R´ egulation par logique floue

Un r´egulateur flou standard est compos´e des parties suivantes :

— fuzzification de l’erreur et de sa variation,

— R`egles de base du contrˆoleur et moteur d’inf´erence,

— d´efuzzification.

— Gains d’´echelle associ´es `a l’erreur, `a sa variation et `a la commande,

La majorit´e des contrˆoleurs d´evelopp´es utilisent le sch´ema simple propos´e par Mamdani.

La figure 4.2 repr´esente le sch´ema bloc du r´egulateur flou (fuzzy logic controller FLC) pour la tension continue Vdc.

4.2.2.1 Fuzzification

La fuzzification consiste `a attribuer un degr´e d’appartenance `a chaque valeur d’entr´ee et le passage des grandeurs physiques, (erreur, variation de l’erreur) aux variables linguis-tiques, ces derni`eres sont d´efinies par leurs valeurs linguistiques. On peut introduire pour

Figure 4.2 – Sch´ema bloc du r´egulateur flou.

une variable linguistique trois, cinq ou sept valeurs linguistique suivant la r´esolution qu’on souhaite. La d´esignation standard des ensembles flous est not´ee comme suit :

NG : N´egatif Grand, NM : N´egatif Moyen, NP : N´egatif Petit, EZ : Environ Z´ero, PP : Positif Petit, PM : Positif Moyen, PG : Positif Grand.

En g´en´erale, il ne faut pas d´epasser sept valeurs linguistiques, car ceci compliquerait la formulation des r`egles d’inf´erence sans apporter une am´elioration significative

4.2.2.2 Inf´erence floue

Les inf´erences lient les grandeurs mesur´ees et les variables de sortie par des r`egles lin-guistiques. Ces r`egles sont combin´ees en utilisant les connections ET et OU. Supposons que le r´egulateur flou ait deux entr´ees convenablement transform´ees en variables linguistiques x et y et une sortiez, et que l’on a d´efini n r`egles linguistiques comme suit :

Si x= A₁ ET y= B₁, Alors z=C₁₁ OU Si x= A₂ ET y= B₂, Alors z=C₁₂ OU Si x= Ai ETy= Bj, Alors z=Ci j OU ...

Si x= An ET y= Bn, Alors z=Cnn

Une simplification de cette repr´esentation peut ˆetre obtenue en utilisant la matrice d’in-f´erence montr´ee au tableau 4.1 o`u l’intersection entre une colonne et une ligne indique la valeur linguistique correspondante `a la variable de sortie. o`u Ai, Bj etCi j(i=1,net j=1,n) sont les sous-ensembles flous d´efinis dans les ensembles de r´ef´erence pour x,y et z respecti-vement. En toute g´en´eralit´e, n’importe quelle combinaison des op´erateurs ET, OU et NON peut apparaˆıtre dans la condition d’une r`egle, suivant les conditions impos´ees par le syst`eme

`

a r´egler.

Table 4.1 – Matrice d’inf´erence.

z x

A₁ A₂ . . A_i . A_n

y

B₁ C₁₁ C₂₁ . . C_i1 . C_n1 B₂ C₁₂ C₂₂ . . C_i2 . C_n2

. . . . . . . .

. . . . . . . .

B_j C_1j C_2j . . C_{i j} . C_{n j}

. . . . . . . .

B_n C_1n C_2n . . C_in . C_nn

• Types d’inf´erences floues

Il y a plusieurs sortes d’inf´erences floues, elles se diff´erencient essentiellement par la mani`ere dont vont ˆetre r´ealis´es les op´erateurs flous utilis´es dans les r`egles d’inf´erence. On pr´esente ci-apr`es trois m´ethodes d’inf´erence tr`es usuelles.

a- M´ethode Max-prod

Cette m´ethode utilise les repr´esentations standards pour les sous-ensembles d’entr´ee et de sortie. Le poids d’activation d’une r`egle est utilis´e pour multiplier la fonction d’apparte-nance du sous-ensemble de sortie impos´ee par cette r`egle. L’action globale (ou la valeur de commande) est l’union des actions produites par chaque sous-ensemble individuellement.

b- M´ethode Min-max

Cette m´ethode est la plus mentionn´ee dans la litt´erature sur les r´egulateurs flous. Elle utilise les mˆeme descriptions pour les sous-ensembles de sortie que pour les sous-ensembles d’entr´ee `a la condition de chaque r`egle Ri est attribu´e un poids d’activation wi, qui d´epend de la condition elle-mˆeme et des valeurs d’entr´ee. Pour l’op´eration ET, on utilise l’op´erateur min. Le poids d’activation est utilis´e comme la constante d’´ecrˆetage pour le sous-ensemble de sortie impos´e par la partie cons´equente de la r`egle Ri. La r´eunion des sous-ensembles

´

ecrˆet´es forme le sous-ensemble de sortie. Ces deux m´ethodes sont graphiquement expliqu´ees

`

a la figure 4.3.

c- M´ethode Somme-prod

Dans ce cas, l’op´erateur ET est r´ealis´e par le produit de mˆeme que la cons´equence Alors.

