ELABORATION DES PROPOSITIONS ADAPTEES AUX RISQUES ENVIRONNEMENTAUX ET AUX FONCTIONNEMENTS DES EXPLOITATIONS

O acionamento de uma bomba levará a mudança de regime de um líquido escoando na tubu- lação para o regime transiente. No caso de separador ciclônico há necessidade de acionar uma bomba periodicamente para que seja mantido um nível adequado em seu interior. As condições para uma máquina de fluxo são:

H

a2 = constante

Q

a = constante (4.37)

onde H é o aumento de altura piezométrica realizado pela bomba e α é frequência de trabalho da bomba normalizada por sua frequência nominal. A curva da bomba será modelada pela seguinte equação:

HP 2(1) − HP 1(NS) = α2HS+ a1αQP 1(NS) + a2Q2P 1(NS) (4.38)

Combinando a equação 4.38 com as equações 4.26 e 4.27, chega-se a:

QP 1(NS) = B1+ B2− a1α 2a2 1 − s 1 −4a2(α2HS+ CP 1− CM 2) (B1+ B2− a1α)2 ! (4.39) No caso em que a bomba está operando diretamente no reservatório de líquido, a equação acima pode ser simplificada pela eliminação da equação de compatibilidade C+_.

4.3.1 Tubulação com bomba centrífuga na extremidade inicial e uma válvula na extremidade final

Considere, agora, que o líquido será bombeado por uma tubulação e que em sua extremidade final há uma válvula. Tanto o acionamento da bomba quanto a abertura ou fechamento da válvula irão causar transientes no escoamento do líquido. As condições de contorno do problema devem levar em conta esses dois equipamentos de forma que as equações apresentadas até aqui, possam ser usadas para determinar o comportamento do líquido em termos de altura piezométrica H e da vazão Q do líquido no interior da tubulação. Esse tipo de arranjo é o que é esperado para separadores ciclônicos submersos. Nesse tipo de separador há uma bomba submersa utilizada para bombear a fase líquida já separada através de sua tubulação. No caso de não ser utilizado uma válvula na tubulação, a análise apresentada a seguir continua sendo válida já que essa caso é equivalente ao de uma tubulação com a válvula sempre aberta.

Seja, então, o sistema descrito composto por uma bomba e que gere uma elevação máxima de altura piezométrica igual a H . Suponha, ainda que essa bomba que esteja trabalhando para

gerar uma altura HRa uma vazão Q0. A bomba está acoplada a uma tubulação de diâmetro D e

comprimento L e tem em sua extremidade uma válvula conforme mostrado na Figura 4.6.

Figura 4.6: sistema formado de bomba e válvula

A tubulação é dividida em N partes de comprimento ∆x, de forma que o passo temporal a ser computado será ∆t = ∆x/a. Como condição de contorno na extremidade inicial, onde é acoplada a bomba, utiliza-se a equação 4.38. Observe que neste caso a bomba não está na junção de dois tubos, mas diretamente no reservatório, de forma que a equação poderá ser simplificada, logo:

Hp(1) = α2HS+ a1αQP(1) + a2Q2P(1) (4.40)

onde a1e a2são parâmetros a serem determinados experimentalmente ou obtidos a partir da curva

característica da altura manométrica da bomba a ser adotada num caso prático. Em alguns casos, por exemplo quando a vazão for bastante significativa, a constante a1poderá ser desprezada. Uma

forma de se encontrar o valor para a2, neste caso, prevista pela literatura [Wylie e Streeter 1978]

é:

a2 =

HR− HS

Q2₀ (4.41)

Como o bombeamento do líquido é realizado diretamente a partir do reservatório a equação 4.39 poderá ser reescrita da seguinte forma:

QP(1) = B 2a2  1 − s 1 −4a2(α2HS− CM) B2   (4.42) onde CM = H(2) − BQ(2) + RQ(2)|Q(2)|

Para as condições de contorno na extremidade final da tubulação considere a linha de base da elevação da altura piezométrico sobre a válvula. A equação da vazão em função da abertura da válvula para um escoamento em regime permanente é dada por:

Q0 = (CdAG)₀

p

2gH0 (4.43)

em regime permanente; e (CdAG)0 é a área da abertura total da válvula multiplicada por um

coeficiente de descarga (Cd). De forma geral, tem-se que;

QP = CdAG

p

2g∆H (4.44) onde ∆H é a perda de carga instantânea sobre a válvula. Definindo-se uma quantidade adimen- sional de abertura da válvula tal que:

