Egalit´e du spectre de descente dans un espace de Banach ´

Dans [23], A.Haily, A.Kaidi et A.Rodrigues Palacios ont ´etabli que siT est un op´erateur lin´eaire born´e sur X tel que σ(T) est d’int´erieur vide, alors T satisfait l’´egalit´e du spectre de descente. L’objectif principal de cette section est de g´en´eraliser ce r´esultat `a un op´erateur lin´eaire born´e dont le spectre est d’int´erieur non vide.

Proposition 2.2.1. [23] SoitT ∈

B

(X) un op´erateur tel que int(σ(T)) =/0, alors

σ_desc(T) =σ_desc(T,

B

(X))

Remarque 6. On peut construire un op´erateur T satisfaisant l’´egalit´e du spectre de descente sans que l’int´erieur du spectre σ(T) soit vide. Par exemple, si T est l’op´erateur de d´ecalage droit bila-t´eral sur l’espace de Hilbert ℓ2(N), d´efini par T(x_n)_n= (x_n−1)_n pour tout (x_n)_n∈N ∈ℓ2(N). On voit facilement que σ(T) =D. Puisque ℓ2(N) est un espace de Hilbert, alors σ_desc(T) =σ_desc(T,

B

(X)).

La plupart des r´esultats obtenus dans cette section sont bas´es sur le lemme suivant :

Lemme 2.2.1. [23]

Soit T ∈

B

(X) un op´erateur de descente d=d(T) finie. Alors il existe δ>0 tel que, pour tout

0<|µ|<δ, on a : 1. T−µest surjectif,

2. dimN(T−µ) =dim(N(T)∩R(Td)).

Lemme 2.2.2. [1] SoitA∈

B

(X)tel qued(A)<∞. Les assertions suivantes sont ´equivalentes :

1. Aa la SVEP en 0 ;

2. a(A)<∞;

3. 0est un pˆole de la r´esolvante ; 4. 0est un point isol´e dans σ(A).

Th´eor`eme 2.2.1. Si T ∈

B

(X), alors

σ_desc(T)⊆σ_desc(T,

B

(X))⊆σ_desc(T)∪

S

(T)

D´emonstration Soitλun nombre complexe tel queT−λest de descente finiedetλ∈/

S

(T). D’apr`es le lemme 2.2.1, il existe δ>0, tel que pour tout 0<|λ−µ|<δ, l’op´erateur T−µ est surjectif etT a la SVEP enµ. En utilisant le corollaire 1.1.1, on obtientT−µest bijectif pour tout

0<|λ−µ|<δ. Donc λest un point isol´e dans σ(T). D’apr`es le lemme 2.2.2,T−λd’ascente et de descente finies et d’apr`es le th´eor`eme 1.2.2, nous avons X=N(T−λ)d⊕R(T−λ)d. Il s’ensuit que

N(T−λ)d admet un suppl´ementaire topologique dans X. D’apr`es lemme 2.1.1, il existe S∈

B

(X)

tel que(T−λ)d= (T−λ)d+1S, ce qui impliqueλ∈/σ_desc(T,

B

(X)).

Corollaire 2.2.1. Si T ∈

B

(X) poss`ede la SVEP, alors

σ_desc(T) =σ_desc(T,

B

(X))

Remarque 7. Soit T l’op´erateur d´efini sur l’espace de Hilbert ℓ2(N) par T(xn)_n= (xn₊₁)_n pour tout (x_n)_n∈N∈ℓ2(N). D’apr`es le corollaire 2.1.1, nous avons σ_desc(T) =σ_desc(T,

B

(X)). De plus T

Exemple 5. Soient m la restriction de la mesure de Lebesgue sur le disque D, L¹(m) l’espace de Banach des fonctions complexes d´efinies sur D absolument int´egrables par rapport `a m, et A¹(m)

l’espace de Bergman des fonctions deL¹(m)analytiques surD. Il est clair queA¹(m)est la fermeture de l’ensemble des fonctions polynomiales. D´efinissons l’op´erateurM surL¹(m)par(M f)(z) =z f(z),

f ∈L¹(m). Il est facile de voir que M est un op´erateur lin´eaire born´e sur L¹(m) etkMk ≤1. Soient

X=L¹(m)/A¹(m) et T l’op´erateur quotient induit parM sur X. D’apr`es [13], T posss`ede la SVEP et σ(T) =D. De plus d’apr`es le corollaire 2.2.1, nous avonsσ_desc(T) =σ_desc(T,

B

(X)).

D´efinition 2.2.1. [8]

Un op´erateur T ∈

B

(X) est dit supercyclique lorsqu’il existe un vecteur x∈X tel que l’ensemble

{λTⁿ(x):n∈N, λ∈C}soit dense dans X.

