R´ egularit´ e des solutions faibles

X

i=1

∇u~ _i·∇v~ _idx− Z

Ω

p(∇ ·~ ~v)dx= Z

Ω

f~·~v dx.

La condition 2. n’est pas une formulation variationnelle et on ne peut pas appliquer le th´eor`eme de Lax-Milgram pour d´emontrer directement l’existence et l’unicit´e du couple (~u, p)∈H×L<sup>2</sup>(Ω). Nous allons raisonner en deux ´etapes. Tout d’abord, on ´elimine l’incon-nue p : on construit un probl`eme variationnel dont la seule inconnue est la fonction~u. Puis, une fois ~u trouv´ee, on cherchep.

Supposons que (~u, p) v´erifie la condition 2. de la proposition. Alors, pour tout~v∈H, on a ∇ ·~ ~v= 0 et donc

∀~v∈H, a(~u, ~v) =L(~v), (31) avec

a(~u, ~v) =µ Z

Ω 3

X

i=1

∇u~ _i·∇v~ _idx, L(~v) = Z

Ω

f~·~v dx.

L’in´egalit´e de Poincar´e permet de v´erifier que la forme bilin´eaire a est coercive dans H et donc, par le th´eor`eme de Lax-Milgram que le probl`eme variationnel (31) admet une unique solution dans H. Supposons r´eciproquement que ~u est la solution de (31). Alors, la forme lin´eaireF d´efinie sur (H₀¹(Ω))³ par

F(~v) =a(~u, ~v)−L(~v)

est continue et s’annule sur H (c’est-`a-dire, pour toutes les fonctionsv ∈(H<sub>0</sub><sup>1</sup>(Ω))<sup>3</sup> de diver-gence nulle). Donc,H⊂kerF. On peut alors d´emontrer qu’il existe p∈L<sup>2</sup>(Ω), unique `a une constante additive pr`es, telle que

∀v∈(H₀¹(Ω))³, F(~v) = Z

Ω

p(∇ ·~ ~v)dx.

Le couple (~u, p) ainsi trouv´e est donc solution du probl`eme de Stokes.

Th´eor`eme 3.2 Il existe ~u ∈H unique et p∈ L<sup>2</sup>(Ω), unique `a une constante additive pr`es, telles que le couple (~u, p) est solution du probl`eme de Stokes (30).

De plus,~u est l’unique solution dans H du probl`eme variationnel (31).

3.7 R´egularit´e des solutions faibles

D´efinition 3.2 Soit Ω un ouvert de R^d. On dit que Ω est de classe C^m, m entier ≥ 1, si pour tout x∈Γ = ∂Ω, il existe un voisinage U de x dansR^d et une application Φ :Q→ U bijective telle que

Φ∈C^m(Q), Φ⁻¹∈C^m(U), Φ(Q₊) =U ∩Ω et Φ(Q₀) =U ∩Γ.

On dit queΩ est de classe C^∞ si Ω est de classe C^m pour tout m≥1.

Les principaux r´esultats de r´egularit´e sont les suivants :

Th´eor`eme 3.3 (R´egularit´e pour le probl`eme de Dirichlet) Soit Ω un ouvert connexe born´e de R^d de classeC². Soit L un op´erateur diff´erentiel d´efini par (26) o`u

1. les coefficientsa_i,j de la partie principale sont de classeC¹ sur Ωet les coefficent b_i et c0 sont continus sur Ω,

2. la partie principale de L est elliptique.

Si f ∈L²(Ω)et u est solution du probl`eme de Dirichlet u∈H₀¹(Ω)

∀v∈H₀¹(Ω), a(u, v) =R

Ωf v dx (32)

o`uaest la forme bilin´eaire d´efinie par (29), alorsu∈H²(Ω). Plus pr´ecis´ement, il existe une constante C (qui d´epend de A et deΩ) telle que

kuk_H2(Ω)≤C(kfk_L2(Ω)+kuk_H1(Ω)).

Preuve. Par hypoth`ese, la partie principale de L, not´ee A, est elliptique. Alors, par l’in´egalit´e de Poincar´e et le th´eor`eme de Lax-Milgram, il existe un unique z ∈ H₀¹(Ω) tel que

∀v∈H₀¹(Ω), A(z, v) = X

1≤i,j,≤d

Z

Ω

a_i,j(x)∂z

∂xi

(x) ∂v

∂xj

(x)dx= Z

Ω

f(x)v(x)dx.

