗M)|X[{F, G}] = {X[F], G} + {F,X[G]}}

alg`ebre de Lie des automorphismes de Poisson infinit´esimaux surT^∗M, dot´ee du crochet de Jacobi-Lie [, ].

H(T^∗M) ={X_H ∈ P(T^∗M)|H∈ F(T^∗M)}l’alg`ebre de Lie des champs de vecteurs hamiltoniens sur T^∗M, dot´ee du crochet de Jacobi-Lie [, ].

X, Y, σ_T^∗_M =D(σ), σ_T⁰∗M =D(σ⁰)∈ X(T^∗M) ; X⁰, Y⁰ ∈ X(T^∗N).

LXF=X[F]∈ F(T^∗M) d´eriv´ee de Lie de Fselon X.

L_XY ∈ X(T^∗M) d´eriv´ee de Lie deY selon X.

[X, Y] =L_XY ∈ X(T^∗M) crochet de Jacobi-Lie.

X_H ∈ X(T^∗M) champ de vecteurs hamiltonien de H.

X_H[F] ={F, H} ∈ F(T^∗M).

XP(X) ∈ H(T^∗M) rel`evement cotangent sur T^∗M deX surM. {F, G}_can crochet de Poisson canonique.

Groupe de Lie

Ggroupe de Lie, d’op´eration ·.

e, g, h, k∈G (e´el´ement neutre).

L_h translation `a gauche, R<sub>h</sub> translation `a droite et I_h automorphisme int´erieur : L_h(g) =h·g, R_h(g) = g·h, I_h(g) = h·g·h⁻¹.

T_gG, T_hG, T_kG, Tg·hG, Th·gG espaces tangents `a G aux points g, h, k, g·h, h·g.

v_g, v⁰_g, v_g⁰⁰, v_g⁰⁰⁰ ∈T_gG, w_h ∈T_hG, u_k ∈ T_kG, ag·h ∈ Tg·hG, bh·g ∈Th·gG et, en particulier ˙g = ^dg_dt ∈T_gG, ˙h= ^dh_dt ∈T_hG, ^d(g·h)_dt ∈T_g·hGet ^d(h·g)_dt ∈T_h·gG.

ag·h = (T_gR_h)(v_g),bh·g = (T_gL_h)(v_g).

T Gfibr´e tangent.

v, w, a, b∈T G, avec a= (T R_h)(v), b= (T L_h)(v).

g = T_eG alg`ebre de Lie du groupe de Lie G, dot´ee du crochet de Lie [, ] = [, ]^L =−[, ]^R.

Dansg on consid`ere les ´el´ements suivants :

•σ, σ⁰ (g´en´eriques et ind´ependants),

• pour une conception `a gauche : µ, µ⁰ (g´en´eriques et ind´ependants) et ζ, θ, δ, ξ, χ (particuliers) et

• pour une conception `a droite : ν, ν⁰ (g´en´eriques et ind´ependants) et α, β, ε, η, κ (particuliers).

v_g = (T_eL_g)(ζ) = (T_eR_g)(α), v_g⁰ = (T_eL_g)(θ) = (T_eR_g)(β), v_g⁰⁰ = (T_eR_g)(ζ),

v_g⁰⁰⁰ = (T_eL_g)(α). Et, en particulier :

˙

g = (T_eL_g)(ξ),

˙

g = (T_eR_g)(η).

ζ = (T_gL_g⁻¹)(v_g) = (T_gR_g⁻¹)(v_g⁰⁰), θ= (T_gL_g⁻¹)(v_g⁰),

α= (T_gR_g⁻¹)(v_g) = (T_gL_g⁻¹)(v⁰⁰⁰_g), β = (TgR_g⁻¹)(v_g⁰). Et, en particulier : ξ= (T_gL_g⁻¹)( ˙g),

η= (TgR_g⁻¹)( ˙g).

Ad_h =T_eI_h.

Ad_h = (T_hR_h⁻¹)◦(T_eL_h) = (T_h⁻¹L_h)◦(T_eR_h⁻¹) et Ad_h⁻¹ = (T_h⁻¹R_h)◦(T_eL_h⁻¹) = (T_hL_h⁻¹)◦(T_eR_h).

ν= Ad_h(µ), ν⁰ = Ad_h(µ⁰),

µ= Ad⁻¹_h (ν) = Ad_h⁻¹(ν), µ⁰ = Ad⁻¹_h (ν⁰) = Ad_h⁻¹(ν⁰) α= Ad_g(ζ).

ζ = Ad⁻¹_g (α) = Ad_g⁻¹(α).

β = Ad_g(θ).