Proposition 2.2.2. [8]

Soit X un espace localement convexe. Si T ∈

B

(X) est supercyclique, alors soit σ_p(T^∗) = /0, soit

σ_p(T^∗) ={λ}pour λ6=0.

Corollaire 2.2.2. Soit T ∈

B

(X) un op´erateur supercyclique, alors

σ_desc(T^∗) =σ_desc(T^∗,

B

(X^∗))

D´emonstration SiT ∈

B

(X)est supercyclique, d’apr`es la proposition 2.2.2, on aσ_p(T^∗) = /0

ou σp(T^∗) ={λ} avec λ6=0, donc int(σp(T^∗)) = /0, alors S(T^∗) = /0, et d’apr`es le corollaire 2.2.1, nous avons σ_desc(T^∗) =σ_desc(T^∗,

B

(X^∗)).

Corollaire 2.2.3. Si T ∈

B

(X) satisfait l’une des conditions suivantes : 1. T est d´ecomposable,

2. T a la propri´et´e(β), 3. T a la propri´et´e(C), alors

σ_desc(T) =σ_desc(T,

B

(X))

D´emonstration SiT satisfait l’une de ces conditions, d’apr`es 1.1.1,T a la SVEP. En utilisant 2.2.1, nous avonsσ_desc(T) =σ_desc(T,

B

(X)).

σ_desc(T)∪int(D) =σ_desc(T,

B

(X))∪int(D)

D´emonstration Soit λ∈/σ_desc(T)∪int(D), alors l’op´erateur T−λ est de descente finied et

λ∈/int(D). D’apr`es le lemme 2.2.1, il existeδ>0tel que, pour tout0<|λ−µ|<δ, l’op´erateurT−µ

est surjectif et dimN(T−µ) =dimN(T−λ)∩R(T−λ)d. Soit D^∗(λ,δ) ={µ∈C: 0<|λ−µ|<δ}. Puisqueλ∈/int(D), alorsD^∗(λ,δ)\Dest un sous ensemble deCnon vide. Soitλ₀∈D^∗(λ,δ)\D, alors

T−λ₀est bijectif, et la continuit´e de l’indice assure que ind(T−µ) =0pour toutµ∈D^∗(λ,δ). Mais pourµ∈D^∗(λ,δ),T−µest surjective, il s’ensuit queT−µest bijectif. Doncλest un point isol´e du spectre σ(T). D’apr`es le lemme 2.2.2, T−λ d’ascente et de descente finies et d’apr`es le th´eor`eme 1.2.2, nous avonsX=N(T−λ)d⊕R(T−λ)d. Il s’ensuit que N(T−λ)d est admet un supp´ementaire topologique dans X. D’apr`es lemme 2.1.1, il existeS∈

B

(X)tel que (T−λ)d= (T−λ)d+1S, ce qui impliqueλ∈/σ_desc(T,

B

(X))∪int(D). Ce qui termine la preuve.

Comme cons´equence imm´ediate du th´eor`eme pr´ec´edent, on annonce le corollaire suivant :

Corollaire 2.2.4. Si T ∈

B

(X) satisfait l’une des conditions suivantes : 1. σ(T) =σ_su(T), 2. int(σap(T)) = /0, 3. int(σ_p(T)) = /0, 4.

S

(T) = /0. Alors σ_desc(T) =σ_desc(T,

B

(X)) Proposition 2.2.3. Si T∈

B

(X), alors : 1. σ(T) =σ_su(T)∪σ_asc(T), 2. σ(T) =σ_su(T)∪σ_ub(T), 3. σ(T) =σ_su(T)∪σ_uw(T). D´emonstration

1. Soit λ∈/σ_su(T)∪σ_asc(T), alors T−λ est surjectif et T−λ d’ascente finie, donc a(T−λ) = d(T−λ) =0, d’o`u λ∈/σ(T).

3. Soit λ∈/ σ_su(T)∪σ_uw(T), alors T −λ est surjectif et ind(T−λ)≤0, donc ind(T −λ) =

dimN(T−λ) =0, d’o`u λ∈/σ(T).

Corollaire 2.2.5. Si T ∈

B

(X) satisfait l’une des conditions suivantes : 1. int(σ_asc(T)) = /0,

2. int(σ_ub(T)) = /0, 3. int(σ_uw(T)) = /0. Alors

σ_desc(T) =σ_desc(T,

B

(X))

Exemple 6. Consid´erons l’op´erateur de C´esaro C_p d´efini sur l’espace Hardy classique H_p(D), o`u D d´esigne le disque unit´e ouvert et 1< p<∞. Cet op´erateur Cp est d´efini par (Cpf)(λ):=

1

λ

R_λ

0 f(µ)

1−µdµ pour tout f ∈H_p(D) etλ∈D. Dans [37] T.L. Miller, V.G. Miller et Smith ont montr´e, que le spectre de Cp est le disque ferm´e Γ_p de centre p/2 de rayon p/2 et σap(Cp) est la fronti`ere

∂Γ_p. Alors int(σ_ap(C_p))=int(σ_p(C_p)) = /0. En appliquant le corollaire 2.2.4, on obtient σ_desc(C_p) =

σ_desc(Cp,

B

(Hp(D))).