De plus, il existeC1 >0 tel que

kzk_H1(Ω)≤C₁kfk_L2(Ω). Siuest solution de (32), alors

∀v∈H₀¹(Ω), A(u, v) = Z

Ω

g(x)v(x)dx, o`u

g(x) =−

d

X

i=1

b_i(x)∂u

∂x_i(x)−c₀(x)u(x) +f(x), x∈Ω.

Alors,g∈L²(Ω) et

kgk_L2(Ω) ≤C₂(kfk_L2(Ω)+kuk_H1(Ω)).

Pour d´emontrer le r´esultat, on peut donc se restreindre au cas o`u L=A.

Supposons donc `a partir de maintenant queu est solution du probl`eme de Dirichlet u∈H₀¹(Ω)

∀v∈H₀¹(Ω), A(u, v) =R

Ωf v dx

L’´etape suivante consiste `a localiser le probl`eme `a l’aide de partitions de l’unit´e. L’ensemble Ω est un compact deR^d, alors il existe des ouverts U₀, . . . , U_p tels que

• Ω⊂U0∪. . .∪Up,

• U₀ ⊂Ω.

Alors, par la proposition 2.8, il existe des fonctions ϕ₀, . . . , ϕ_p ∈ D(R^d) telles que

• Pour tout 0≤k≤p, 0≤ϕk≤1 et suppϕk⊂Uk,

• Pour toutx∈Ω, Pp

k=0ϕ_k(x) = 1.

On ´ecritu=Pp

Donc, par la formule de Green,

A(ϕku, v) = suivantes, on va v´erifier que les fonctions ϕ_ku appartiennent `a H<sup>2</sup>(Ω) en distinguant les cas k= 0 (r´egularit´e `a l’int´erieur) et k≥1 (r´egularit´e au bord).

R´egularit´e `a l’int´erieur

Il s’agit de montrer que ϕ0u∈ H²(Ω). On prendψ0 ∈ D(U₀) qui vaut 1 au voisinage du

Les op´erateurs Tλ,l etSλ,l sont des formes lin´eaires continues sur H₀¹(Ω). De plus, pour tout v ∈H₀¹(Ω),

et

Les estimations sont ind´ependants deλ, alors par le th´eor`eme de Lax-Milgram, il existe une constanteC >0 (qui d´epend de kg₀k_L2(Ω),kuk_H1(Ω)) telle que

kw_λ,lk_H1(Ω)≤C.

Alors, par la proposition 2.4,ϕ₀u∈H²(Ω).

R´egularit´e au bord

On va montrer queϕku∈H²(Ω), pourk≥1. Pour simplifier, on peut supposer que

On consid`ere le dif´eomorphismeF sur des ouverts de R^d d´efini par F(x) =F(x⁰, x_d) = (x⁰, x_d−θ_k(x⁰)), de diff´eomorphisme inverse

G(y) =G(y⁰, y_d) = (y⁰, y_d+θ_k(y⁰)).

On prendψ_k ∈ D(U_k) qui vaut 1 au voisinage de ϕ_k et telle que 0 ≤ψ_k(x) ≤1 sur U_k. On

On peut estimer facilement les normes des op´erateurs lin´eaires Tλ,m et Sλ,m : pour tout v∈H₀¹(F(Ω)),

Les estimations sont ind´ependants de λ, alors par le th´eor`eme de Lax-Milgram, la norme de w_λ,m reste bon´ee dans H¹ et donc _∂y^∂2u˜

d(y) admet une d´eriv´ee partielle par rapport `a y_ddans L²(F(Ω)). Par l’ellipticit´e deA, on a

d admet une d´eriv´ee partielle par rapport

`

a y_d dansL²(F(Ω)).

On a donc obtenu que ˜u∈H²(F(Ω)), c’est-`a-direϕ<sub>k</sub>u∈H<sup>2</sup>(Ω). Le th´eor`eme de regularit´e est d´emontr´e.

Remarque 3.2 Sous les hypoth`eses du th´eor`eme pr´ec´edent, si f ∈ H^k(Ω), a_i,j ∈ C^k+1(Ω) etbi, c0 ∈C^k(Ω), pour tous 1≤i, j ≤d(aveck≥0), alors u∈H^k+2(Ω).