θ= Ad⁻¹_g (β) = Ad_g⁻¹(β). Et, en particulier : η= Ad_g(ξ).

ξ= Ad⁻¹_g (η) = Ad_g⁻¹(η).

Ad_h([µ, µ⁰]) = [Ad_h(µ),Ad_h(µ⁰)] = [ν, ν⁰].

exp(ν) = exp(Ad_h(µ)) =h·exp(µ)·h⁻¹. ad_σ = _dt^d|_t=0Ad_{exp(t σ)}.

ad_σ⁰ = _dt^d|_t=0Ad_{exp(t σ}⁰₎.

•`a gauche :

[µ, µ⁰] = ad_µ(µ⁰).

δ ,ad_ζ(θ),[ζ, θ] =−[θ, ζ] =−ad_θ(ζ), χ,adξ(ζ),[ξ, ζ] =−[ζ, ξ] =−adζ(ξ),

•`a droite :

[ν, ν⁰] = ad_ν(ν⁰).

ε ,ad_α(β),[α, β] =−[β, α] =−ad_β(α), κ ,ad_η(α),[η, α] =−[α, η] =−ad_α(η).

•Ad_g(δ) = Ad_g[ζ, θ] = [Ad_g(ζ), Ad_g(θ)] = [α, β] = ad_α(β) =ε.

Ad_g(ad_ζ(θ)) = ad_α(Ad_g(θ)).

Adg◦adζ = adα◦Adg.

Ad_g(χ) = Ad_g[ξ, ζ] = [Ad_g(ξ), Ad_g(ζ)] = [η, α] = ad_η(α) = κ.

Ad_g(ad_ξ(ζ)) = ad_η(Ad_g(ζ)).

Adg◦adξ = adη ◦Adg. δ= Ad⁻¹_g (ε) = Ad_g⁻¹(ε).

ad_ζ◦Ad_g⁻¹ = Ad_g⁻¹ ◦ad_α. χ= Ad⁻¹_g (κ) = Ad_g⁻¹(κ).

ad_ξ◦Ad_g⁻¹ = Ad_g⁻¹ ◦ad_η. Champs de vecteurs

X(G) alg`ebre de Lie des champs de vecteurs sur G, dot´ee du crochet de Jacobi-Lie [,].

X_L(G) sous-alg`ebre de Lie des champs de vecteurs sur G, invariants `a gauche, dot´ee du crochet de Jacobi-Lie [,].

X_R(G) sous-alg`ebre de Lie des champs de vecteurs sur G, invariants `a droite, dot´ee du crochet de Jacobi-Lie [, ].

X, Y ∈ X(G).

X^L, X^0L, X_σ^L, X_σ^L0 ∈ XL(G).

X^R, X^0R, X_σ^R, X_σ^R0 ∈ X_R(G).

X_h·g^L = (T_gL_h)(X_g^L), X_g·h^R = (T_gR_h)(X_g^R), X_σh^L = (T_eL_h)(σ), X_σh^R = (T_eR_h)(σ).

X_ζg^L = (T_eL_g)(ζ) = X_αg^R = (T_eR_g)(α) = v_g, X_θg^L = (T_eL_g)(θ) =X_βg^R = (T_eR_g)(β) = v_g⁰, X_αg^L = (T_eL_g)(α) = v_g⁰⁰⁰,

X_ζg^R = (T_eR_g)(ζ) =v_g⁰⁰,

X_βg^L = (T_eL_g)(β) et X_θg^R = (T_eR_g)(θ), En particulier :

X_ξg^L = (TeLg)(ξ) = X_ηg^R = (TeRg)(η) = ˙g, X_ηg^L = (T_eL_g)(η),

X_ξg^R = (T_eR_g)(ξ).

T_g^∗G, T_h^∗G, T_k^∗G, T_g·h^∗ G, T_h·g^∗ Gespaces cotangents `a G aux points g, h, k, g·h, h·g.

v_g^∗ ∈T_g^∗G, w^∗_h ∈T_h^∗G, u^∗_k ∈T_k^∗G, a^∗_g·h ∈T_g·h^∗ G,b^∗_h·g ∈T_h·g^∗ G.

v_g^∗ = (T_g^∗R_h)(a^∗_g·h) = (T_g^∗L_h)(b^∗_h·g).

g^∗ =T_e^∗G vari´et´e de Poisson.

