Estas atividades foram elaboradas, baseadas na apostila do Sistema Sigma (2002), com o intuito de trabalhar, com os alunos, a idéia de que adicionando quantidades iguais, a dois conjuntos distintos, não alteramos a diferença entre eles.
3.3.1 Análise a
Esperamos utilizar três aulas, de cinqüenta minutos cada uma, para aplicar estas atividades.
Inicialmente, o professor escolherá dois alunos, de preferência que tenham uma boa diferença de altura. Medirá os dois, anotará as alturas na lousa e calculará a diferença entre elas. Em seguida pegará dois banquinhos (ou cadeiras) de mesma altura e os medirá. Pede para que os alunos calculem com que altura os alunos, medidos anteriormente, ficariam se subissem nos banquinhos. Então, pede para que os alunos subam nos banquinhos e os mede. É provável que haja uma pequena diferença entre a altura calculada e a altura medida, sendo necessária a intervenção do professor explicando que a medida feita com a fita métrica nem sempre é exata e que alguns fatores podem gerar essas pequenas diferenças (postura do aluno, posição da fita, distância da parede, etc.). Calcula, novamente, a diferença entre as alturas (essa diferença pode ser medida ao invés de ser calculada). Espera<se que os alunos percebam que aumentando a mesma medida nas duas alturas não alteramos a diferença entre elas. Em seguida, os alunos, em duplas, repetirão a atividade, medindo, eles mesmos, as alturas e calculando as diferenças. Esperamos que essa interação faça com que eles se envolvam mais com a atividade e os ajude a compreender a propriedade da invariância da diferença.
Na atividade 2A, alguns alunos serão selecionados, ao acaso, para formarem dois grupos com quantidades diferentes de pessoas, de modo que sobre uma quantidade par de alunos que não pertençam aos grupos. Eles deverão observar quantas pessoas há em cada grupo e qual a diferença entre essas quantidades. A seguir serão adicionadas quantidades iguais de alunos em cada grupo. Observarão, novamente, com quantos alunos ficou cada um e deverão recalcular a diferença entre eles. Este procedimento deverá ser repetido até todos os alunos da classe pertencerem a algum grupo. Espera<se que os alunos percebam que, incluindo quantidades iguais de elementos aos grupos, a diferença entre eles não se altera. Esta atividade deverá ser repetida formando<se grupos com quantidades iguais de elementos (atividade 2B), e então inclui<se ou retira<se quantidades iguais de alunos dos grupos, a fim que percebam que a igualdade também não se altera.
Com essas atividades, esperamos proporcionar aos alunos uma variedade de situações nas quais ele possa vivenciar, compreender e dar sentido à propriedade da invariância da diferença. Segundo Vergnaud (1996), a encenação dos conceitos e procedimentos matemáticos é uma arte que se alimenta, tanto da psicologia social, como da epistemologia e da psicologia da matemática, e uma situação didática é, antes de mais nada, uma encenação interessante e rica. De acordo com o autor, a tese subjacente à Teoria dos Campos Conceituais é, contudo, a de que uma boa encenação didática se apóia necessariamente no conhecimento: da dificuldade relativa das tarefas cognitivas, dos obstáculos com que habitualmente se depara, do repertório dos procedimentos disponíveis e das representações possíveis.
Como não temos uma balança de pratos, a atividade 3 será apresentada na forma de desenho, na lousa e no papel, e serão calculadas as diferenças entre as quantidades de objetos e não entre os pesos dos mesmos. Como nas atividades anteriores, esperamos que os alunos percebam que, acrescentando quantidades iguais de objetos nos dois lados da balança, a diferença entre essas quantidades não se altera. Acreditamos que os alunos não terão dificuldade para perceber isto, pois, nesse momento, já terão passado pelas atividades anteriores e essa idéia já não será nova para eles.
Pretendemos, com estas atividades, levar o aluno a agir sobre as situações apresentadas, discutir e expressar sua opinião e refletir sobre os resultados encontrados. O professor deverá assumir o papel de mediador e criar condições para que o aluno seja o principal ator na construção de seus conhecimentos. Esperamos observar, de acordo com Brousseau (1996), momentos de ação, de formulação e de validação. Ao final das atividades o professor institucionalizará a propriedade da invariância da diferença, discutindo com os alunos os resultados das atividades e demonstrando sua validade.
3.3.2 Aplicação e análise a da Parte 2
Quando aplicamos a atividade 1, os 35 alunos da quinta série estavam presentes. Escolhemos dois alunos e medimos suas alturas utilizando uma trena. Para facilitar os cálculos, resolvemos utilizar as medidas em centímetros inteiros. O aluno maior media 154 cm e o menor 142 cm. As medidas foram riscadas na parede e anotadas na lousa.
Solicitamos aos demais alunos da sala que calculassem a diferença entre as alturas, e a um deles que resolvesse na lousa. Este calculou a diferença de 12 cm sem dificuldade. Pedimos então, que os dois alunos subissem em banquinhos que mediam 48 cm cada um. As novas alturas foram calculadas, medidas, riscadas na parede e anotadas na lousa. Como trabalhamos com arredondamentos, não houve diferença entre as alturas calculadas e medidas. Pedimos para os alunos que calculassem a diferença entre as novas alturas, 202 cm e 190 cm, e um deles registrou a subtração na lousa.