Cependant, l’op´erateur OU est r´ealis´e par la valeur moyenne des degr´es d’appartenance intervenant dans l’inf´erence.

Figure 4.3 – Inf´erences floues.

4.2.2.3 Defuzzification

Le r´esultat d’une inf´erence floue est une fonction d’appartenance, cependant, un organe de commande n´ecessite un signal de commande pr´ecis. La transformation d’une information floue en une information d´etermin´ee est la defuzzification. Il y a plusieurs m´ethodes de defuzzification propos´ees dans la litt´erature, on pr´esente ici deux m´ethodes principales.

4.2.2.4 M´ethode du centre de gravit´e

C’est la m´ethode de defuzzification la plus utilis´ee est celle de la d´etermination de l’abs-cisse du centre de gravit´e z^∗ de la fonction d’appartenance r´esultante de l’inf´erence µC(z).

Cette abscisse correspond `a la valeur de sortie du r´egulateur. La figure 4.4.a montre le principe de cette m´ethode de defuzzification.

u^∗ = Ru1

u₀ uµ(u) du Ru₁

u₀ µ(u) du (4.3)

4.2.2.5 M´ethode de moyenne de maximum

Cette m´ethode g´en`ere une commande pr´ecise en calculant la moyenne des valeurs pour lesquelles l’appartenance est maximale (figure 4.4.b).

u^∗ = R

sudu R

sdu , ou s={ui ∈U : µ(ui)= sup(µ(u))} (4.4) D’autres techniques de defuzzification sont d´etaill´ees dans [GO99].

(a) Defuzzification par centre de gravit´e (b) Defuzzification par moyenne de maximum

Figure 4.4 – Principe de defuzzification par centre de gravit´e et moyenne de maximum.

Ainsi pour construire le r´egulateur flou, l’erreur et sa variation sont d´efinies comme suit :

e(k)=Ge(V_dc^∗ −Vdc) (4.5)

∆e(k)=G_∆e(e(k)−e(k−1)) (4.6)

Ge, G_∆e etG_∆ce : repr´esentent les gains d’adaptation. Ces gains sont `a d´etermin´es par ajus-tement afin d’avoir la r´eponse d´esir´ee. G´en´eralement on les choisit faibles pour assurer la stabilit´e du syst`eme. ils jouent un rˆole extrˆemement important. En effet, ce sont ces der-niers qui fixeront les performances de la commande. Les grandeurs eet∆esont normalis´ees dans un univers de discourt [−1,+1] , ces grandeurs doivent ˆetre converties en variables linguistiques. On a introduit sept fonctions d’appartenances de forme triangulaires pour chaque variable d’entr´ee. Il est n´ecessaire de fuzzifier la variable de sortie car on a besoin des sous-ensembles flous au niveau des inf´erences et de la d´efuzzification (Figure 4.5).

La strat´egie de commande d´epend essentiellement des inf´erences adopt´ees, la condition pour chaque r`egle est :

SI (e(k)est NG) et (∆e(k) est NG) ALORS Idc est NG OU .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

SI (e(k)est ZE) et (∆e(k) est ZE) ALORS Idc est ZE OU

Figure 4.5 – Fonctions d’appartenances des variables.

.. .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

SI (e(k)est PG) et (∆e(k) est PG) ALORS Idc est PG.

Afin de simplifier la description des inf´erences, on utilise une matrice d’inf´erence (Tableau 4.2).

Table4.2 – Base de r`egles.

H HH

HH H

e

∆e

NG NM NP EZ PP PM PG

NG NG NG NG NM NP NP EZ

NM NG NM NM NM NP EZ PP

NP NG NM NP NP EZ PP PM

EZ NG NM NP EZ PP PM PG

PP NM NP EZ PP PP PM PG

PM NP EZ PP PM PM PM PG

PG EZ PP PP PM PG PG PG

La loi de commande est fonction de l’erreur et de sa variation tell queIdc = f(e,∆e). Par cons´equent, l’activation de l’ensemble des r`egles de d´ecision associ´ees donne la variation de la commande Idc n´ecessaire, permettant ainsi l’ajustement d’une telle commande.

Les op´erateurs logiques sont r´ealis´ees par des fonctions min et max et la m´ethode de d´efuzzification adopt´ee sera la m´ethode de centre de gravit´e.