On consid`ere un rayonnement ´electromagn´etique, et on note F la puissance par unit´e de surface (J.s−1.m−2) de l’onde se progageant suivant un chemin optique s (m).
Si on consid`ere un milieu purement absorbant (sans diffusion) et isotrope, la loi de Beer-Lambert d´efinit localement les variations de F :
dF
ds = −kabsF (III.1)
kabs est le coefficient d’absorption par unit´e de longueur (m−1). Lui mˆeme est d´efini `a partir de la section efficace d’absorption σabs(m2) de chaque particule composant le milieu. III.1 est la base de l’´equation radar-lidar utilis´ee dans la suite.
Si un unique param`etre de taille D peut repr´esenter les variations de cette section efficace et celle de la concentration de l’absorbant n(D) (m−3 par unit´e de D), par exemple pour un ensemble de particules sph´eriques de mˆeme composition, D est le diam`etre des particules absorbantes1, on a
1
Le probl`eme peut devenir tr`es complexe si on consid`ere des particules quelconques dont la section efficace d´epend, par exemple, de l’angle d’incidence du rayon, de leur forme et de leur indice de r´efraction. Dans ce
cas, il faut revenir `a une somme discr`ete kabs=P σabsnavec n particules absorbantes ayant la section efficace
III.A. G ´EN ´ERALIT ´ES CHAPITRE III. BASES DE LA T ´EL ´ED ´ETECTION
kabs = Z
σabs(D)n(D)dD (III.2)
Le ph´enom`ene de diffusion att´enue ´egalement le rayonnement incident en r´epartissant le flux dans l’espace, et l’´equation est analogue pour un milieu purement diffusant. Pour introduire la notion de diffusion multiple, nous ajoutons un terme source k0F0 indiquant simplement un apport d’´energie induit par les photons non comptabilis´es dans le bilan de diffusion simple si on se situe `a un instant t, mais tels qu’`a un instant sup´erieur `a t, la diffusion multiple les r´eintroduise dans le bilan.
dF
ds = −kdiffF + k0F0 (III.3)
Le coefficient de diffusion par unit´e de longueur kdiff (m−1) est d´efini de mani`ere analogue par rapport `a la section efficace de diffusion (m2).
kdiff = Z
σdiff(D)n(D)dD (III.4)
On d´efinit la section efficace diff´erentielle de diffusion dσdiff
dΩ (m2.sr−1) comme le rapport de la puissance diffus´ee dans la direction d´efinie par l’angle solide Ω sur la puissance totale re¸cue par le diffusant. On a alors la relation suivante :
σdiff = Z
4π
dσdiff
dΩ dΩ (III.5)
La fonction de phaseP (sr−1) exprime la d´ependance angulaire (θ ´etant l’angle de diffusion) de la puissance diffus´ee normalis´ee `a la puissance totale re¸cue par le diffusant.
P (θ) = 1 σdiff
dσdiff
dΩ (III.6)
Le facteur d’asym´etrie g permet de d´eterminer si il y a une tendance de diffusion vers l’avant ou vers l’arri`ere en liaison avec la taille et la forme des particules.
g = 2π Z 1
−1
P (cos θ) cos θd(cos θ) (III.7)
On d´efinit la section efficace d’extinction σext (m2) et le coefficient d’extinction par unit´e de longueur (ou simplement l’extinction) α (m−1) par les relations suivantes :
σext = σabs+ σdiff (III.8)
α = Z
σext(D)n(D)dD (III.9)
On d´efinit les efficacit´es d’extinction, de diffusion et d’absorption comme le rapport des sections efficaces sur la section g´eom´etrique de la particule. Pour une particule sph´erique de diam`etre D :
CHAPITRE III. BASES DE LA T ´EL ´ED ´ETECTION III.A. G ´EN ´ERALIT ´ES
Qext,diff ,abs = 4σext,diff ,abs
πD2 (III.10)
On d´efinit l’albedo de diffusion simple ωs comme le rapport des sections efficaces de diffusion et d’extinction. Ce param`etre permet de quantifier la part relative de diffusion et d’absorption du diffuseur.
