< sin ʘ (6.37)
avec I0 le flux maximum reçu (lorsque la source est au zénith).
Ce qui nous donne un flux de 10-3 I0 pour Venus et 10-4 I0 pour Jupiter. Nous pouvons donc conclure que l’effet de la source étendue est négligeable pour Jupiter.
6.4 Effets pouvant affecter les cartes de vitesses
6.4.1 L’effet Young
Il existe un effet subtil, appelé effet Young, pouvant affecter les cartes de vitesses radiales obtenues par décalage Doppler. Cet effet a été mis en évidence en 1975 (Young, 1975), il met en lumière l’impact de la rotation du soleil et de son diamètre apparent dans la mesure de la vitesse radiale d’une surface réfléchissant le flux solaire. En effet, si on considère un point de la planète dont on cherche à mesurer la vitesse, nous voyons que celui-ci est éclairé par différent points du soleil vus à différents angles. D’un point de vue photométrique le point de la surface de la planète ainsi éclairé recevra plus de flux d’une partie du soleil que d’une autre (l’éclairement dépendant du cosinus de l’angle d’incidence par rapport à la normale). Du fait de la rotation du soleil (qui produit un gradient de décalage Doppler d’Est en Ouest de 4km/s sur tout le diamètre) cette asymétrie d’éclairement s’accompagnera d’une asymétrie de décalage Doppler moyen. Cet effet est d’autant plus fort que le diamètre apparent du soleil est grand, il est aussi maximal au niveau du terminateur de la planète où une partie du soleil est occulté par l’horizon.
Le biais obtenu en un point de la planète peut se calculer en intégrant la carte de vitesse du soleil pondéré par le cosinus de l’angle d’incidence de chaque rayon issu du disque solaire par rapport à la normale de la surface de la planète. Young exprime le résultat de ce biais à l’équateur de la planète en fonction de l’angle zénithal du soleil par :
V = tan (6.38)
avec Veqla vitesse de rotation du soleil à l’équateur, R le rayon appartenant du soleil en radian et l’angle zénithal du soleil.
Cette équation est valable tant que le disque solaire n’est pas occulté par l’horizon, c’est-à-dire pour | |<π/β-R/2. Le biais maximum, sans occultation du disque solaire, est au niveau du terminateur pour | |< π/β-R/2, sachant que tan �− = / nous avons :
6.4 Effets pouvant affecter les cartes de vitesses
La valeur maximale avec occultation étant V = ±
δ’effet peut donc être important mais il ne concerne qu’une minuscule portion du terminateur. Si nous regardons à partir de quel rayon Rpde l’image projeté nous avons un biais supérieur à 5m/s nous trouvons 0.996 Rp, soit si Rp=1η0 px l’effet n’est supérieur à 10m/s qu’à ½ pixel du bord du disque (ou à 0.1" arcs du bord), zone qui par ailleurs ne contient qu’une infime portion de flux (2% par rapport à la zone centrale de la planète). Nous pouvons donc conclure que l’effet Young sur Jupiter peut être négligé, surtout au regard de la PSF et de ces effets sur la carte de vitesse, comme nous allons le voir au paragraphe suivant.
6.4.2 Effet de la PSF sur la carte de vitesse
Au cours des traitements préliminaires effectué sur les données de 2014 pour lequel le tip-tilt ne fonctionnait pas encore correctement, nous avions remarqué des biais importants sur les bords Est et Ouest du disque de Jupiter. Cela nous a amené à réfléchir sur les effets que pouvait produire la PSF sur les cartes de vitesse. Ce problème a déjà été remarqué par Civeit (Civeit et al., 2005), à propos de mesures spectrométrique faites sur le satellite IO.
δa vitesse mesurée par l’instrument en un point donné de l’image est (en première approximation) la valeur moyenne des vitesses portées par les photons incidents en ce point. Pour une image affectée par une PSF cela correspondra à la convolution de la carte de vitesse pondérée par la carte de flux, normalisé par la convolution du flux par la même PSF :
̅ , =∫ , , − , −
∫ , − , − (6.40)
τn en déduit la phase des franges (en supposant que l’effet soit direct) :
� , = ̅ , (6.41)
avec S la sensibilité de l’instrument en rad.m.s-1.
δ’effet principal va se manifester sur les bords Est et τuest de Jupiter du fait du fort gradient de flux (et de vitesse) dans ces zones (Figure 6-7). La PSF utilisée ici est une gaussienne dont la FWHM est de 3 arcs.
6.4 Effets pouvant affecter les cartes de vitesses
Figure 6-7 A gauche : coupe des vitesses radiales sur l’équateur avec (en rouge) et sans (en bleu) l’effet de la PSF (seeing de 2.5 arcs). A droite : différence entre les deux. Le biais que produit la PSF atteint 500 m/s sur les bords Est et Ouest de Jupiter.