Exemple 7. Consid´erons l’op´erateur T d´efini sur ℓp(N) o`u 1≤p<∞, par : T x:=∑^∞_n=1ω_nx_ne_n+1

pour tout x:= (xn)_n∈N∈ℓ^p(N), avec (ωn)_n∈N∈ℓ^p(N). Si c(T) =limn→+∞inf(ω1...ωn)^1/n=0, dans

[1] P. Aiena a montr´e que l’op´erateur T a la SVEP. En appliquant le corollaire 2.2.1, on obtient

σ_desc(T) =σ_desc(T,

B

(X)).

Th´eor`eme 2.2.3. SoitT∈

B

(X). Si pour toute composante connexeGdeρ_desc(T), on aG∩ρ(T)6=

/0, alors

σ_desc(T) =σ_desc(T,

B

(X))

D´emonstration Soitλun complexe tel queT−λde descente finied. D’apr`es le lemme 2.2.1, il existe δ>0 tel que, pour tout 0<|λ−µ|<δ, l’op´erateur T−µ est surjectif et dimN(T−µ) =

dimN(T−λ)∩R(T−λ)^d. CommeD^∗(λ,δ) ={µ∈C: 0<|λ−µ|<δ}est un sous-ensemble connexe de ρ_desc(T), alors il existe une composante connexe G de ρ_desc(T) contenant D^∗(λ,δ). Puisque

G∩ρ(T) est non vide la continuit´e de l’indice assure que ind(T−µ) =0 pour tout µ∈D^∗(λ,δ). Donc pourµ∈G,T−µest surjectif, il s’ensuit queT−µest bijectif. AinsiG⊆ρ(T), doncλest un point isol´e dansσ(T). Par cons´equent λ∈/σ_desc(T,

B

(X)). Ce qui termine la preuve.

Remarque 8. Nous rappelons qu’un op´erateur R∈

B

(X) est dit de Riesz si R−λ est de Fredholm pour tout nombre complexe non nul λ. Il est bien connu que σ_desc(R) ={0}, (voir [30]). Donc pour toute composante connexeGde ρ_desc(R), on aG∩ρ(R)=6 /0. Par cons´equentσ_desc(R,

B

(X)) ={0} Exemple 8. Consid´erons l’op´erateur shift unilat´eral `a droite T sur l’espace X:=ℓp o`u 1≤p≤∞. Puisque σ(T) =σ_desc(T), alors pour toute composante connexe G de ρ_desc(T) on a G∩ρ(T)6= /0. Par cons´equent σ_desc(T,

B

(X)) =D le disque unit´e ferm´e.

Th´eor`eme 2.2.4. SoitT∈

B

(X). Si pour toute composante connexeGdeρ_su(T), on a G∩ρ_p(T)6=

/0, alors :

σ_desc(T) =σ_desc(T,

B

(X))

D´emonstration Soit λ un nombre complexe tel que T−λ de descente finie d. D’apr`es le lemme 2.2.1, il existe δ>0 tel que, pour tout 0<|λ−µ|<δ, l’op´erateur T−µ est surjectif et

dimN(T−µ) =dimN(T−λ)∩R(T−λ)d. DoncD^∗(λ,δ) ={µ∈C: 0<|λ−µ|<δ}un sous-ensemble connexe deρ_su(T). SoitGune composante connexe de ρ_su(T)contenantD^∗(λ,δ). OrG∩ρ_p(T) est non vide, d’apr`es la continuit´e de l’indice assure que ind(T−µ) =0 pour tout µ∈D^∗(λ,δ). Pour tout µ∈G, T−µ is surjectif, il s’ensuit que T−µ est bijectif, on obtient que λ est un point isol´e dans σ(T). Par cons´equantλ∈/σ_desc(T,

B

(X)).

Remarque 9. Soit T ∈

B

(X) un op´erateur tel que σ(T) =σsu(T), alors pour toute composante connexe G de ρ_su(T), on a G∩ρ_p(T)6= /0. En utilisant le th´eor`eme 2.2.4, on obtient σ_desc(T) =

σ_desc(T,

B

(X)).

Dans le document Egalité du Spectre de Descente Et Théorie Spectrale des Semi-groupes (Page 32-37)