ωs= σdiff σext
< 1 (III.11)
On d´efinira ´egalement le coefficient de r´etrodiffusion β (m−1.sr−1).
β = Z
σdiffP (θ = 180˚)n(D)dD (III.12)
o`u la valeur de la fonction de phase est prise dans la direction oppos´ee au rayon incident. Enfin, nous d´efinirons la transmission T et l’´epaisseur optique τ obtenues en int´egrant la loi de Beer-Lambert. Ici, nous ne consid´ererons que des chemins optiques suivant la verticale z. En absence du terme de diffusion multiple, on obtient tout d’abord les expressions suivantes.
F (z2) F (z1) = exp − Z z2 z1 αdz = exp (−τ) = T (z1, z2) (III.13)
La diffusion d’une onde ´electromagn´etique par des particules est un probl`eme complexe. On peut en effet consid´erer que la mol´ecule ou la particule consid´er´ee est un dipole ou un ensemble de dipoles ´electriques et que ceux-ci sont excit´es par le passage de l’onde ce qui les fait r´e´emettre `a leur tour. Dans ce cas, il est plus rigoureux d’introduire le formalisme des fonctions de Green permettant de r´esoudre l’´equation de transfert radiatif 3D d´ependante du temps ([Davis et al., 2001])
[c−1∂
∂t+ ~Ω~∇ + α(~r)]I = α(~r) I
P (~r, ~Ω0.~Ω)I(t, ~r, ~Ω0)d~Ω0 (III.14)
L’´equation de transfert radiatif pr´ec´edente peut inclure des termes source ou puit pour tenir compte de la diffusion multiple, de la mˆeme mani`ere que pour la loi de Beer-Lambert. Elle poss`ede l’avantage de r´esoudre le champ de radiance temporel en 3 dimensions en fonction de l’espace (position ~r), du temps t, et de l’angle solide de propagation ~Ω (l’int´egrale sur l’angle solide de diffusion ~Ω0 est effectu´ee sur la sph`ere unit´e) et l’inconv´enient d’ˆetre complexe. En g´en´eral (en dehors des milieux tr`es diffusants), sp´ecifiquement pour les probl`emes faisant intervenir la t´el´ed´etection active, un tel formalisme n’est pas n´ecessaire si le champ de vue des instruments est assez r´eduit, et le probl`eme devient unidimensionnel. Rigoureusement, l’onde totale r´esultante de la diffusion avec le milieu n´ec´essite un traitement sp´ecifique.
Il existe diff´erentes mani`eres d’estimer la diffusion multiple. La plupart des approches op´eration-nelles sont bas´ees sur les travaux de [Eloranta, 1972] et ses approfondissements ([Eloranta, 1998]) qui requi`erent au premier ordre de bien connaˆıtre les caract´eristiques des sources d’´emission et de r´eception du lidar ([O’Connor et al., 2004]) et dans l’id´eal, de bien connaˆıtre les propri´et´es optiques du milieu en diffusion simple, qui peuvent s’estimer par des it´erations `a partir des mesures initiales ([Donovan and van Lammeren, 2001]). Des d´eveloppements plus r´ecents permettent de diminuer le temps de calcul n´ecessaire [Hogan, 2006].
III.A. G ´EN ´ERALIT ´ES CHAPITRE III. BASES DE LA T ´EL ´ED ´ETECTION
On peut en g´en´eral supposer que l’intensit´e du rayonnement diffus´e plusieurs fois et d´etect´e `a un instant t + δt est proportionnelle `a l’intensit´e du rayonnement incident `a l’instant t. Pour tenir compte simplement de la diffusion multiple, on peut introduire le coefficient de dif-fusion multiple η < 1 pour d´efinir l’´epaisseur optique apparente ([Platt, 1973], [Nicolas et al., 1997]).
τa= ητ = η Z
αdz (III.15)
Cette fa¸con d’exprimer la diffusion multiple suppose uniquement qu’on peut exprimer k0F0
(III.3) ou l’intensit´e diffus´ee en fonction du flux ou de l’intensit´e incidente.