Black pour diff´erentes amplitudes en entr´ee repr´esent´es figure 5.14.
Les valeurs des d´esirabilit´es composite et ´el´ementaires correspondantes sont donn´ees dans 5.37 :
D = 0.524 d1 = 0.802 d2 = 0.343 (5.37)
(a) repr´esentation 3D (b) repr´esentation 2D
Fig. 5.14 – Lieu de transfert en boucle ouverte dans le plan de Black pour les r´eglages donn´es par les plans d’exp´eriences pour un crit`ere d´efini au moyen du gabarit vertical
Il apparaˆıt alors que les trac´es des lieux de transfert en boucle ouverte corres- pondant aux diff´erentes amplitudes sont r´epartis de part et d’autre de la verticale `
a −120˚ dans le plan de Black avec, pour chacune, des variations en termes de ”verticalit´e” ne d´epassant pas 20˚. Ces r´esultats peuvent ˆetre ´eclair´es en pr´esentant les r´eglages des param`etres donn´es par les plans d’exp´eriences lorsque le crit`ere ´
etudi´e est, d’une part la marge de phase seule, et d’autre part la verticalit´e seule. Les trac´es fr´equentiels correspondants sont donn´es figure 5.15.
(a) Crit`ere : marge de phase (b) Crit`ere : verticalit´e
Fig. 5.15 – Lieu de transfert en boucle ouverte dans le plan de Black pour les r´eglages donn´es par les plans d’exp´eriences
Pour le crit`ere de marge de phase seul, figure 5.15(a), les faibles amplitudes p´enalisent le crit`ere mais les marges de phase des autres r´eponses sont tr`es proches de la valeur de r´ef´erence. La valeur de la d´esirabilit´e correspondante est d1 = 0.854. Pour le crit`ere de verticalit´e seul, figure 5.15(b), la r´eponse pour les faibles amplitudes ne p´enalise pas autant le crit`ere avec des trac´es assez verticaux avec une variation de 15˚sur la plage de pulsation consid´er´ee mais au prix d’une d´egradation
de la marge de phase autour de 40˚ au lieu des 60˚ initialement d´esir´es. La valeur de la d´esirabilit´e correspondante est d2 = 0.397. Ainsi, en consid´erant le crit`ere composite global associ´e au gabarit vertical et `a travers la notion de d´esirabilit´e, un compromis a ´et´e atteint entre les deux crit`eres composant le gabarit.
Cependant, le r´eglage obtenu est fortement tributaire des niveaux impos´es lors de la mise en oeuvre de la table d’exp´eriences. Cette proc´edure donne donc un premier r´esultat d’optimisation en un nombre r´eduit d’essais. Pour l’am´eliorer, il est alors possible d’injecter ce r´esultat dans un algorithme d’optimisation local. L’utilisation de l’algorithme de type Hook and Jeeve pr´esent´e en annexe B conduit alors aux r´eponses fr´equentielles, dans le plan de Black, trac´ees figure 5.16.
(a) repr´esentation 3D (b) repr´esentation 2D
Fig. 5.16 – Lieu de transfert en boucle ouverte dans le plan de Black pour les r´eglages donn´es par l’algorithme d’optimisation
Les valeurs des d´esirabilit´es composite et ´el´ementaires correspondantes sont donn´ees dans 5.37 :
D = 0.5886 d1 = 0.785 d2 = 0.441 (5.38) `
A l’issue de cette phase d’optimisation, tr`es gourmande en nombres d’essais et n´ecessitant un temps de calcul tr`es important, la d´esirabilit´e globale a bien ´et´e am´elior´ee, ´equation 5.38, notamment du fait du regroupement de la r´eponse pour les faibles amplitudes avec les autres r´eponses. La variation de la marge de phase pour les diff´erentes amplitudes n’est alors plus que de 5 degr´es et de 7 degr´es pour la verticalit´e, am´eliorant ainsi de fa¸con remarquable le r´esultat donn´e par les plans. L’algorithme d’optimisation joue donc bien son rˆole et permet d’affiner le r´eglage des param`etres du contrˆoleur flou `a partir de la solution donn´ee par les plans d’exp´eriences.
La m´ethodologie pr´esent´ee peut ´egalement ˆetre mise en oeuvre pour r´ealiser le r´eglage du correcteur flou en prenant en consid´eration des crit`eres suppl´ementaires.
En ajoutant des d´esirabilit´es ´el´ementaires au crit`ere composite global et en jouant sur les pond´erations des diff´erentes composantes, les propri´et´es du lieu de transfert en boucle ouverte du syst`eme peuvent ˆetre modifi´ees. A titre d’exemple, les crit`eres de marge de module et de marge de retard vont ˆetre utilis´es par la suite et mis en oeuvre au moyen de l’algorithme d’optimisation.
Dans un premier exemple, le crit`ere de la marge de module est pris en compte. Usuellement, une marge de module de l’ordre de 0.5 est choisie. Cependant, la marge de module permet ´egalement d’imposer une marge de phase minimale. Il est donc possible de choisir la valeur de la marge de module en fonction des objectifs pour la marge de phase. Ainsi, pour une marge de phase de 60 degr´es, une marge minimale de 50 degr´es peut ˆetre assur´ee en fixant judicieusement les valeurs plan- cher et cible pour la d´esirabilit´e ´el´ementaire de ce nouveau crit`ere. La proc´edure de r´eglage conduit alors aux r´esultats pr´esent´es figure 5.17.