Le biais introduit par la PSF est important et devra être pris en compte dans le traitement des données. Il sera donc intégré dans le modèle de la planète.
6.4.3 Effet de la texture photométrique de l’atmosphère de Jupiter
σous avons vu qu’un gradient de vitesse associé à un gradient photométrique produit des biais dans la mesure de la phase. δes motifs contrastés de l’atmosphère de Jupiter devraient donc en toute logique produire également des biais, notament lorsque le gradient photométrique et le gradient de vitesse vont dans le même sens. Pour mesurer cet effet, il suffit de calculer la carte de vitesse altérée par la PSF avec et sans la texture de l’atmosphère de Jupiter et de soustraire les deux résultats. La Figure 6-8 montre la carte résiduelle obtenue, nous avons des fluctuations de ±20m/s avec un écart-type de 8 m/s. Si nous voulions supprimer ce résidu, il faudrait connaitre la photométrie exacte de Jupiter en haute résolution, ce que nous n’avons pas. Ce résidu est cependant faible par rapport au bruit de chaque images (qui est de l’ordre de 1 km.s-1.px-1) et son évolution est lente puisqu’il faut compter une demi-rotation de Jupiter pour changer complètement la configuration. La taille caractéristique de ces structures correspond à celle de la PSF. δ’évolution dans le temps de la valeur moyenne des fluctuations sur tout le disque est visible sur la partie droite de la Figure 6-8. Sur cette courbe nous voyons que le temps caractéristique des variations est d’environs 2h (130µHz) avec un écart-type de l’ordre du m/s. Après application d’un filtre coupant les signaux en dessous de 300µHz, l’écart-type est inférieur au cm/s. Ces valeurs sont à comparer au bruit de photons qui, après intégration sur le disque, donne encore un écart-type de plusieurs m/s. Nous pouvons donc conclure que les fluctuations résiduelles produites par les motifs de l’atmosphère de Jupiter ne devrait pas poser de problème pour les mesures moyennes des cartes de vent, ni pour la recherche de mode d’oscilations.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5x 10 4 m /s
6.4 Effets pouvant affecter les cartes de vitesses
Figure 6-8. A gauche : carte des fluctuations résiduelles de la carte de vitesse causées par la PSF et résultant des motifs photométriques de l’atmosphère de Jupiter. A droite l’évolution de la vitesse moyenne intégrés sur le disque au cours du temps (image toute les 30s).
6.4.4 Effet de l’ombre d’un sattelite sur les cartes de vitesse
Le passage de l’ombre d’un satéllite galiléen devant le disque de Jupiter produit un fort gradient de flux susceptible de générer un biais local dans la carte de vitesse.
Figure 6-9. Simulation de l’ombre d’un satellite galiléen passant devant le disque avec une FWHM de 2.5 arcs. A gauche l’image photométrique, à droite le biais local produit sur la carte de vitesse.
δe biais introduit par l’ombre du satellite est assez important (±60 m/s), mais celui-ci étant symétrique et se déplaçant au cours du temps, la moyenne le long du trajet tendra rapidement vers zero.
6.4 Effets pouvant affecter les cartes de vitesses
6.4.5 Estimation du biais sur la mesure de la phase des franges
On a suposé ici que le modèle de convolution de la carte de vitesse par la PSF suffit à rendre compte de l’effet sur sa mesure, mais en définitive ce que l’on mesure, c’est la phase des franges en un point donné. En ce point, du fait de la turbulence, on verra le flux moyen produit par la somme des franges d’amplitude et de phase différentes. La vitesse déduite de la frange moyenne ne sera donc pas forcément équivalente à la vitesse moyenne même si la différence est probablement faible.
σous devons donc réécrire l’expression des franges pour mieux modéliser cet effet, soit :
̅ , = ∫ , [ + cos , + , + ] − , −
∫ , − , − (6.42)
avec :
= − �, si on a bien la quadrature, et S la sensibilité en rad.m-1.s
La différence avec le modèle précédent provient du fait que les franges suivent le sinus de la phase, et non la phase elle-même, proportionnelle à la vitesse, comme dans l’équation précédente. La carte de phase s’écrira à partir des trois interférogrammes de la manière suivante :
∅′ , = arg { − + − } (6.43)
On peut alors estimer la différence ’ et en déduire l’écart produit par l’approximation. Des simulations ont été réalisées avec et sans textures de l’atmosphère. Les résultats (Figure 6-10) montrent que l’approximation reste largement valable tant que la PSF n’est pas trop importante. On constate des divergences inférieures à 1% (essentiellement sur les bords de l’image) pour un seeing de 2.5 arcs. En prenant en compte la texture de l’atmosphère de Jupiter nous voyons encore apparaitre des « grumeaux » sur le disque de quelque m/s. Pour la réduction de données, nous utiliserons simplement le modèle de l’équation (6.40) qui est plus simple et plus rapide à mettre en œuvre.