R´ egimes lin´ eaire et nonlin´ eaire de propagation acoustique

a des fr´equences multiples de la fr´equence d’injection f0 ^{`a l’aide d’un filtre passe-bande num´erique}

de largeur Δf = ±5kHz, appliqu´e respectivement sur les signaux temporels d’excitation et de

transmission.

Fig.3.6: Signal temporel d’excitation : train d’ondes centr´e `a f0d´elimit´e par un front montant et un front descendant. (a) Signal brut non-filtr´e, (b) Signal filtr´e `a f0, (c)Signal filtr´e `a 2f0, (d)Signal filtr´e `a 3f0.

Le filtrage du signal d’excitation `a des fr´equences multiples de f0 ^{(Fig.3.6) nous permet de}

localiser dans le temps la r´epartition spectrale d’un train d’ondes centr´e `a f0^{. La composante centrale}

(`a f0<sup>) est maximale au centre du signal, l`a o`u le train d’ondes est bien ´etabli. En revanche, les autres</sup>

fr´equences, en particulier 2f0 ^{et 3f}0^{, sont localis´ees au niveau des fronts montant et descendant du}

train d’ondes de mani`ere sym´etrique. Leur pr´esence est due `a la forme de l’enveloppe du signal (de type gaussienne sur les fronts) qui poss`ede un large spectre en fr´equences.

3.4.2 R´egimes lin´eaire et nonlin´eaire de propagation acoustique

Ce mˆeme filtrage a ´et´e op´er´e sur des signaux transmis `a travers l’´echantillon granulaire pour deux fr´equences d’injection, f0 ^{= 25kHz et f}0^{= 50kHz (Fig.3.7).}

Le filtrage du signal transmis pour f0 ^{= 25kHz donne la mˆeme r´epartition spectrale que le signal}

d’excitation : concentration du mode fondamental au centre et r´epartition sym´etrique des autres fr´equences sur les fronts. Le train d’ondes semble alors s’ˆetre propag´e dans le milieu granulaire sans

3.4. G´EN´ERATION DES HARMONIQUES : NONLIN´EARIT ´E HERTZIENNE... 95

Fig.3.7: Signaux temporels transmis `a travers un ´echantillon granulaire (L = 64mm et P = 500kP a) pour f0 = 25kHz et f0= 50kHz. (a) Signal brut non-filtr´e, (b) Signal filtr´e `a f0, (c)Signal filtr´e `a 2f0, (d)Signal filtr´e `a 3f0.

se d´eformer conservant ainsi sa composition spectrale initiale - la prise en compte de l’att´enuation des ondes fera l’objet du paragraphe suivant.

Par contre, pour f0^{= 50kHz, les signaux 2f}0 ^{et 3f}0^{sont clairement localis´es au centre du signal,}

comme le mode fondamental. Initialement absentes `a la source au centre du signal (cf Fig.3.6), ces fr´equences multiples de f0 ^{sont donc apparues au cours de la propagation du signal acoustique}

dans le milieu granulaire r´ev´elant ainsi son caract`ere nonlin´eaire par la g´en´eration d’harmoniques sup´erieures.

Pour une ´etude plus quantitative de ces ph´enom`enes, nous avons mesur´e l’amplitude de chacun de ces signaux filtr´es. Dans la suite de ce chapitre, comme indiqu´e sur les enregistrements des signaux temporels pr´ec´edents (Fig.3.7), on d´esignera par :

• S₁ l’amplitude du signal filtr´e `a f0 ^{(fondamental)}

• S2 ^{l’amplitude du signal filtr´e `a 2f}0 ^{(2e harmonique)}

• S3 ^{l’amplitude du signal filtr´e `a 3f}0 ^{(3e harmonique)}

Lorsque le signal a la forme d’un paquet gaussien, son maximum est facilement identifiable et mesurable ce qui est le cas pour f0 ^{= 50kHz. Pour les signaux pr´esentant deux maximums}

(2f0 ^{= 2}∗ 25kHz et 3f0 ^{= 3}∗ 25kHz), les mesures ont ´et´e faites sur le premier pic. Au vu de

la sym´etrie du signal d’excitation, les deux pics correspondant aux fronts montants et descendants sont quasiment identiques. Dans cette gamme d’amplitude, le signal conserve sa sym´etrie au cours de sa propagation.

