0.5 Topologie de certains espaces de Sobolev
0.5.1 Quelques ´el´ements bibliographiques
0.5.1.1 Topologie et Calcul des Variations
L’objet du Chapitre 4 de cette th`ese est l’´etude des classes d’homotopie des espaces de Sobolev fractionnaires Ws,p(M, N ) lorsque M et N sont deux vari´et´es compactes et connexes, p≥ 1 et s > 0. Cette ´etude s’inscrit `a la suite de trois articles [89], [20] et [40] qui ont apport´e des contributions d´eterminantes pour le cas s = 1.
La topologie des espaces de Sobolev est une question importante pour le cal-cul des variations entre vari´et´es, et plus partical-culi`erement pour trouver plusieurs solutions `a l’´equation d’Euler-Lagrange associ´ee `a un probl`eme de calcul des variations donn´e. Ainsi, dans un exemple de [17], on consid`ere le syst`eme
−∆u = u|∇u|2 (12) o`u les fonctions admissibles u sont d´efinies sur le disque unit´e B2de R2`a valeurs dans la sph`ere unit´e S2de R3. (Ce syst`eme est donc compos´e de trois ´equations correspondant aux trois coordonn´ees de u).
Le syst`eme (12) est l’´equation d’Euler du probl`eme variationnel consistant `
a minimiser
I(u) := Z
0.5 Topologie de certains espaces de Sobolev 35 sur l’ensemble des u∈ W1,2(B2, S2) sous une contrainte de type Dirichlet
tr u|∂B2= φ,
pour une certaine fonction lisse φ. Dans [18], Brezis et Coron montrent que lorsque φ n’est pas constante, le probl`eme (12) admet au moins deux solu-tions distinctes. Le coeur de la preuve consiste `a montrer que l’ensemble des u ∈ W1,2(B2, S2) valant φ au bord admet un nombre infini de composantes connexes. Chacune de ces composantes connexes est caract´eris´ee par un degr´e. Pour trouver des solutions `a (12), l’id´ee est de minimiser I sur chacune des com-posantes connexes. (N´eanmoins, I n’a pas n´ecessairement de minimum dans chaque composante connexe. En particulier, la m´ethode directe d’existence en calcul des variations est mise en ´echec parce que les composantes connexes ne sont pas n´ecessairement faiblement s´equentiellement compactes, voir [18]).
Cette mˆeme strat´egie pour trouver plusieurs solutions `a un syst`eme qui est l’´equation d’Euler d’un probl`eme variationnel est d´evelopp´ee dans les deux ar-ticles de White [88], [89]. Plus pr´ecis´ement, dans [88], le probl`eme variationnel envisag´e est de minimiser
I(u) := Z
M|∇u(x)|pdx.
Ici, l’ensemble des fonctions admissibles n’est pas l’ensemble des fonctions de Sobolev W1,p(M, N ) que l’on a d´efini pr´ec´edemment mais l’adh´erence dans W1,p(M, N ) de l’ensemble des fonctions lipschitziennes de M dans N. On note dans la suite L1,p(M, N ) cet ensemble. En notant d := [p] la partie enti`ere de p et en introduisant une triangulation de M, on d´efinit une classe de d homotopie comme une classe d’homotopie dans l’ensemble des fonctions continues d´efinies sur le squelette de dimension d de M (not´e Md dans la suite) `a valeurs dans N. White montre qu’on peut associer `a chaque ´el´ement u de L1,p(M, N ) une classe de d homotopie. (En fait, c’est la classe de d homotopie des restrictions `
a Md de l’ensemble des fonctions lipschitziennes appartenant `a la composante connexe de L1,p(M, N ) contenant u). On peut voir alors que l’infimum de I sur l’ensemble des fonctions lispchitziennes homotopes `a une certaine fonction g ne d´epend que de la classe de d homotopie de g. En particulier, cet infimum est nul si et seulement si g a la mˆeme classe de d homotopie qu’une constante.