Dansg^∗ on consid`ere les ´el´ements suivants :

•σ^∗, σ^0∗ (g´en´eriques et ind´ependants),

•pour une conception `a gauche : µ^∗, µ^0∗ (g´en´eriques et ind´ependants) et ζ^∗, θ^∗, δ^∗, ξ^∗, χ^∗ (particuliers) et

• pour une conception `a droite : ν^∗, ν^0∗ (g´en´eriques et ind´ependants) et α^∗, β^∗, ε^∗, η^∗, κ^∗ (particuliers).

ζ^∗ = (T_e^∗L_g)(v_g^∗) = (T_e^∗R_g)(v_g^00∗) α^∗ = (T_e^∗R_g)(v_g^∗) = (T_e^∗L_g)(v_g^000∗), θ^∗ = (T_e^∗L_g)(v_g^0∗)

β^∗ = (T_e^∗R_g)(v⁰_g^∗). Et, en particulier : v_g^∗ = (T_g^∗L_g⁻¹)(ζ^∗) = (T_g^∗R_g⁻¹)(α^∗), v_g^0∗ = (T_g^∗L_g⁻¹)(θ^∗) = (T_g^∗R_g⁻¹)(β^∗), v_g^00∗ = (T_g^∗R_g⁻¹)(ζ^∗),

v_g^000∗ = (T_g^∗L_g⁻¹)(α^∗).

µ^∗ = Ad^∗_h(ν^∗), ν^∗ = Ad^∗_h−1(µ^∗), µ^0∗ = Ad^∗_h(ν^0∗), ν^0∗ = Ad^∗_h⁻¹(µ^0∗).

α^∗ = Ad^∗_g−1(ζ^∗).

ζ^∗ = Ad^∗_g(α^∗).

β^∗ = Ad^∗_g−1(θ^∗).

θ^∗ = Ad^∗_g(β^∗).

ad^∗_ζ◦Ad^∗_g = Ad^∗_g◦ad^∗_α. Ad^∗_g⁻¹ ◦ad^∗_ζ = ad^∗_α◦Ad^∗_g⁻¹. v^∗ = (T^∗R_h)(a^∗) = (T^∗L_h)(b^∗).

En particulier η^∗ = Ad^∗_g−1(ξ^∗).

ξ^∗ = Ad^∗_g(η^∗).

ad^∗_ξ◦Ad^∗_g = Ad^∗_g◦ad^∗_η. Ad^∗_g⁻¹ ◦ad^∗_ξ = ad^∗_η ◦Ad^∗_g⁻¹. θ^∗ = ad^∗_ζ(δ^∗), β^∗ = ad^∗_α(ε^∗).

F(g^∗) alg`ebre de Lie des applications num´eriques diff´erentielles sur g^∗, dot´ee du crochet de Poisson {, }.

F(g^∗₊) alg`ebre de Lie des applications num´eriques diff´erentielles sur g^∗₊, dot´ee du crochet de Lie-Poisson{, }₊.

F(g^∗₋) alg`ebre de Lie des applications num´eriques diff´erentielles sur g^∗₋, dot´ee du crochet de Lie-Poisson{, }₋.

L(g^∗) alg`ebre de Lie des applications num´eriques lin´eaires sur g^∗, dot´ee du crochet de Poisson {, }.

L(g^∗₊) alg`ebre de Lie des applications num´eriques lin´eaires sur g^∗₊, dot´ee du crochet de Lie-Poisson {, }₊.

L(g^∗₋) alg`ebre de Lie des applications num´eriques lin´eaires sur g^∗₋, dot´ee du crochet de Lie-Poisson {, }₋.

F, G, H, X_H[F] ={F, H} ∈ F(g^∗).

F⁺, G⁺, H⁺, {F⁺, H⁺}₊ ∈ F(g^∗₊).

F⁻, G⁻, H⁻, {F⁻, H⁻}₋ ∈ F(g^∗₋).

X(g^∗) alg`ebre de Lie des champs de vecteurs sur g^∗, dot´ee du crochet de Jacobi-Lie [,].

XH ∈ X(g^∗) champ de vecteur hamiltonien.

T^∗G fibr´e cotangent : vari´ete de Poisson.

v^∗, w^∗, a^∗, b^∗ ∈T^∗G.

F(T^∗G) alg`ebre de Lie des applications num´eriques diff´erentielles sur T^∗G, dot´ee du crochet de Poisson {, }.

F_L(T^∗G) alg`ebre de Lie des applications num´eriques diff´erentielles sur T<sup>∗</sup>G invariantes `a gauche, dot´ee du crochet de Poisson {, }.

F_R(T^∗G) alg`ebre de Lie des applications num´eriques diff´erentielles sur T<sup>∗</sup>G invariantes `a droite, dot´ee du crochet de Poisson {, }.

