atomique et un analyseur lin´eaire 0. L’amplitude lumineuse est adir = 0G. Si on fait passer la lumi`ere en sens inverse, l’amplitude lumineuse est arev = G0. Les amplitudes de ces deux chemins renvers´es sont ´egales si G est sym´etrique, ce qui n’est v´erifi´e qu’en l’absence de champ magn´etique. L’action de B sur la propagation est contenue dans N , c’est `a dire dans la self-´energie. Nous allons l’´etudier dans la suite de ce chapitre.
4.4 Effets magn´eto-optiques
On appelle effets magn´eto-optiques les modifications qu’apporte un champ magn´etique externe `a la propagation de la lumi`ere. Nous en avons d´ej`a mentionn´e deux. La bir´efringence, que nous n´egligeons, et le libre par-cours moyen (longueur d’extinction) qui d´epend de l’´etat de polarisation. Nous allons `a pr´esent aborder les effets Faraday et Cotton-Mouton, qui mo-difient la polarisation au cours de la propagation. Cela nous permettra de pr´eciser la signification physique des coefficients η et ξ.
4.4.1 Effet Faraday
Pla¸cons nous dans la configuration suivante, dite configuration “Fa-raday” : une polarisation lin´eaire se propage parall`element au champ magn´etique. Dans cette configuration la self-´energie prend la forme
Σ = 1 2`0 Γ/2 δ + iΓ/2 ζ η 0 −η ζ 0 0 0 0 (4.25)
Les modes propres de propagation sont
V± = η ˆx±p−η2yˆ (4.26) associ´es au valeurs propres
Λ±= ζ ±p−η2 (4.27) Dans le cas d’une lumi`ere r´esonante avec la transition atomique, δ = 0 et les deux coefficients ζ et η sont r´eels et les modes propres sont les polarisations circulaires
V± = ˆx± |η|
associ´ees aux valeurs propres complexes
Λ± = ζ± i|η| (4.29) Le facteur eikrN du propagateur (4.23) s’´ecrit alors, pour les modes propres,
eikre−(ζ±i|η|)r/(2`0) (4.30)
Une polarisation lin´eaire peut s’exprimer comme combinaison des deux modes propres. Par exemple ˆx = (V+ + V−)/2. L’action du propagateur sur cette polarisation est :
eikrN V++ V− 2
= 1
2e
ikre−ζr/(2`0)(e−i|η|r/(2`0)V++ ei|η|r/(2`0)V−) (4.31)
= eikre−ζr/(2`0) cos |η|r 2`0 ˆ x+ sin |η|r 2`0 |η| η yˆ (4.32)
Ainsi, la polarisation tourne d’un angle ηr/(2`0) autour du champ magn´etique, `a cause d’une diff´erence de phase entre les deux modes propres induite par B. Comme η est un nombre r´eel de signe oppos´e `a φ (voir (3.29)), cette rotation se fait dans le sens oppos´e `a celle du dipˆole (3.55). Son angle est proportionnel `a la distance parcourue r et, au premier ordre en B, au champ magn´etique. η d´ecrit donc l’effet Faraday. Pour la transition 3− 4 du Rubidium, on trouve une constante de Verdet
V =−34Γ`µB
0 ∼ −8.106 rad/(Tm) (4.33) avec `0 ' 100 µm. Cette valeur est sup´erieure de trois ordres de grandeurs `a celle des mat´eriaux classiques [75]. Pour φ = 1 (B = 2 G), et sur une distance `0, une polarisation lin´eaire se propageant parall`element `a B tourne de 12◦. En pratique, il faut tenir compte de la largeur spectrale du laser, qui tend `a diminuer V . Elle est de l’ordre de 0.3Γ/(2π) dans les exp´eriences men´ees `a Nice, qui ont permis de mesurer V =−3.106 rad/(Tm) [76].
La polarisation est aussi att´enu´ee, son coefficient d’extinction ´etant `0/ζ.
4.4.2 Effet Cotton-Mouton
Pour ´etudier l’effet Cotton-Mouton, nous ´etudions une onde polaris´ee lin´eairement, se propageant perpendiculairement `a B. La self-´energie est
Σ = 1 2`0 Γ/2 δ + iΓ/2 0 0 0 0 ζ 0 0 0 ζ + ξ (4.34)
4.4. EFFETS MAGN´ETO-OPTIQUES
Ses vecteurs propres sont ˆy et ˆz, avec les valeurs propres Λ± = ζ + ξ/2 ± ξ/2. Une polarisation initiale faisant un angle α avec B s’´ecrit = cos α ˆz+ sin α ˆy. L’action de G(r, ω) sur la transforme en
0 = eikre−ζr/(2`0)(e−ξr/(2`0)cos α ˆz+ sin α ˆy) (4.35)
A r´esonance avec la transition atomique, la polarisation finale est toujours lin´eaire, mais la diff´erence d’extinction entre les deux modes propres l’a faite tourner. C’est l’effet Cotton-Mouton, d´ecrit par le coefficient ξ. Pour la tran-sition 3− 4 du Rubidium, si on choisit α = 45◦, la polarisation tourne de 4◦ vers ˆy au cours d’une propagation sur une distance `0 lorsque φ = 1 (c’est `a dire B = 2 G).