Dans [89], ce n’est plus `a la valeur de l’infimum mais `a l’existence des min-ima que White s’int´eresse. Il consid`ere le cas de l’ensemble W1,p(M, N ). Pour la valeur d := [p]− 1 cette fois, il associe de nouveau `a chaque ´el´ement de W1,p(M, N ) une classe de d homotopie. Il montre aussi que pour chaque appli-cation continue g sur le squelette Md+1de dimension d + 1 de M `a valeurs dans N, il existe une application qui minimise I sur l’ensemble des f ∈ W1,p(M, N ) qui ont la mˆeme classe de d homotopie que g.
Dans ces deux cas, on a partitionn´e l’ensemble des fonctions admissibles en classes (les classes de d homotopie) o`u la m´ethode directe s’applique (car ces classes de d homotopie ont les propri´et´es de compacit´e requises).
0.5.1.2 Le cas de l’espace de SobolevW1,p
Comme on l’a vu dans le paragraphe pr´ec´edent, White s’int´eresse dans [89] `a la topologie de W1,p(M, N ) en introduisant la notion de classe de d homotopie,
36 Introduction
o`u d = [p− 1]. Il convient de pr´eciser cette notion `a pr´esent. Notons h une triangulation de M d´efinie sur un complexe simplicial K. La vari´et´e M est consid´er´ee comme une sous-vari´et´e d’un espace euclidien RL. Il existe M > 0 tel que la projection orthogonale ΠM sur M soit bien d´efinie sur un voisinage tubulaire U de M d’´epaisseur M. Notons Kdle squelette de K de dimension d. Soit f un ´el´ement de W1,p(M, N ). Alors White montre que pour presque tout |v| < M, les fonctions gv: Kd→ N d´efinies par
gv(x) := f◦ ΠM(h(x) + v)
sont continues et de plus appartiennent `a la mˆeme classe d’homotopie dans C0(Kd, N ). C’est cette classe d’homotopie qu’on appelle la classe de d homotopie de f. A priori, cette notion d´epend de la triangulation h choisie. En r´ealit´e, si h1, h2sont deux triangulations et que f1, f2sont deux ´el´ements de W1,p(M, N ), si f1, f2 ont la mˆeme classe de d homotopie relativement `a h1, alors f1, f2 ont la mˆeme classe de d homotopie relativement `a h2.
La proposition 3.3 de [89] montre en particulier que les classes de d homo-topie sont ouvertes (pour la m´etrique de W1,p(M, N )). Ce r´esultat implique que si deux applications f1, f2sont homotopes dans W1,p(M, N ), alors elles ont mˆeme classe de d homotopie. La preuve fait notamment intervenir trois argu-ments r´ecurrents pour ce type de questions (et notamment dans cette th`ese). Le premier argument est un th´eor`eme de type Morrey adapt´e au cas des com-plexes simpliciaux. Ainsi, si K est un complexe simplicial de dimension d tel que d < p, alors pour tout > 0, il existe C() > 0 tel que pour tout f : K→ R lipschitzienne, on a :
||f||L∞ ≤ ||Df||Lp+ C()||f||Lp.
Le deuxi`eme argument fait intervenir le th´eor`eme de Fubini. Par exemple, on peut affirmer que si h : K → M est une triangulation de M, alors pour tout F ∈ L1(U ) et pour presque tout v tel que|v| < M, on a :
Z
x∈K|F (h(x) + v)| dx < ∞.
Le troisi`eme ingr´edient est constitu´e par des th´eor`emes d’extension homo-topique dans le cadre des complexes simpliciaux.
Le r´esultat de White permettait seulement d’affirmer que deux ´el´ements ho-motopes de W1,p(M, N ) avaient le mˆeme type de d homotopie, avec d := [p]−1. La r´eciproque a ´et´e prouv´ee par Hang et Lin dans [40] : si deux applica-tions f1, f2 ont mˆeme classe de d homotopie, alors elles sont homotopes dans W1,p(M, N ).
Ce r´esultat permet de relier l’´etude des classes d’homotopie de l’ensemble W1,p(M, N ) `a une connaissance uniquement topologique de M et N. En effet, un corollaire de l’´equivalence entre homotopie et d homotopie est une bijection (pour p < dim M ), entre
W1,p(M, N )/∼1,p←→ C0(M[p], N )/∼M[p]−1.