Fig. 5.17 – Prise en compte de la marge de module lors du r´eglage du correcteur flou
Le domaine de tol´erance pour la marge de module se situe alors dans la zone encadr´ee par le trac´e des deux marges de module. Le fait que certaines des r´eponses pour une amplitude donn´ee se situent `a l’int´erieur de la zone d´efinie par la valeur cible de la marge de module n’est pas tr`es p´enalisant pour le crit`ere, du fait de la valeur de ri qui est d´efinie tr`es petite devant 1 (ri = 0.1), pour cette d´esirabilit´e ´
el´ementaire. Par ce moyen, une certaine robustesse par rapport aux erreurs de mod`ele est ainsi assur´ee notamment pour des erreurs plus cons´equentes que les 6dB classiques.
La marge de retard est maintenant introduite dans le crit`ere composite tout en attachant de l’importance aux crit`eres de verticalit´e et de marge de phase. Il faut alors mettre en oeuvre ces trois crit`eres en choisissant des facteurs de pond´eration
judicieux conduisant au r´esultat recherch´e, c’est-`a-dire de conserver une r´eponse verticale dans Black tout en fixant la pulsation d´esir´ee `a 0dB. Le r´eglage initial consiste en la solution donn´ee par l’algorithme pour un crit`ere compos´e uniquement de la verticalit´e et de la marge de phase. Ces deux d´esid´erabilit´es ´el´ementaires se voient alors allouer des coefficients de pond´erations ωi d’une valeur de 1 pour ´
eviter de s’´eloigner de la forme du gabarit vertical d´ej`a obtenue. Le coefficient de pond´eration de la marge de retard va alors ˆetre fix´e `a 3 afin de favoriser cette d´esirabilit´e par rapport aux deux autres. En effet, les deux autres crit`eres poss´edant d´ej`a une bonne r´eponse, il s’agit de r´egler le nouveau facteur sans trop d´et´eriorer ceux-ci. Soit d3 la d´esirabilit´e ´el´ementaire associ´ee `a la marge de retard, il vient alors :
D =√5 d1 × d2 × d33 (5.39)
Un tel choix de crit`eres permet d’aboutir aux lieux en boucle ouverte dans le plan de Black, trac´es figure 5.18.
Fig. 5.18 – Prise en compte de la marge de retard lors du r´eglage du correcteur flou
Les valeurs des d´esirabilit´es composite et ´el´ementaires correspondantes sont donn´ees dans 5.40 :
d1 = 0.742 d2 = 0.426 d3 = 0.548 (5.40)
Il apparaˆıt ici que la qualit´e des crit`eres relatifs `a la verticalit´e et `a la marge de phase a ´et´e d´et´erior´ee au profit de la marge de retard. En effet, il n’y a plus qu’une
variation de 2dB autour de la pulsation `a 0dB choisie, soit une am´elioration de l’ordre de 50% de ce crit`ere.
Outre la possibilit´e d’augmenter le nombre de crit`eres pris en compte, ces deux exemples permettent ´egalement d’illustrer la difficult´e `a trouver les coefficients ad´equats dans la mise en oeuvre de la d´esirabilit´e composite, int´egrant plusieurs d´esirabilit´es ´el´ementaires, toutes diff´erentes entre elles. Les valeurs cibles et plan- cher jouent elles aussi un rˆole important.
En effet, si l’intervalle pour l’une des d´esirabilit´es ´el´ementaires est important par rapport aux autres d´esirabilit´es, il faudra ajuster les coefficients ri ou augmenter la pond´eration pour que la d´esirabilit´e globale soit sensible `a ce param`etre.
Cette ´etude ayant montr´e que la m´ethodologie des plans d’exp´eriences associ´ee `
a l’utilisation d’un algorithme d’optimisation local peut donner des r´esultats in- t´eressants pour le r´eglage fr´equentiel de correcteur `a base de logique floue, cette proc´edure va ˆetre mise en oeuvre sur le processus r´eel qu’est le hacheur d´evolteur `
a mode courant, [Fau04].
5.6.2
Application au syst`eme exp´erimental
Commandant le mod`ele du syst`eme exp´erimental sous Matlab/Simulink, une nouvelle initialisation des niveaux de chacun des facteurs doit ˆetre r´ealis´ee. Le choix des niveaux pour les diff´erents param`etres va alors ˆetre r´ealis´e comme suit :
– la valeur du gain de normalisation sur l’erreur ´etant fix´ee, les valeurs de r´ef´erence respectivement pour le gain de normalisation sur la d´eriv´ee de l’er- reur, gdem, et le gain de d´enormalisation gm vont ˆetre d´efinies `a partir des formules des r´eglages pr´e-´etablis robustes, paragraphe 1.3.5,
– les positions des fonctions d’appartenance mobiles, aussi bien en entr´ee qu’en sortie, vont ˆetre positionn´ees de fa¸con `a recouvrir leur univers du discours comme indiqu´e dans la table 5.5.
Facteur PSe PVSe PSde PVSde PSs PVSs gdem gm
Niveau 1 0.28 0.1 0.5 0.1 0.6 0.1 10 20
Niveau 2 0.8 0.18 0.7 0.21 0.8 0.28 30 50
Tab. 5.5 – Niveaux des facteurs pour le r´eglage fr´equentiel
Prenant comme objectif le crit`ere composite pr´esent´e dans les sections pr´ec´e- dentes, la m´ethodologie des plans d’exp´eriences conduit alors au r´eglage optimal donn´e table 5.6.
Facteur PSe PVSe PSde PVSde PSs PVSs gdem gm Ki
Valeur 0.8 0.18 0.5 0.21 0.6 0.1 30 10 40
Tab. 5.6 – Param`etres du contrˆoleur flou `a l’issue du r´eglage par les plans d’exp´e-