Th´eor`eme 3.4 (R´egularit´e pour le probl`eme de Neumann) SoitΩun ouvert connexe born´e de R^d de classeC². Soit L un op´erateur diff´erentiel d´efini par (26) o`u

1. les coefficientsa_i,j de la partie principale sont de classeC¹ sur Ωet les coefficent b_i et c0 sont continus sur Ω,

2. la partie principale de L v´erifie : il existe C0>0 telle que, pour toutv∈H¹(Ω),

|A(v, v)|= Z

Ω

X

1≤i,j≤d

a_i,j ∂v

∂x_i

∂v

∂x_y dx

≥C₀k∇vk~ _L2(Ω)

Si f ∈L²(Ω)et u est solution du probl`eme de Neumann u∈H¹(Ω)

∀v∈H¹(Ω), a(u, v) =R

Ωf v dx (33)

o`uaest la forme bilin´eaire d´efinie par (29), alorsu∈H²(Ω). Plus pr´ecis´ement, il existe une constanteC (qui d´epend de A et deΩ) telle que

kuk_H2(Ω)≤C(kfk_L2(Ω)+kuk_H1(Ω)).

Preuve. Analogue `a la d´emonstration du Th´eor`eme 3.3.

A Rappels d’analyse : calcul int´ egral et diff´ erentiel, analyse hilbertienne

A.1 Rappels de calcul int´egral

Dans toute la suite Ω d´esigne un ouvert de R^dmuni de la mesure de Lebesgue dx.

Th´eor`eme A.1 (Convergence monotone) Soit(fn)n∈Nune suite de fonctions mesurables au sens de Lebesgue surΩ`a valeurs dans[0,+∞[telle que, pour toutn∈N,fn(x)≤fn+1(x) pour presque toutx∈Ω. Alors, en notantf(x) = limn→+∞f_n(x) (qui est d´efini pour presque toutx∈Ωet `a valeurs dans [0,+∞[),

n→+∞lim Z

Ω

fn(x)dx= Z

Ω

f(x)dx.

Proposition A.1 (S´eries de fonctions positives) Soit(f_n)n∈Nune suite de fonctions me-surables au sens de Lebesgue sur Ω`a valeurs dans [0,+∞[. Alors,

(i) l’applicationx7→P

n∈Nfn(x)est mesurable au sens de Lebesgue deΩdans[0,+∞[, (ii) on a l’´egalit´e

Z

Ω

X

n∈N

fn(x)dx=X

n∈N

Z

Ω

fn(x)dx.

En particulier, si P

n∈N

R

Ωf_n(x)dx < +∞, alors, pour presque tout x, on a P∞

n=1f_n(x) <

+∞.

Th´eor`eme A.2 (Lemme de Fatou) Soit (fn)n∈N une suite de fonctions mesurables au sens de Lebesgue sur Ω `a valeurs dans [0,+∞[ qui converge ponctuellement, pour presque toutx, vers une fonctionf. Alors,

Z

Ω

f(x)dx≤lim inf

n→+∞

Z

Ω

fn(x)dx.

Th´eor`eme A.3 (Convergence domin´ee) Soit (f<sub>n</sub>)n∈N une suite de fonctions mesurables au sens de Lebesgue surΩ `a valeurs dansC telle que

(i) fn→f p.p. sur Ω,

(ii) il existe une fonction Lebesgue-int´egrable positivegtelle que, pour toutn,|f_n(x)| ≤ g(x) p.p sur Ω.

Alors,

n→+∞lim Z

Ω

fn(x)dx= Z

Ω

f(x)dx.

Proposition A.2 (S´eries normalement convergente)

Soit (fn)n∈N une suite de fonctions int´egrables au sens de Lebesgue sur Ω`a valeurs dans Ctelle que

X

n∈N

Z

Ω

|f_n(x)|dx <+∞

Alors,

(i) Pour presque tout x∈Ω, la s´erieP

n∈Nfn(x) est absolument convergente,

(ii) l’applicationx7→P

n∈Nf_n(x) est int´egrable au sens de Lebesgue de Ω dansC, (iii) on a l’´egalit´e

Z

Ω

X

n∈N

f_n(x)dx=X

n∈N

Z

Ω

f_n(x)dx.

Th´eor`eme A.4 (Int´egrale `a param`etres) SoitE un espace m´etrique,f : Ω×E −→Cet y0∈E. On suppose que

1. pour tout y∈E, x∈Ω7−→f(x, y) est Lebesgue-int´egrable,

2. pour presque tout x, la fonction y∈E 7−→f(x, y) est continue au point y0,

3. il existe un vosinage V de y0 et une fonction Lebesgue-int´egrable positive g tels que

∀y ∈V, |f(x, y)| ≤g(x) p.p. sur Ω.

Alors la fonction F :y∈E7−→R

Ωf(x, y)dx est continue en y0.