τ = CdAG

(CdAG)₀ (4.45)

as equações 4.43 e 4.44 poderão ser combinadas da seguinte forma:

QP = Q0τ

s

∆H

H0 (4.46)

Com essa equação pode-se inferir que a vazão será zero quando τ = 0 e máxima quando τ = 1. Considere agora um ponto ao longo da tubulação de escoamento do líquido correspondente a n−1, sendo n o enésimo ponto obtido para um tubulação divida em N segmentos. No ponto n + 1 será observada um queda instantânea ∆H é dada por:

∆H = HP(n + 1) (4.47)

Com base nesse valor da variação da altura piezométrica no ponto n + 1 a equação da vazão na válvula pode ser reescrita, logo:

QP(n + 1) = Q0τ s HP(n + 1) H0 (4.48) ou Q2_P(n + 1) = (Q0t) 2 H0 HP(n + 1) (4.49)

Sendo o valor HP(n + 1) = CP− BQP(n + 1) dado pela equação 4.26, chega-se à equação para

determinação da vazão do líquido no ponto n + 1 como sendo:

Q2_P(n + 1) +(Q0t) 2 H0 BQP(n + 1) − (Q0 t)2 H0 CP = 0 (4.50)

A resolução desta última equação leva ao valor da vazão procurado

QP(n + 1) = −BCv+ q (BCv)2+ 2CvCP (4.51) onde defini-se Cv = (Q0τ ) 2 H0 .

Cv, ou seja, o valor de H0. Esse valor corresponde à perda inicial de carga sobre a válvula quando

o fluxo do líquido estiver em regime permanente, portanto:

H0= HR−

f L D

Q02

2gA2 (4.52)

Vale ressaltar que as condições iniciais de H e Q, ou seja H(1), H(2), ..., H(n+1) e Q(1), Q(2) , ..., Q(n+ 1) poderão ser obtidas admitindo-se esses valores iguais ao do regime permanente no instante t = 0.

4.3.2 Atenuação devida a atrito elevado

Para um escoamento não permanente em que a perda de energia devida a efeitos viscosos é significante, a aproximação de primeira ordem apresentada na seção 4.1.1 e admitida até agora, não será suficiente para descrever o comportamento do fluido. Na discussão apresentada, considerou-se a equação integral do comportamento do líquido como sendo:

Z HP HA dH+ a gA Z QP QA dQ+ f 2gDA2 Z xP xA Q|Q|dx= 0 (4.53)

e uma aproximação de primeira ordem na seguinte forma:

Z x_P

xA

Q|Q|dx= Q|Q|∆x (4.54)

Essa aproximação perderá sua validade [Wylie e Streeter 1978], por exemplo, para o escoamento de alguns óleos, para escoamento em tubulações curtas de diâmetro pequeno com fluidos de alta viscosidade ou em casos de velocidades de escoamento muito baixas. Um método sugerido pelo autor para se avaliar a acurácia da aproximação de primeira ordem, é a avaliação do passo temporal de discretização seguindo o seguinte critério guia:

f∆tQ

4DA ≤1 (4.55) onde Q é o escoamento médio.

Na maioria dos casos no entanto, o lado esquerdo da equação 4.55 é muito menor que a unidade. Mas nos casos em que os efeitos do atrito são significativos a acurácia da solução pode ser melhorada garantindo-se sua estabilidade pela utilização de uma aproximação de segunda ordem para integral da equação 4.53. Seja então, a seguinte aproximação:

Z xP

xA

Q|Q|dx= (QA+ QP)|QA+ QP|∆x (4.56)

(

C+: HP − HA− B(QP − QA) + R(QA+ QP)|QA+ QP|= 0

C− : HP − HB− B(QP − QB) + R(QB+ QP)|QB+ QP|= 0

(4.57) Uma solução numérica poderá ser utilizada para se chegar ao valor da vazão QP. Para tanto,

considere a função F obtida a partir da subtração das equações características C+ _{e C}−_:

F = HB− HA− B(2QP − QA− QB) +

R

4 ((QA+ QP)|QA+ QP|+ (QB+ QP)|QB+ QP|) = 0

(4.58) Para solução de QP utiliza-se o método de Newton, começando por um valor estimado para

cada passo temporal. Esse valor será sucessivamente corrigido aplicando-se uma correção iterativa até que o valor de F esteja arbitrariamente próximo a zero. A correção será realizada pela seguinte relação: F+ dF dQ_p∆Q = 0 (4.59) onde dF dQ_p = 2B + R 2(|QA+ QP|+ |QB+ QP|)