Perguntamos por que o resultado das duas subtrações havia sido o mesmo. A maioria dos alunos respondeu prontamente que era porque os dois haviam subido em banquinhos do mesmo tamanho, assim a diferença de altura entre eles continuava a mesma. Alguns faziam questão de mostrar, visualmente, a diferença entre as posições
do ombro de cada aluno, “ . ”, apontando a altura no ombro do
outro aluno.
Os alunos foram, então, separados em duplas, e com fitas métricas mediam a própria altura, no chão e sobre a cadeira, e calculavam a diferença entre a sua altura e a do parceiro. Nesse momento, por se tratar de muitos alunos, houve certo alvoroço na sala de aula, mas os alunos se mostraram interessados em realizar a tarefa. Algumas vezes o professor foi solicitado para ajudar no arredondamento da medida da altura. Essa atividade foi realizada em uma aula de 50 minutos.
A atividade 2 foi realizada em um outro dia, também em uma aula de 50 minutos. Formamos, inicialmente, dois grupos de alunos, um com 2 o outro com 7 alunos. Os alunos foram escolhidos aleatoriamente, e os grupos formados na frente da sala, um de cada lado, o grupo com 2 alunos ficou do lado esquerdo dos alunos e o com 7 do lado direito. Perguntamos a todos, qual grupo tinha mais participantes e quantos a mais.
Todos responderam que era o grupo da direita com 5 participantes a mais. Acrescentamos 3 alunos em cada grupo, e perguntamos quantos alunos havia agora em cada grupo, qual grupo tinha mais elementos e quantos a mais. Todos responderam que o grupo da esquerda tinha 5 elementos, o da direita tinha 10 e que o grupo da direita tinha 5 elementos a mais.
Acrescentamos, então, 10 alunos em cada grupo, não ficando assim, nenhum aluno sem pertencer a algum grupo. Perguntamos, novamente, quantos alunos havia agora em cada grupo, qual grupo tinha mais elementos e quantos a mais. Responderam que o grupo da esquerda tinha 15 elementos, o da direita tinha 20 e que o grupo da direita tinha 5 elementos a mais.
Perguntamos, dessa vez a um determinado aluno, porque a quantidade de elementos que o grupo da direita tinha a mais do que o grupo da esquerda continuava sempre igual, 5 alunos. Ele não teve dificuldade em responder que era porque, todas as vezes, incluímos quantidades iguais de alunos em cada grupo.
Repetimos a atividade, formando grupos com quantidades iguais de elementos. O decorrer da atividade se deu da mesma forma que a anterior, mas, em alguns momentos, ao invés de acrescentar, retiramos quantidades iguais de alunos de cada grupo. Os alunos se interessaram em participar da atividade e mostraram entender porque as quantidades de elementos dos dois grupos se mantinham iguais.
Em uma outra aula de cinqüenta minutos foi realizada a atividade 3, na qual foi entregue aos alunos um impresso com desenhos da balança de pratos. Explicamos aos alunos como essa balança funciona e que, para que ela fique equilibrada, é necessário que seja colocado o mesmo peso de cada lado. Então, começamos a fazer suposições:
< Temos dez objetos pesando um quilo cada um, se colocarmos quatro de um lado e seis do outro, para que lado a balança penderá?
< Se acrescentarmos um quilo de cada lado, mudará a posição da balança?
< Vamos tirar todos os objetos da balança e colocar 5 quilos de cada lado. O que acontecerá com a balança?
< Se tirarmos dois quilos de cada lado, mudará a posição da balança?
Os alunos participaram satisfatoriamente da atividade, a maioria respondia corretamente e, quando um aluno demonstrava não ter entendido a situação, os próprios alunos esclareciam suas dúvidas.
No mesmo dia, ao final dessa atividade, foi feita a recapitulação de todas as atividades, levantando os pontos em comum entre elas e enfatizando a propriedade da invariância da diferença. Foram apresentados exemplos de subtrações, para reforçar o fato que, somando o mesmo valor no minuendo e no subtraendo, o resultado não se altera. Exemplo:
18 + 10 = 28 28
< 15 + 10 = 25 < 25
03 03
Acreditamos ter proporcionado aos alunos uma situação didática descrita por Vergnaud (1996) como uma encenação interessante e rica, na qual eles tiveram oportunidade de se depararem com situações susceptíveis de dar sentido aos conceitos e procedimentos matemáticos envolvidos na propriedade da invariância da diferença.
Durante as três atividades observamos que houve interação entre os alunos, o professor e a situação apresentada. Estas atividades foram importantes e eficientes no intuito de fazer o aluno compreender que quando acrescentamos ou retiramos quantidades iguais de elementos a dois grupos distintos não alteramos a diferença entre eles. Os alunos agiram, trocaram informações, argumentaram, e se mostraram motivados a participar, contribuindo, assim, para a própria aprendizagem. Acreditamos que, por meio dessas atividades, levamos os alunos a vivenciar momentos de ação, formulação, validação e institucionalização, de acordo com as fases do processo de aprendizagem descritas por Brousseau (1996), e que estão preparados para utilizar a propriedade da invariância da diferença no algoritmo da compensação que iremos introduzir na próxima parte de nossa seqüência didática.