Ici, C0(M[p], N ) est l’ensemble des fonctions continues d’un squelette de di-mension [p] de M `a valeurs dans N. Sur cet ensemble, on d´efinit la relation d’´equivalence
0.5 Topologie de certains espaces de Sobolev 37 si et seulement si f|M[p]−1 et g|M[p]−1 sont homotopes dans C0(M[p]−1, N ). D’autre part,
∀f, g ∈ W1,p(M, N ), f ∼1,pg
signifie bien sˆur que f et g sont homotopes dans W1,p(M, N ).
On en d´eduit notamment que les classes d’homotopie de W1,p(M, N ) sont en bijection avec les classes d’homotopie de C0(M, N ) lorsque p < dim M et πi(N ) = 0 pour [p] ≤ i ≤ dim M. Ceci reste vrai lorsque p ≥ dim M mais la preuve est diff´erente. Sous certaines conditions purement topologiques (faisant seulement intervenir les groupes fondamentaux de M et N ), on peut aussi af-firmer que W1,p(M, N ) est connexe par arcs.
Outre les trois arguments de White d´ecrits ci-dessus, Hang et Lin ont ex-ploit´e un “outil” introduit par Brezis et Li dans [20] et que ces derniers auteurs ont baptis´e “filling a hole” (“remplissage d’un trou”). L’article [20] avait ´et´e le premier `a ´etudier syst´ematiquement les composantes connexes de l’espace W1,p(M, N ) en fonction des propri´et´es topologiques ou g´eom´etriques de M et N (le cas o`u M et N sont des sph`eres est essentiellement r´esolu dans cet arti-cle). Les arguments employ´es sont ind´ependants de ceux de White. La partie technique de [20] contient un certain nombre de lemmes qui montrent qu’on peut d´eformer continˆument un ´element de W1,p(M, N ) au voisinage d’un point en un autre ´el´ement de W1,p(M, N ) v´erifiant certaines propri´et´es (par exemple, la propri´et´e d’ˆetre localement constant). Parmi ces lemmes, on a d´ej`a not´e que le “filling a hole” joue un rˆole important dans [40] (et c’est aussi le cas dans cette th`ese). Il consiste `a modifier un ´el´ement u ∈ W1,p(M, N ) au voisinage d’un point x de M en un autre ´el´ement v∈ W1,p(M, N ) ´egal `a u loin de x et qui vaut u(rx/|x|) dans la petite boule de centre x et de rayon r.
Dans la seconde partie de [20], ces lemmes sont utilis´es pour obtenir des r´esultats d’homotopie sur les ensembles W1,p(M, N ) (l’article [40] compl`etera ces r´esultats). En particulier, Brezis et Li obtiennent que si 1≤ p < 2 ≤ dim M, alors W1,p(M, N ) est connexe par arcs (ceci est un cas particulier du r´esultat d´emontr´e par Hang et Lin puisque si p < 2, on a [p]− 1 = 0 et deux fonctions restreintes `a des points sont toujours homotopes, par connexit´e de N ).
Une autre question introduite dans l’article [20] concerne les changements d’homotopie lorsque la valeur de p varie. Plus pr´ecis´ement, lorsque q ≥ p, on peut envoyer les composantes connexes de W1,q sur les composantes connexes de W1,p. Notons ip,q une telle application. Brezis et Li parlent de “changement d’homotopie” en p lorsque pour tout ∈ (0, p − 1), l’application ip−,p+ n’est pas bijective. Ils conjecturent ´egalement que les changements d’homotopie ont lieu seulement en des valeurs enti`eres de p. Cette conjecture sera r´esolue par l’affirmative par Hang et Lin dans [40].
La g´en´eralisation de ces r´esultats au cas des espaces de Sobolev fractionnaires n’apparaˆıt que dans l’article de Brezis et Mironescu [14] lorsque la vari´et´e cible est N = S1 (et lorsque M est un ouvert connexe born´e lisse d’un espace eucli-dien). Dans ce cas, si sp < 2, alors Ws,p(M, S1) est connexe par arcs tandis que si sp≥ 2, les classes d’homotopie de Ws,p(M, S1) sont en bijection avec les classes d’homotopie de C0(M, S1).
38 Introduction