L’utilisation d’un test d’exclusion plutôt qu’un autre associé à une méthode de bissec- tion spécifique définit une stratégie de résolution. Une stratégie se révèle plus ou moins performante suivant le ou les problèmes étudiés. Gardons à l’esprit qu’il n’existe pas une méthode de résolution parfaite pour notre problème d’analyse par intervalles. La modi- fication d’un paramètre pouvant conduire à des résultats de piètre qualité et/ou à une faible vitesse de résolution. Il est donc important de multiplier les approches différentes car les écarts peuvent se révéler importants suivant la taille, le diamètre des boîtes, la nature des équations traitées. L’une des difficultés majeures des algorithmes numériques d’analyse par intervalles consiste à obtenir une stratégie adéquate pour un problème donné. Dans notre cas, outre la vitesse de résolution, la capacité à fournir une bonne qualité d’approximation est un élément fondamental. En vue de répondre à ces objectifs, nous allons détailler l’un des facteurs fondamental pour la définition d’une stratégie : l’évaluation.
5.5.1 L’évaluation
5.5.1.1 Différentes stratégies pour l’évaluation
L’évaluation est présente pour chaque itération de l’algorithme aussi son coût ne doit pas être négligé. On comprend que plus l’évaluation des coefficients de la matrice jacobienne est "précise" et plus les tests d’inclusion et d’exclusion risquent de renvoyer des résultats concluants. Nous avons déjà vu dans le chapitre 4 différentes méthodes possibles pour évaluer une fonction :
1) L’évaluation naturelle de la fonction, c’est à dire que nous remplaçons chaque variable par l’intervalle qui lui est associé
2) Utilisation de la formule de Taylor au premier ou au second ordre. 3) Utilisation de la monotonie.
Nous allons donner des principes généraux sur l’évaluation des coefficients de la matrice mais il faut bien comprendre qu’il peut exister certains cas où ils ne seront pas véri- fiés. Plus la boîte est "grande" et plus la probabilité d’obtenir des boîtes extérieures ou intérieures est faible, même si l’évaluation des coefficients est très précise. Les tests d’in- clusion ou d’exclusion risquent donc fort de renvoyer des résultats non concluants. Ainsi l’utilisation de la formule de Taylor, l’utilisation de la monotonie voire la combinaison de ces deux méthodes vont se révéler peu efficace en terme de temps de calcul comparé à l’évaluation naturelle de la fonction, puisque ces méthodes gourmandes en temps de calcul n’amèneront pas d’amélioration sensible de l’évaluation.
l’appartenance ou non d’une boîte à Ws. Une évaluation plus précise peut alors conduire
à améliorer les résultats des différents tests. Nous pourrons donc potentiellement exclure des boîtes de plus grande taille avec l’utilisation des dérivées. Nous pourront également combiner la formule de Taylor et l’utilisation de la monotonie pour obtenir des évalua- tions plus précises des coefficients de la matrice et/ou des dérivées de ces coefficients comme cela est fait dans le logiciel ALIAS.
En conséquence une stratégie possible consiste à définir un seuil γ pour le diamètre des boîtes. Si le diamètre de la boîte courante est supérieur à γ, nous n’appliquerons que l’évaluation naturelle.
5.5.1.2 Formulation Matrice
Nous avons déjà insisté sur l’importance de la formulation d’un problème d’analyse par intervalles, afin de limiter les occurrences multiples. L’utilisation d’ALIAS-Maple nous permet déjà un pré-traitement symbolique qui empêche l’utilisation de mauvaise formulation de la matrice J−T(χ). Cependant, il peut-être intéressant de modifier le
système afin de travailler avec une nouvelle matrice MT(χ) dont l’expression symbolique
est plus "simple" que J−T(χ). Comme nous l’avons déjà expliqué dans le chapitre 3, on
obtient MT à partir de J−T en sortant les dénominateurs ρ
iqui apparaissent pour chaque
colonne de J−T. Nous pouvons donc écrire MT = J−TD avec D = diag(1
ρ1
, ..., 1 ρn).
L’utilisation de la matrice MT modifie les conditions suffisantes d’inclusion et d’exclu-
sion des boîtes. Avec le système modifié, nous considérerons comme condition suffisante d’inclusion la formulation suivante :
∀ M ∈ MI, ∀ F ∈ FI, ∃b ∈ bI : Mb = F avec bI = DIτmax (5.11)
Nous raisonnerons de la même manière pour les test d’exclusion.
5.6 Améliorer l’algorithme
Comprenons qu’améliorer un algorithme va dépendre du problème posé. Une "légère" mo- dification de certains paramètres d’un problème peut conduire à des qualités de résultats et une vitesse de résolution très différentes. Aussi cette section consacrée à l’améliora- tion de l’algorithme consiste plus à une énumération d’astuces de programmation, et de méthodes de résolution. Le choix des méthodes utilisées définit alors une stratégie de résolution parmi la multitude possible.
5.6.1 Etape du point de choix
Nous pouvons choisir de calculer pour le centre de la boîte traitée les valeurs de τ. Si nous vérifions que le centre de la boîte n’est pas dans l’espace de travail statique alors, il n’est pas nécessaire d’effectuer un test d’inclusion puisque l’équation 5.2 ne sera jamais vérifiée. Dans le cas contraire, nous effectuerons le test d’inclusion. Nous rajoutons donc l’étape du point de choix juste après le test d’exclusion s’il n’est pas concluant. Suivant le problème posé, il peut-être plus intéressant d’effectuer ce test en priorité et suivant son résultat de se diriger vers un test d’inclusion ou d’exclusion.