VIII. Résultats numériques
VIII.2 Effet de l’anisotropie sur la structure de bandes
Les résultats de la section précédente reposent sur l'approximation (1.108) qui suppose 2 3 dans la fonction ( )g . Dans ce paragraphe, nous ignorons cette
approximation et traitons le problème de façon exacte, dans ce cas l'Hamiltonien HU est
fonction de l'angle . Prenant comme paramètre et utilisant le développement (1.127) pour la fonction d'onde, nous avons recalculé la structure de bande à nouveau pour un puits de largeur 25 Å et nos résultats sont montrés sur les figures (1.7)-(1.9).
Figure 1.7: Structure de la bande de valence 3D pour un puits quantique de largeur 25 Å
La figure 1.7 ci-dessus illustre à trois dimensions la structure de la bande de valence
respectivement des trous lourds et légers. Pour montrer clairement la variation des énergies en fonction du vecteur d’onde k, nous avons délibérément omis de montrer la sous bande split- off. On constate aisément le caractère anisotrope de la structure de bande et ceci est particulièrement vrai pour la bande HH pour les grandes valeurs de k, pour la bande LH l'effet est présent mais il est de moindre importance.
Dans la figure 1.8, nous montrons les courbes HH d'énergie constante dans le plan kx -ky où il
est clair de remarquer la symétrie d'ordre 4. Au centre du graphe, les courbes sont presque circulaires mais à mesure que k augmente les courbes prennent un aspect plus au moins "carré". L'anisotropie est de toute évidence très marquée entre les direction [1 0] et [1 1].
Pour le cas des sous bandes LH, nous constatons un comportement qualitativement analogue mais bien que moins prononcé.
Figure1.8: Les contours isoénergétiques des trous lourds en fonction des vecteurs d’ondes kx et ky
Figure 1.9: Les contours isoénergétiques des trous légers en fonction des vecteurs d’ondes kx et ky Dans les figures 1.10-1.12, nous montrons pour trois valeurs de la largeur a du puits le spectre d'énergie pour deux directions du vecteur k, [10] et [11]. On constate que l'anisotropie est plus importante pour les deux premières sous bandes HH1 et LH1, que cette anisotropie est plus marquée pour les grandes valeurs de k et est d'autant plus importante que la largeur a est grande.
Figure 1.10: Structure de la bande de valence pour un puits quantique de largeur 25 Å. En ligne discontinue on tient compte de l’anisotropie et en ligne continue l’anisotropie est négligée 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 -600 -450 -300 -150 0 ENERGY ( meV ) k ( Å-1 ) HH LH SP
Figure 1.11: Structure de la bande de valence pour un puits quantique de largeur 100 Å. En ligne discontinue on tient compte de l’anisotropie et en ligne continue l’anisotropie est négligée. 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 -150 -100 -50 0 ENERGY ( meV ) k ( Å-1 ) HH1 LH1 HH2 HH3 LH2 HH4
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 -150 -100 -50 0 HH6 HH5 HH4 HH3 HH2 LH3 LH2 LH1 HH1 ENER GY ( me V ) k ( Å-1 )
Figure 1.12: Structure de la bande de valence pour un puits quantique de largeur 150 Å. En ligne discontinue on tient compte de l’anisotropie et en ligne continue l’anisotropie est négligée.
IX. Conclusion
Apres avoir passé en revue brièvement l'historique de la méthode k.p, et expliqué son mode d'utilisation, nous avons présenté les différents Hamiltoniens de ce type introduits par différents auteurs. La relation existant entre ces différents Hamiltoniens ainsi que celle entre leurs bases respectives sont explicitement détaillées. Une attention particulière est consacrée au rôle de l'interaction spin-orbite qui donne lieu à une nouvelle bande dite split-off.
L'utilisation de cette méthode accompagnée de l'approximation de la fonction enveloppe au cas des hétérostructures et les difficultés rencontrées par différents auteurs du fait de la présence d'interfaces sont présentées en détails.
Dans le cadre de l’approximation de la masse effective, et à l’aide du formalisme de la fonction enveloppe, nous avons ensuite calculé la structure électronique de la bande de valence d'un puits Al0.3Ga0.7As/GaAs/Al0.3Ga0.7As de largeur 25 Å en incluant les sous-
bandes des trous lourd, légers et split-off. La structure de la bande de valence présente une forte non-parabolicité et une grande anisotropie pour la sous-bande des trous lourds. D'autre part, nous avons aussi étudié l'effet de la split-off sur le spectre et nos résultats montrent son importance d'où la nécessité de son inclusion. En outre, l'augmentation de la largeur du puits en plus d' augmenter le nombre de sous-bandes met aussi en évidence le caractère fortement non parabolique de la dispersion.
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CHAPITRE II
Dans ce chapitre, nous présentons les divers modes de vibrations du réseau existant dans les hétérostructures et prenons soin d'exposer leurs caractéristiques ainsi que leurs relations de dispersions. Nous discutons aussi comment les électrons interagissent avec les modes acoustiques et optiques aussi bien longitudinaux que transversaux. Pour les divers types de modes en suivant les traitements déjà établis, nous déduisons les potentiels d'interaction dans le cadre de la seconde quantification. Ensuite, nous expliquons divers modèles utilisés dans le traitement des phonons et leurs interactions avec les électrons dans les hétérostructures et comparons leurs résultats entre eux.
I. Introduction
Sous l'effet de l'agitation thermique, les atomes dans un solide cristallin vibrent autour de leurs positions d’équilibre. Le nombre d'atomes qui oscillent ainsi que leurs amplitudes d'oscillations dépend principalement de la température. Par analogie avec les photons, l’énergie de ces vibrations est quantifiée et se manifeste sous forme de quanta appelés phonons à partir de 1932 après le physicien Russe Igor Tamm[1]. Un phonon est une quasi-particule de vecteur d’onde Q et de pulsation ( ).Q Les phonons ont la possibilité d'entrer en interaction avec d’autre particules ou quasi-particules tels que les électrons et les photons et sont responsables de phénomènes aussi spectaculaires que la supraconductivité et variés, tels que la conductibilité thermique, la relaxation des porteurs de charges après excitation etc..
Les phonons sont classés dans deux grandes catégories [2]:
1) Les phonons acoustiques qui ont comme caractéristique principale le fait que les atomes vibrent en phase dans la limite des grandes longueurs d'ondes (Q0). En plus, notons que pour les systèmes à symétrie cubique tels que les semiconducteurs
III-V ayant la structure Blende (GaAs, InAs, AlAs ...), les modes sont soit acoustique
longitudinaux ou transversaux et seront notés respectivement LA et TA de l'Anglais
longitudinal acoustic et tranversal acoustic phonons.
2) Les phonons optiques existent seulement dans les solides qui contiennent plus d’un atome par maille primitive. Dans les cristaux ioniques, tel que le chlorure de sodium une onde électromagnétique peut exciter ces modes. De la même façon, ces vibrations seront dites optiques longitudinales ( LO ) ou optiques transversales ( TO).