Fig.3.8: Amplitudes des signaux filtr´es `a f0^,2f0 ^et3f0 pour f0= 25kHz et 50kHz (L = 64mm et P = 500kP a).

Pour f0 ^{= 25kHz, les amplitudes S}1^,S2^,S3 ^{d´ependent lin´eairement de l’amplitude d’excitation}

alors que pour f0 ^{= 50kHz, les deuxi`eme et troisi`eme harmoniques d´ependent respectivement du}

carr´e et du cube de V_input, confirmant ainsi leurs origines nonlin´eaires pressenties par l’observation des signaux temporels filtr´es (Fig.3.7). L’absence de points exp´erimentaux sur la troisi`eme harmo-nique (3∗ f<sub>0</sub> = 3∗ 50kHz) est due `a un trop faible rapport signal/bruit. Il est probable qu’`a ces

fr´equences (≥ 150kHz), les ondes subissent quelques diffusions. Ce m´ecanisme d’att´enuation,

com-bin´e celui d’origine dissipative, rend le signal tellement faible qu’il n’est plus d´etectable pour les faibles amplitudes d’excitation.

Ces mesures illustrent ainsi la transition d’un r´egime de propagation lin´eaire vers un r´egime nonlin´eaire selon la fr´equence d’´emission f0^{. Cette fr´equence peut ˆetre reli´ee `a une distance de}

propagation n´ecessaire `a la g´en´eration d’harmoniques sup´erieures par effets « d’accumulation ». Celle-ci est d’autant plus petite que la fr´equence d’excitation f0^{est ´elev´ee. Ainsi, pour une fr´equence}

f0 ^{= 50kHz, cette distance doit ˆetre inf´erieure `a la longueur de l’´echantillon L = 64mm puisque}

l’on observe sans ambigu¨ıt´e les premi`eres harmoniques sup´erieures pr´edites par les ´equations d’ondes nonlin´eaires explicit´ees pr´ec´edemment (Eqs.3.38). Cependant, dans ce r´egime, le mode fondamental (approximation d’ordre un) se propage, lui, lin´eairement. Ainsi, nous montrons l’existence d’un r´egime lin´eaire quant `a la propagation des ondes coh´erentes dans notre milieu granulaire.

Les mesures faites sur les signaux filtr´es `a 2f0 <sup>= 2</sup>∗25kHz et 3f0 <sup>= 3</sup>∗25kHz laissent `a penser que

la longueur de nos ´echantillons n’est pas assez grande pour observer de tels effets nonlin´eaires `a cette fr´equence. Cependant, en augmentant l’amplitude d’excitation, la transition entre les deux r´egimes apparaˆıt `a travers l’´emergence de la troisi`eme harmonique entre les fronts montant et descendant du train d’ondes. Pour de trop faibles amplitudes, cette harmonique est noy´ee dans le signal g´en´er´e par la source mais `a plus forte amplitude, elle devient clairement observable (Fig.3.9a).

L’amplitude S3^{du signal g´en´er´e par la source est proportionnelle `a l’amplitude d’excitation alors}

3.4. G´EN´ERATION DES HARMONIQUES : NONLIN´EARIT ´E HERTZIENNE... 97

Fig.3.9: Observation de la g´en´eration de la troisi`eme harmonique pour f0= 25kHz avec l’augmentation de Vinput(a) Signaux temporels pour deux amplitudes d’excitation (b) Amplitudes des signaux filtr´es (L = 64mm et P = 500kP a).

troisi`eme harmonique avec V<sub>input</sub>, le r´egime nonlin´eaire n’est que partiellement ´etabli `a la fr´equence

f0 ^{= 25kHz pour une distance de propagation de L = 64mm.}