4.4.3 Cas g´en´eral
Si la direction de propagation et le d´esaccord δ sont quelconques, la diff´erence de phase et d’extinction entre les deux modes propres d´epend des parties imaginaire et r´eelle de
q
−η2cos2θ + ξ2 sin4θ 4
δ + iΓ/2 (4.36)
Si δ est nul, cela d´epend du signe du radicande. Tant que la direction de pro-pagation est assez proche de celle de B, il est n´egatif et les modes propres ont une diff´erence de phase, mais pas de diff´erence d’extinction. C’est le contraire si le radicande est positif. Donnons quelques ordres de grandeur : pour la transition 0− 1 du Strontium, on a φ = 1 pour B = 11 G, et ge= 1. Pour cette valeur du champ magn´etique, le radicande est positif si k et B font entre eux un angle compris entre 65◦ et 90◦. L’effet Cotton-Mouton do-mine l’effet Faraday dans cette plage angulaire. Dans les milieux classiques, ce n’est le cas que dans un secteur de quelques 10−4 rad autour du plan perpendiculaire `a B. Cette grande diff´erence d’ordres de grandeurs est due au caract`ere r´esonant des atomes. Elle montre que l’effet Cotton-Mouton ne peut pas ˆetre n´eglig´e dans l’´etude de la r´etrodiffusion coh´erente.
Si δ est non-nul, η et ξ sont des nombres complexes. Ils participent tous deux `a la fois `a la diff´erence de phase et `a la diff´erence d’extinction des modes propres. La fr´equence d’un photon ne d´etermine pas seulement son libre parcours moyen de diffusion, comme en l’absence de champ magn´etique, mais influe aussi sur la fa¸con dont sa polarisation sera modifi´ee au cours de la propagation.
En r´esum´e :
Les param`etres pertinents pour d´ecrire la propagation coh´erente de la lumi`ere sont
– ζ : att´enuation isotrope. – η : effet Faraday.
– ξ : effet Cotton-Mouton.
La physique m´esoscopique permet de relier ces grandeurs macroscopiques (elles sont directement accessibles exp´erimentalement) `a des propri´et´es mi-croscopiques de la transition atomique (´equations (3.25) `a (3.32)).
Chapitre 5
Calcul du cˆone de
r´etrodiffusion coh´erente
5.1 Introduction
Apr`es avoir d´ecrit les briques ´el´ementaires des chemins de diffusion que sont les op´erateurs de diffusion et le propagateur des photons dans l’espace r´eel, nous pouvons les mettre en oeuvre pour calculer les amplitudes de ces chemins. A partir de celles-ci, nous pouvons calculer l’intensit´e diffuse autour de la direction arri`ere. Un changement important qui apparaˆıt en pr´esence du champ magn´etique est la brisure de l’invariance par renversement du temps pour le syst`eme {atomes+photons}. En effet, B change de signe par ren-versement du temps, ce qui change aussi le signe de la partie magn´etique de l’hamiltonien atomique, et transforme G(r, ω) en sa transpos´ee (voir chapitre 4). Dans ce cas, on ne peux plus ramener le calcul de l’intensit´e coh´erente `a celui de l’intensit´e incoh´erente en transformant un diagramme crois´e en un diagramme ´echelle. La strat´egie de calcul du cˆone CBS s’en trouve modifi´ee, et devra s’appuyer exclusivement sur les amplitudes de diffusion.
Si le niveau fondamental atomique est d´eg´en´er´e, et que l’atome ef-fectue une transition Raman au cours d’un ´ev`enement de diffusion, pas-sant du sous-niveau Zeeman m `a m0, son ´energie change d’une quantit´e ∆E = gµBB(m0 − m). L’´energie du photon diffus´e change de la quantit´e oppos´ee, par conservation de l’´energie totale. Ce changement de fr´equence du photon est faible en valeur relative, car on suppose µBB ω0, mais il faut le comparer au d´esaccord δ et `a la largeur Γ de l’´etat excit´e. Si ∆E est sup´erieur ou comparable `a δ et Γ, le changement de fr´equence n’est pas n´egligeable et influe sur la suite du chemin de diffusion. La moyenne interne,
COH´ERENTE qui revient `a sommer sur les transitions effectu´ees par l’atome, porte aussi sur la fr´equence du photon diffus´e et donc sur sa propagation et sur ses diffu-sions ult´erieures. Elle ne concerne plus seulement un ´ev`enement de diffusion, mais toute la partie du chemin de diffusion qui suit le diffuseur auquel elle se rattache.
La pr´esence du champ magn´etique complique donc grandement le calcul de la moyenne interne pour un chemin de diffusion. Elle ne se ram`ene plus `a celle de la section efficace diff´erentielle d’un diffuseur. Dans ce chapitre, nous indiquons une mani`ere de calculer les coefficients bistatiques, qui, en g´en´eral, ne peut ˆetre exploit´ee que num´eriquement. Le cas particulier J = 0, pour lequel il n’y a pas de diffusion in´elastique, est trait´e analytiquement `a l’ap-proximation de diffusion double dans un milieu uniforme et semi-infini.