L(T^∗G) alg`ebre de Lie des applications num´eriques diff´erentielles surT^∗G lin´eaires sur les fibres de T^∗G, dot´ee du crochet de Poisson {,}.

F, G, H, X_H[F] ={F, H} ∈ F(T^∗G).

J_µ⁺ =P(µ_G), J_ν⁻ =P(ν_G), J_α⁺=P(α_G) =P(X_α^R), J_ζ⁻=P(ζ_G) =P(−X_ζ^L)∈ F(T^∗G) fonctions moments.

X(T^∗G) ensemble des champs de vecteurs sur T^∗G.

µ_T^∗_G = XP(µ_G) = X_J⁺

µ, ν_T^∗_G = XP(ν_G) = X_J⁻

ν ∈ X(T^∗G) champs de vecteurs hamiltoniens.

µ^∗ =J⁺(v^∗) et µ^0∗ =J⁺(v^0∗) = Ad^∗_h−1(µ^∗) (donc µ^0∗ =ν^∗).

ν^0∗ =J⁻(v^0∗) et ν^∗ =J⁻(v^∗) = Ad^∗_h(ν^0∗) (donc ν^∗ =µ^0∗).

Equations (I), (II) (III) et (IV)´

Soient les deux courbes diff´erentiellesind´ependantes : Rt

−→g 7−→ G

g(t)

etR

t

−→ζ 7−→ g

ζ(t)

.

Etant donn´´ e que α(t),Ad_g(t)(ζ(t)) on en d´eduit, avec : ξ(t) = (T_g(t)L_g⁻¹_(t))( ˙g(t)) et η(t) = (T_g(t)R_g⁻¹_(t))( ˙g(t)) :

d

dtα(t) = _dt^d Ad_g(t)(ζ(t)) = Ad_g(t)(ad_ξ(t)(ζ(t)) + _dt^d ζ(t))

= Ad_g(t)([ξ(t), ζ(t)] + _dt^d ζ(t)) = Ad_g(t)(_dt^d ζ(t)) + [η(t), α(t)] (I).

d

dtα^∗(t) = _dt^d Ad^∗_g−1(t)(ζ^∗(t)) = Ad^∗_g−1(t)(−ad^∗_ξ(t)(ζ^∗(t)) + _dt^d ζ^∗(t)) (II).

Soient les deux courbes diff´erentiellesind´ependantes : Rt

−→g 7−→ G

g(t) etR

t

−→α 7−→ g

ζ(t)

.

Etant donn´´ e que ζ(t),Ad_g⁻¹_(t)(α(t)) on en d´eduit, avec : ξ(t) = (Tg(t)L_g⁻¹_(t))( ˙g(t)) et η(t) = (Tg(t)R_g⁻¹_(t))( ˙g(t)) :

d

dtζ(t) = _dt^d Ad_g⁻¹_(t)(α(t)) = Ad_g⁻¹_(t)(−ad_η(t)(α(t)) + _dt^d α(t))

= Ad_g⁻¹_(t)(−[η(t), α(t)] + _dt^d α(t)) = Ad_g⁻¹_(t)(_dt^d α(t))−[ξ(t), ζ(t)] (III).

d

dtζ^∗(t) = _dt^d Ad^∗_g(t)(α^∗(t)) = Ad^∗_g(t)(ad^∗_η(t)(α^∗(t)) + _dt^d α^∗(t)) (IV).

{F⁻, H⁻}−(ζ^∗) =<ad^∗_δH−

δζ∗ (ζ^∗), ^δF_δζ∗⁻ >; ζ^∗ ∈g^∗₋; F⁻, H⁻∈ F(g^∗₋).

{F⁺, H⁺}₊(α^∗) = −<ad^∗_δH+

δα∗(α^∗), ^δF_δα⁺∗ >; α^∗ ∈g^∗₊. ; F⁺, H⁺∈ F(g^∗₊)

d

dtζ^∗(t) = ad^∗δH−

δζ∗ (ζ^∗(t)) ; H⁻ ∈ F(g^∗₋)´equation de r´eduction de Lie-Poisson, `a gauche.

d

dtα^∗(t) = −ad^∗δH+

δα∗ (α^∗(t)) ; H⁺ ∈ F(g^∗₊) ´equation de r´eduction de Lie-Poisson, `a droite.

c^k_ij coefficients de structure.

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Dans le document Étude des groupes et algèbres de Lie. Théorème de réduction/reconstruction de Lie-Poisson. Application aux groupes spécial orthogonal SO(3) et spécial euclidien SE(3) et à leurs algèbres so(3) et se(3). (Page 172-192)