Th´eor`eme A.5 (D´erivation sous le signe somme) SoientU un ouvert deR^p etf : Ω× U −→R une application telle que

1. pour tout y∈U, x∈Ω7−→f(x, y) est Lebesgue-int´egrable,

2. pour presque toutx, la fonctiony∈U 7−→f(x, y) est de classe C¹ sur U (de d´eriv´ees partielles not´ees _dy^∂f

j(x, y)),

3. il existe une fonction Lebesgue-int´egrableg telle que

∀y ∈I, ∀1≤j ≤n,

∂f dyj

(x, y)

≤g(x) p.p. sur Ω.

Alors la fonction F :y∈U −→R

Ωf(x, y)dx est de classe C¹ sur U, de d´eriv´ees partielles

∂F dy_j(y) =

Z

Ω

∂f

dy_j(x, y)dx.

Th´eor`eme A.6 (Th´eor`eme de Tonelli - fonctions positives) SoientΩ1 ⊂R^d1 etΩ2⊂ R^d2 deux ouverts etf : Ω1×Ω2→[0,+∞]une fonction mesurable au sens de Lebesgue. Alors 1. pour presque tout x∈Ω1, l’application y7→f(x, y) est mesurable au sens de Lebesgue

de Ω₂ dans[0,+∞],

2. pour presque tout y∈Ω₂, l’application x7→f(x, y) est mesurable au sens de Lebesgue de Ω₁ dans[0,+∞],

3. l’applicationx7→R

Ω2f(x, y)dyest mesurable au sens de Lebesgue deΩ₁ dans[0,+∞], 4. l’applicationy7→R

Ω1f(x, y)dxest mesurable au sens de Lebesgue deΩ₂ dans[0,+∞], 5. on a l’´egalit´e R

Ω1

R

Ω2f(x, y)dy

dx=R

Ω2

R

Ω1f(x, y)dx dy.

Th´eor`eme A.7 (Th´eor`eme de Fubini - fonctions int´egrables)

SoientΩ1 ⊂R^d1 et Ω2⊂R^d2 deux ouverts etf : Ω1×Ω2→C une fonction int´egrable au sens de Lebesgue. Alors

1. pour presque tout x∈Ω1, l’application y7→f(x, y) est int´egrable au sens de Lebesgue de Ω2 dansC,

2. pour presque tout y∈Ω₂, l’application x7→f(x, y) est int´egrable au sens de Lebesgue de Ω1 dansC,

3. l’application x7→R

Ω2f(x, y)dy est int´egrable au sens de Lebesgue deΩ₁ dans C, 4. l’application y7→R

Ω1f(x, y)dx est int´egrable au sens de Lebesgue deΩ₂ dans C, 5. on a l’´egalit´e R

Ω1

R

Ω2f(x, y)dy

dx=R

Ω2

R

Ω1f(x, y)dx dy.

Th´eor`eme A.8 (Formule de changement de variables)

SoientΦun diff´eomorphisme de classeC¹ d’un ouvert U vers un ouvertΩdeR^det f une fonction positive mesurable d´efinie surΩ. Alors, on a

Z

Ω

f(x)dx= Z

U

f(Φ(y))|J_Φ(y)|dy

o`u JΦ est le jacobien de Φ. De mˆeme, si f est une fonction int´egrable au sens de Lebesgue sur Ω, alors f◦Φ|J_Φ| est int´egrable sur U et les deux int´egrales ont la mˆeme valeur.

Exemples.

1. Coordonn´ees polaires : On consid`ere Ω ={(x, y)∈R²:x²+y² <1}etf une fonction positive mesurable d´efinie sur Ω.

Soit Φ(r, θ) = (rcosθ, rsinθ), avec r∈]0,1[ etθ∈]0,2π[. Alors,|J_Φ(r, θ)|=r et Z Z

Ω

f(x, y)dx dy= Z _2π

0

Z ₁

0

f(rcosθ, rsinθ)r dr dθ.

2. Coordonn´ees sph´eriques : On consid`ere Ω = {(x, y, z) ∈R³ :x²+y²+z² <1} etf une fonction positive mesurable d´efinie sur Ω.

Soit Φ(r, θ, ϕ) = (rcosθsinϕ, rsinθsinϕ, rcosϕ), avecr∈]0,1[,θ∈]0,2π[ etϕ∈]0, π[.

Alors, |J_Φ(r, θ, ϕ)|=rsinϕet Z Z Z

Ω

f(x, y, z)dx dy dz= Z _π

0

Z _2π

0

Z ₁

0

f(rcosθsinϕ, rsinθsinϕ, rcosϕ)r dr dθ dϕ.

A.2 Rappels de calcul diff´erentiel

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